北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学学科

北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期 期中考试 高二年级数学学科 1．本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 5. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 7. 一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 已知集合，集合，，满足 ①每个集合都恰有5个元素； ②. 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（ ） A. 39 B. 48 C. 57 D. 59 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，那么_____. 12. 已知二项式的所有项的系数和为，则_____________；_________. 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 14. 若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 15. 已知有限集（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则； ③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且． 其中正确的结论是__________．（填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间. 17. 在中，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求出边上的高线的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③： 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为AC的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线AB与平面所成角的正弦值． 19. 为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55； 乙单位：15，16，22，23，24，26，36，37，40． 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立． （1）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数． （2）从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； （3）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知． （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，，且满足，求b的值； （3）在（2）的条件下，若在上恒成立，求a的取值范围． 21. 对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． （1）若，，请直接写出集合和； （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期 期中考试 高二年级数学学科 1．本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】8 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22. 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）选②，不存在；可选条件①或③，答案均为 【18题答案】 【答案】（1） 连接，设与相交于点，连接， ∵四边形是平行四边形，∴点为的中点. ∵为的中点，∴为的中位线， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1）人 （2）分布列如下表 0 1 2 3 期望 （3） 【20题答案】 【答案】（1）. （2） （3）. 【21题答案】 【答案】（1）， （2）最大值为31，最小值为11， 最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $