第四章 三角形（单元重点综合测试B卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 三角形（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 2．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A．B．C． D． 3．如图，是的中线，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 6．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 7．如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知分别为的边的中点，连接，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上9．如图，在和中，，，请添加一个条件 ，使（添一种情况即可） 10．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 11．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点O至地面的距离是，当小敏从水平位置下降，这时小明离地面的高度是 ． 12．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 13．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．当 时，与全等． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 15．（5分）如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 16．（5分）如图，．求证：． 17．（5分）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，、相交于点，．求证：． 19．（5分）如图，是的中线，已知的周长为，比长，求的周长． 20．（5分）如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，求的面积． 21．（6分）在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．，点B、O、Q在同一水平线上，，．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 22．（7分）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子下滑的高度. 23．（7分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 24．（8分）如图，，E为的中点，，点M从点B 向点A 以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点 N 从点C 出发，在上以2个单位长度/秒的速度往返移动．当点 M到点A 处时，点 M，N 同时停止移动． (1)当的面积是的面积的2倍时，求的长． (2)若移动时间为，当t为何值时，？ 25．（8分）如图，在中，，，是过点的一条直线，且，在的两侧，于点，于点． (1)与全等吗？与、与相等吗？为什么？ (2)图中的，，之间有怎样的等量关系？（写出关系式即可．） (3)若直线绕点旋转到如图所示的位置，其他条件不变，则与，的关系如何？说明理由． 26．（10分）综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系：两条较短边的和大于最长边，由此进行求解． 【详解】解：A、，所以不能构成三角形，故符合题意； B、，所以能构成三角形，故不符合题意； C、，所以能构成三角形，故不符合题意； D、，所以能构成三角形，故不符合题意； 故选A． 2．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 3．如图，是的中线，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的定义，因为是的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴ 故选：B． 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质和平行线性质，由三角形外角性质可得，再由两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选D． 5．如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形中线的定义，根据题意得，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：∵的角平分线、中线相交于点O， ， ①在中，，∴是的角平分线，故①正确； ②，所以不是的中线，故②错误； ③在中，是的中线，故③正确； ④不一定等于，那么不一定是的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项①③． 故选：B． 6．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 7．如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 8．如图，已知分别为的边的中点，连接，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积推出，再根据四边形的面积为，得到，据此求解即可，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴ ， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，在和中，，，请添加一个条件 ，使（添一种情况即可） 【答案】或或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：在和中， ∵，， 若根据，可添加：， 若根据，可添加：， 若根据，可添加：． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．解题的关键是熟练全等三角形的判定的方法． 10．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点O至地面的距离是，当小敏从水平位置下降，这时小明离地面的高度是 ． 【答案】/90厘米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是， 故答案为：． 12．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 【答案】③ 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 13．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．当 时，与全等． 【答案】1或1.5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，则，再分两种情况：当，，，当，时，，分别求解即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∵， ∴当，，， 即，， 解得：，， 当，时，， 即，， 解得：，； 综上所述，当1或1.5时，与全等， 故答案为：1或1.5． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为或 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为， ∴， ∴， ∵x为偶数， ∴或， 当时，这个三角形的周长是：； 当时，这个三角形的周长是：； 综上，这个三角形的周长为或． 15．（5分）如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 【答案】等腰三角形有3个，分别是，， 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键； 由在中，，根据等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形有3个，分别是，，． 16．（5分）如图，．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键。根据证明即可得出结论。 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 17．（5分）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线，以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图：即为所求． 18．（5分）如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 19．（5分）如图，是的中线，已知的周长为，比长，求的周长． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，先得出，结合的周长为，比长，得出，即可作答． 【详解】解：是的中线， ． ∵的周长为，比长， ∴，， ． 20．（5分）如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，求的面积． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题主要考查了三角形的中线与面积关系，根据等底等高来求各个小三角形的面积是大三角形的面积的一半．利用等底同高的三角形的面积相等，可先得到，即，同理可知，，从而得到，那么就可求出的面积． 【详解】解：是的中点，， ． 又，分别为，的中点， ， ． 21．（6分）在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．，点B、O、Q在同一水平线上，，．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 【答案】红方军队能命中目标，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，利用全等的性质可得，再作答即可． 【详解】解：红方能命中目标．理由如下： 由题意可知， 所以． 又因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以， 故红方军队能命中目标． 22．（7分）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小航设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得∠___________=，标记此时梯子的底端点D；③此时___________的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小航设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子下滑的高度. 【答案】(1)，，说明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【详解】（1）①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． 故答案为：，． 由题意可知，，， 在和中，， 所以， 所以． （2）由， ∴，． 因为，， 所以（m）． 所以梯子下滑的高度为． 23．（7分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键. 【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴ ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的. 24．（8分）如图，，E为的中点，，点M从点B 向点A 以1个单位长度/秒的速度向左移动，同时点 N 从点C 出发，在上以2个单位长度/秒的速度往返移动．当点 M到点A 处时，点 M，N 同时停止移动． (1)当的面积是的面积的2倍时，求的长． (2)若移动时间为，当t为何值时，？ 【答案】(1)2 (2)2 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质确定，利用面积关系即可求解； （2）根据题意得出当时，，然后分两种情况分析：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∵ E为的中点， ∴， ， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴点 M，N移动的时间为：秒， 此时， ∴； （2）∵， ∴当时，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述：当时，． 25．（8分）如图，在中，，，是过点的一条直线，且，在的两侧，于点，于点． (1)与全等吗？与、与相等吗？为什么？ (2)图中的，，之间有怎样的等量关系？（写出关系式即可．） (3)若直线绕点旋转到如图所示的位置，其他条件不变，则与，的关系如何？说明理由． 【答案】(1)，，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、 、，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定，根据全等三角形的对应边相等可以求得，； （2）因为，，所以； （3）因为，，，所以． 【详解】（1）解：，． 理由：于，于，， ，，， ， 在和中， ，； （2）解：． 理由：， ； （3）解：． 同（1）可证明 ， ． 26．（10分）综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】探究方法：①作图见解析；②；；拓展探究：，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，倍长中线”构造全等三角形是解决问题的难点． 探究方法：如图所示，根据三角形中线定义得，进而可依据“”判定和全等，再由全等三角形性质得，，根据三角形三边之间关系得，即，由此可得出的取值范围； 拓展探究：延长到，使，连接，如图所示，则，先证明和全等得，，则，进而得，再由得，则，由此可依据“”判定和全等，则，由此可得与的数量关系． 【详解】解：探究方法：①如图所示：    ②是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，，， ，， 在中，由三角形三边关系可知， ， ，即的取值范围是； 故答案为：；； 拓展探究：猜想：， 理由如下： 延长到，使，连接，如图所示：    则， 为的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$