6.3.2 二项式系数的性质 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案（学生版） 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.2 二项式系数的性质 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值、各二项式系数的和）. 1. 会求各二项式系数的和，能运用赋值法求展开式中各项系数的和，提升数学运算素养. 1. 能利用二项式系数的性质解决与展开式系数有关的问题（如求最大二项式系数项、系数最大项等）. 【学习重点】 1. 二项式系数的对称性、增减性与最大值. 2. 各二项式系数之和为 ，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和. 3. 赋值法求展开式各项系数和. 【学习难点】 1. 理解二项式系数的增减性推导过程（利用组合数性质）. 2. 区分“二项式系数最大”与“系数最大”的不同. 学习任务一 二项式系数的对称性、增减性与最大值 【合作探究】 1. 观察杨辉三角（用文字描述）： · 计算 ，，…， 的展开式中二项式系数（即 ），填入下表（n=1~6）： n 二项式系数 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 · （表中数字对应 ） · 观察上表，你能发现哪些规律？ (1) 每一行两端的数都是______. (2) 每一行中，与首末两端“等距离”的两个数______. (3) 每一行中，系数先______后______，中间项的系数最______. (4) 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和（即 ）. 1. 对称性： · 由组合数性质 ，直接得到二项式系数具有对称性. · 例如：， 等. 1. 增减性与最大值： · 以 n=6 为例，二项式系数为 1,6,15,20,15,6,1. · 观察：从两端向中间，系数逐渐______，在中间项（第____项）达到最大值 20. · 对于一般的 n： (1) 当 n 为偶数时，正中间一项（第 项）的二项式系数最大，最大值为 . (2) 当 n 为奇数时，中间两项（第 和 项）的二项式系数相等且最大，最大值为 . 1. 思考： · (1) 在 的展开式中，二项式系数最大项一定在中间，但该项的系数是否也最大？为什么？ · · (2) 你能用组合数公式推导增减性吗？提示：比较 与 的大小. 【自主梳理】 1. 对称性：. 1. 增减性与最大值： (1) 二项式系数先增后减. (2) 当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大； (3) 当 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 1. 二项式系数之和：. 1. 杨辉三角：二项式系数的三角形排列，每个数等于肩上两数之和. 学习任务二 各二项式系数的和与赋值法 【合作探究】 1. 各二项式系数和： · 在二项式定理 中，令 ，得到 · 所以 . 1. 奇数项与偶数项二项式系数和： · 令 ，得 . · 即 . · 所以奇数项二项式系数之和 . 1. 赋值法求各项系数和： · 对于二项展开式 ，若要求展开式中各项系数的和（即把 看成具体数值时的“系数”），可以令 直接得到和. · 例如： 的展开式中各项系数的和，令 得 . · 更一般地，若要求形如 的展开式中各项系数的和，只需令 . 【自主梳理】 1. 二项式系数和：. 1. 奇偶项和：偶奇. 1. 赋值法：求展开式中各项系数之和，令所有变量为 1；求各系数绝对值之和，注意符号处理. 学习任务三 二项式系数性质的应用 【合作探究】 1. 例1（课本例1）：证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和. · 解：令 ，左边 ，右边 ，所以奇数项和=偶数项和. 1. 例2（求二项式系数最大项）： · 在 的展开式中，二项式系数最大的项是第几项？该项的二项式系数是多少？ · （提示：n=10为偶数，中间一项是第6项，二项式系数为 ） 1. 例3（求系数最大项，需结合系数与二项式系数的关系）： · 已知 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，求 ，并求展开式中系数最大的项. · （提示：条件等价于 ，得 ；然后比较相邻项系数大小.） 【自主梳理】 利用二项式系数性质解题的一般思路： 1. 若已知二项式系数相等，利用对称性 求 . 2. 求二项式系数最大项：看 奇偶，直接定位. 3. 求系数最大（或最小）项：需比较相邻两项的系数，列出不等式组求解. 注意：系数最大项与二项式系数最大项不同，二项式系数最大项只与 有关，系数最大项还与 的具体数值有关. 【自查自纠】（正误判断） 1. 二项式系数 与 一定相等. （ ） 1. 当 时， 的展开式中二项式系数最大的是第 5 项和第 6 项. （ ） 1. 各二项式系数之和为 . （ ） 1. 在 的展开式中，各项系数的和等于 . （ ） 1. 若 为奇数，则二项式系数的最大值有两项. （ ） 【典例分析】 例1：求 的展开式中二项式系数最大的项，并求出该项的二项式系数. 解： 例2：在 的展开式中，求： (1) 二项式系数最大的项； (2) 系数最大的项. 解： 例3：已知 的展开式中，第 2 项与第 5 项的二项式系数相等，求 的值，并求出展开式中所有奇数项的二项式系数之和. 解： 【习题巩固】 1. 在 的展开式中，二项式系数最大的项是（ ） · A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 4 项和第 5 项 D. 第 5 项和第 6 项 1. 若 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则 （ ） · A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 1. 已知 的展开式中二项式系数之和为 64，则展开式中 的系数为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）在 的展开式中，已知第 6 项与第 7 项的二项式系数相等，求 ，并求展开式中系数最大的项. 导学案参考答案 学习任务一 杨辉三角（n=1~6） n=1：1 1 n=2：1 2 1 n=3：1 3 3 1 n=4：1 4 6 4 1 n=5：1 5 10 10 5 1 n=6：1 6 15 20 15 6 1 观察规律填空 (1) 每一行两端的数都是 1 (2) 每一行中，与首末两端“等距离”的两个数 相等 (3) 每一行中，系数先 增大 后 减小，中间项的系数最 大 (4) 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和： 增减性与最大值 以 n=6 为例，系数从两端向中间逐渐 增大，在第 4 项达到最大值 20。 1. 当 n 为偶数时，正中间一项（第 项）的二项式系数最大，最大值为 2. 当 n 为奇数时，中间两项（第 和 项）的二项式系数相等且最大，最大值为 思考 (1) 不一定。二项式系数最大项在中间，但该项的系数还受到 a、b 中系数的指数影响，系数最大项不一定在中间。 (2) 比较 与 ：，当 即 时递增，反之递减。 学习任务二 各二项式系数和 令 得 奇数项与偶数项二项式系数和 令 得 ，即奇数项和 = 偶数项和 = 赋值法求各项系数和 对于展开式各项系数之和，令所有变量为 1 即可。 学习任务三 例1：证明奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和。 令 ，左边 = 0，右边 = 奇数项和 - 偶数项和，所以奇数项和 = 偶数项和。 例2： 中二项式系数最大的项是第 6 项（），二项式系数为 。 例3：已知展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则 。 然后比较相邻项系数大小求系数最大项。 二、自查自纠（正误判断） 1. 正确。二项式系数 与 一定相等，这是对称性。 2. 错误。当 时，中间一项是第6项，二项式系数最大的是第6项，不是第5项和第6项（奇数时才是两项）。 3. 错误。各二项式系数之和为 ，不是 。 4. 正确。在 中令 得各项系数和为 。 5. 正确。当 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。 三、典例分析答案 例1 求 的展开式中二项式系数最大的项，并求出该项的二项式系数。 解： 为偶数，中间一项是第 项，对应 。 该项为 二项式系数为 答案：第5项 ，二项式系数 70 例2 在 的展开式中，求： (1) 二项式系数最大的项 (2) 系数最大的项 解： (1) 为偶数，二项式系数最大的项是第 项（）， (2) 通项 ，系数 比较 ： 得 ，所以 时系数最大。 系数最大项为第7项（）： 答案：(1) 第6项 ；(2) 第7项 例3 已知 的展开式中，第2项与第5项的二项式系数相等，求 的值，并求出展开式中所有奇数项的二项式系数之和。 解： 第2项二项式系数为 ，第5项二项式系数为 由 得 （利用对称性 ） 奇数项二项式系数之和 = 答案：，奇数项二项式系数之和为 16 四、习题巩固答案 1. B  中 为偶数，二项式系数最大的项是第5项。 2. A 第4项与第8项二项式系数相等： 3. A 二项式系数之和为 ， 中 系数为 4. 选做题 · 在 的展开式中，第6项与第7项的二项式系数相等： · 系数最大项：通项 ，比较 · 得 ，所以 时系数最大（ 与 比较确定） · 系数最大项： 答案：，系数最大的项为第8项 学科网（北京）股份有限公司 $