精品解析：北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学学科

北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期 期中考试 高二年级数学学科 1．本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A 2. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中计算即可. 【详解】由得， 所以. 故选：B 3. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 4. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理得展开通项并整理，令，求出回代到展开通项即可求解. 【详解】的展开式通项为， 由题意令，解得，从而常数项是. 故选：A. 5. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据洛必达法则求解即可. 【详解】. 故选：B 6. 小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 7. 一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分两个节目放在相邻的位置，和两个节目不相邻两种情况讨论，结合插空法即可得解. 【详解】当两个节目放在相邻的位置，有种结果， 当两个节目不相邻，从原来形成的五个空中选两个空排列，共有种结果， 根据分类计数原理知共有种结果， 故选：C． 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设函数 ，求导得：, 当 时，，则在 上单调递增； 若 ，由 在 上单调递增，可得 ， 即，充分性成立； 举反例：取  ​，满足 ， 即成立，但不满足 ，必要性不成立； 因此，是的充分不必要条件. 9. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得. 【详解】 则能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 由，所以，， ，， 故选：D. 10. 已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 39 B. 48 C. 57 D. 59 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，结合的性质分析出的最值，即可得. 【详解】由题设，又均有5个元素且， 根据题意的最小元素必有1，最大元素必有15， 要使最小，则中最小元素为，而除15外的另两个最大元素要尽量小， 所以为最大元素为时，最小； 要使最大，则中最大元素为，而除1外的另两个最小元素要尽量大， 所以中最小元素为时，最大； 所以的可能取值范围是，结合各项不可能的值为. 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，那么_____. 【答案】8 【解析】 【分析】由排列数的公式将原式化为关于的一元二次方程，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即，因为， 所以. 故答案为8 【点睛】本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可，属于基础题型. 12. 已知二项式的所有项的系数和为，则_____________；_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先利用系数和条件，再原式中取得到；再对展开式两边求导两次并取，得到. 【详解】由已知有，且. 再前一式中令得，所以，得. 所以. 由二项式定理可知，. 故答案为：；. 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22. 【解析】 【分析】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 14. 若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】求导得：， 由函数在上单调，则恒成立 或恒成立： 若在上恒成立，即恒成立： 因为，所以的最小值为，因此，得； 若在上恒成立，即恒成立： 因为，的最大值为，因此，得； 综上可得，实数a的取值范围是. 15. 已知有限集（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则； ③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且． 其中正确的结论是__________．（填上你认为所有正确的结论序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，根据得到①正确；对于②，可举出反例；对于③，不妨设，得到，当时，，故，则，即，无解；对于④，时，不存在复活集，当时，推出满足要求，当时，得到，推出，矛盾，从而得到结论. 【详解】对于①，， 故满足，为复活集，①正确； 对于②，由①可知，为复活集，且， 不妨设，则为方程的两个根， 由得，或，故②错误； 对于③，不妨设， 由得， 当时，，故，则，即，无解， 若，则不可能是“复活集”，③正确； 对于④，由③知，时，不存在复活集， 不妨设，由③得， 当时，，故只能， 由得，解得， 故时，有且只有1个复活集，即， 当时，， 又，故， 事实上，在上恒成立， 故时，不存在复活集， 则“复活集”A有且只有一个，且，④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列式计算即得. （2）利用（1）的结论，利用导数求出单调区间. 【小问1详解】 依题意，，又，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，的定义域为R，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 17. 在中，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求出边上的高线的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③： 【答案】（1）； （2）选②，不存在；可选条件①或③，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简，结合特殊角三角函数值得到答案； （2）选择①，利用余弦定理进行求解；选择②，由正弦函数单调性得到角的大小，从而三角形不存在；选择③，由同角三角函数关系，诱导公式和正弦和角公式进行求解 【小问1详解】 在中，，由正弦定理可得． 因为，所以． 故， 所以． 因为，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 条件②：， 又，故，且为锐角， 因为，故， 此时，不合题意，此时不存在；故不能选②； 选条件①：， 由余弦定理，得， 即，解得：，负值舍去， 则边上的高线． 选择③：， 因为，且为锐角，则， ， 则边上的高线． 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，设与相交于点，连接， ∵四边形是平行四边形，∴点为的中点. ∵为的中点，∴为的中位线， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与相交于点，连接，应用中位线证明，即可证明平面； （2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，又，从而可求直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意知，，所以， 因为平面，平面， 所以，又， 平面， 所以平面，设的中点为，连接，则， 因为平面，所以平面， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系. 在，所以， 则，，，. ∴，. 设平面的法向量为， 由及，得， 令，得，.故平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角为， 则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 19. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）人 （2）分布列见解析，期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本计算频率，再估计总体参加体检的职工人数； （2）以样本中的数据的频率作为概率，利用独立事件概率公式，求分布列和数学期望； （3）根据样本的关系，再结合方差的定义，即可比较大小. 【小问1详解】 乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人， 所以运动时长不足20小时的频率为， 所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为人； 【小问2详解】 甲单位职工户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于35小时的概率为， 由题意可知，， ，， ，， 分布列如下表 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 甲单位和乙单位的前9个数据的差值都是10，所以甲单位和乙单位前9个数据的方差相同， 甲单位比乙单位多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大，所以使甲单位的波动变大，从而方差变大，所以. 20. 已知． （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，，且满足，求b的值； （3）在（2）的条件下，若在上恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先代入参数得到函数解析式，再求出切点处的函数值确定切点坐标，接着对函数求导并代入切点横坐标得到切线斜率，最后用点斜式写出并整理切线方程即可； （2）先通过求导将极值点转化为导函数对应二次方程的根，再利用韦达定理得到两根和与积，接着将两根代入原函数并结合对数运算性质进行整体代换化简，最终根据已知条件求解参数即可； （3）先将不等式移项整理，构造新函数，再通过求导转化为对导函数符号的讨论，以二次函数在区间上的符号为依据，分情况判断原函数的单调性与最值，结合端点值验证不等式是否恒成立，同时兼顾前一问的极值点条件限制，最终确定参数的取值范围即可. 【小问1详解】 当，时，， 将代入可得： ， 对求导：， 将代入可得： ， 所以切线方程（点斜式）为：，即， 因此，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，定义域为 ， 则， 因为有两个极值点，，所以，是方程的两个不等正根， 根据二次方程根的分布，则需同时满足：（两根不等）, 两根之和 ，即，两根之积 ，即， 根据韦达定理可得：，， 所以 ， 将，代入上式， ， 而故，因此： ，即，解得， 此时 ，满足两根为正的条件，且 ， 所以的值为. 【小问3详解】 由（2）知，则， 在上恒成立， 即 在上恒成立， 移项可得 在上恒成立， 令 ，，则， 则， 令 ，因为 时 ，故 的符号由 决定， 若 ，即 ，解得 ， 此时 开口向上，对称轴 ，故存在 使得 ， 当 时，，则 ， 在 上单调递减， 因此 ，与 恒成立矛盾，故 不满足条件， 若 ，即 ，解得 ， 此时 的对称轴 ，因此 在 上单调递增， 故 ，即 在 上恒成立， 因此 在 上单调递增，故 ，满足条件， 由（2）中 有两个极值点，方程 有两个不等正根， 则 ，解得 ，故 需满足， 综上， 的取值范围为：. 21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【答案】（1）， （2）最大值为31，最小值为11， 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可； （3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题目解题策略： ①仔细阅读，理解新定义内涵； ②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期 期中考试 高二年级数学学科 1．本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 5. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 7. 一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 39 B. 48 C. 57 D. 59 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，那么_____. 12. 已知二项式的所有项的系数和为，则_____________；_________. 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 14. 若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 15. 已知有限集（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则； ③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且． 其中正确的结论是__________．（填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间. 17. 在中，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求出边上的高线的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③： 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 19. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知． （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，，且满足，求b的值； （3）在（2）的条件下，若在上恒成立，求a的取值范围． 21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $