6.3.2 二项式系数的性质（导学案） 数学人教A版选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 导学案 1. 理解二项式系数的性质． 2. 会用赋值法求展开式系数的和. 3. 灵活应用二项式定理和二项式系数的性质解决简单问题. 1． 创设情境，引入新知 “探秘杨辉三角的数字密码 —— 解锁二项式系数的隐藏规律” 在我国南宋时期，数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了这样一个神奇的数字三角形，它在西方被称为 “帕斯卡三角”，比杨辉的记载晚了近 400 年。 思考：大家仔细观察这个三角形，能发现哪些直观的数字特点？ 追问：大家还记得我们上节课学习的二项式定理吗？展开式的二项式系数就是 。现在请大家对照 PPT 上的杨辉三角，把 到的二项式系数写出来，看看和杨辉三角有什么关系？ 预设：杨辉三角的第行，恰好就是 展开式的二项式系数 思考：既然二项式系数和杨辉三角是 “一体两面” 的关系，那除了我们刚才发现的首尾为 1、对称、“肩和” 这些特点，二项式系数还隐藏着哪些更深层的性质？ 比如： 每行的二项式系数总和是多少？有没有规律？ 每行的二项式系数中，哪个数字最大？什么时候最大？ 这些性质在解决二项式相关问题时，能帮我们简化计算吗？ 2． 探究新知 探究：利用二项式定理得到当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n展开式，并将二项式系数填入下表： n 的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 6 1 6 15 20 15 6 1 表6.3-1 学生：利用二项式定理，展开，填写以上表格. 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 问题1：观察上图，每行的系数具有什么性质? 对称性 追问：除此以外还有什么规律呢？ 预设：①在同一行中 , 每行两端都是1 , 与这两个1等距离的项的系数相等 . ②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 . 问题2：对于的展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们，函数的解析式是什么？定义域是什么？ 可以看成是以为自变量的函数，其定义域是，即 要求：画出时，函数的图象 预设： 结论：当时，函数的图象是7个离散点， 追问：能否画出时函数的图象 n=7 n=8 思考：比较它们的异同，你发现规律，得出二项式系数的性质？ 性质1：对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由得到． 直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 牛刀小试： 练1：若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（     ）． A．10 B．9 C．8 D．7 预设：根据二项式系数的对称性知，则， 故选：C． 性质2：增减性与最大值 要求：根据组合数计算公式，求，当n为何值时，二项式系数最大？ ， 所以，当，即时，随的增加而增大； 由对称性知，当时，随的增加而减小． 当是偶数时，中间一项取得最大值； 当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 牛刀小试： 练2：若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 预设：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以n为偶数，且第项的二项式系数最大，则解得 故答案为： 练3：（多选）以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 预设：因的展开式有项，当为奇数时，展开式有偶数项，中间两项二项式系数最大；当为偶数时，展开式有奇数项，中间一项二项式系数最大. 故选：AC. 性质3：各二项式系数的和 思考：将所有的二项系数求和，完成以下表格，并总结规律得出猜想 n 的展开式的二项式系数 求和 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 6 1 6 15 20 15 6 1 预设：猜想： 已知 ， 令，得 ． 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于． 思考：各二项式系数的和只与中a,b,n哪个值有关系？ 各二项式系数的和只与n有关，与a,b无关 牛刀小试： 练4：展开式中所有项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 预设：展开式中所有项的二项式系数和为. 故选；B. 练5：若的展开式中二项式系数和为128，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 预设：根据题意，，所以. 故选：D 3． 应用新知 小试牛刀： 判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( ) （2）二项展开式的二项式系数和为 .( ) （3）在 的展开式中，当n 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大.( ) （4）在的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 .( ) 预设：（1）×，（2）×，（3）×，（4）× 例3 求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 预设：证明：在展开式 中，令，，则得 ． 即 ． 因此， ， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 思考：由例3知，在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，那么和分别是多少呢？ 预设：法一：因为的展开式的各二项式系数的和为，而有例3知，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，所以奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和均为：. 法二： 思考：由例3 解题过程可知，中a,b可以取任意实数，那么可以取多项式吗？比如. 预设：可以的，令，那么， 总结：因此，在应用二项式定理解题时，可以根据具体问题的需要灵活选取a,b的值． 4． 数学文化 二项式系数的性质，一定要认识我国的一本书和一个人： · 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就. · 杨辉，南宋杰出的数学家与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”. 杨辉三角 · 以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 5． 题型强化练习 类型一：求指定项的二项式系数 例1 的展开式中含的项的二项式系数为（    ） A．15 B．20 C． D．1215 预设：的展开式的通项为， 令，则的展开式中含的二项式系数为． 故选：A. 总结：先根据已知条件，求出满足题意的k值，用求出二项式系数即可. 题型二：二项式的系数和 例题2 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 预设：由于所有项的二项式系数之和为，二项式展开式的通项公式为，令，所以常数项为. 故答案为： 总结：根据二项式的系数的和求出n,然后结合题意解答. 题型三：二项展开式各项的系数和 例题3 已知. (1)求 (2)求 (3) 预设：（1）在中，取得，取得①，所以. （2）取得②，①+②得，所以. （3）令 则，取，得. 总结：求展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可; 对的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. 题型四：求系数最大（小）的项 例题4 （1）在的展开式中系数最大的项是第 项． 预设：（1）的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值， 也符合为偶数，故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 总结：法一：通项公式法，最大（小）值首先保证系数为正数（负数），然后结合二项式系数的最大值，得出系数最大的项. （2）已知求展开式中系数最大项 预设：设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 总结：法二：不等式组法，利用通项先求出第k+1项的系数，然后列不等式组： 解不等式组，结合k∈N+得出k值，即可求解. 题型五：三项展开式的系数问题 例题5 的展开式中项的系数为 ． 预设：由题意知的通项为， 化简得，令，得， 即，所以的系数为.故答案为： 总结：利用(a+b+c)n三项展开式通项公式：_______________________ 题型六：两个二项式乘积展开式的系数问题 例题6 在的展开式中，的系数为 ． 预设：由题意得， 而由二项式定理得的通项为， 令，解得，令，解得，则含有的项为，即的系数为35． 故答案为：35. 总结：先用分配律展开，然后分别用两次通项公式，求得两个目标项的系数，然后进行系数相加减即可得出结果. 题型七：整除与余数问题&近似数问题 例题7 （1）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 预设： ， 因为能被8整除，所以被8除所得的余数为1．故选：A （2）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 预设：由题意得，由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到，则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 总结：结合二项式定理展开式，找出倍数的项，剩下的项即为余数 6． 课堂小结 作业1：完成教材：第34页 练习1，2，3，4；. 作业2：配套辅导资料对应的《二项式系数的性质》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 二项式系数的性质 导学案 1. 理解二项式系数的性质． 2. 会用赋值法求展开式系数的和. 3. 灵活应用二项式定理和二项式系数的性质解决简单问题. 1． 创设情境，引入新知 “探秘杨辉三角的数字密码 —— 解锁二项式系数的隐藏规律” 在我国南宋时期，数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了这样一个神奇的数字三角形，它在西方被称为 “帕斯卡三角”，比杨辉的记载晚了近 400 年。 思考：大家仔细观察这个三角形，能发现哪些直观的数字特点？ 追问：大家还记得我们上节课学习的二项式定理吗？展开式的二项式系数就是 。现在请大家对照 PPT 上的杨辉三角，把 到的二项式系数写出来，看看和杨辉三角有什么关系？ 预设：杨辉三角的第行，恰好就是 展开式的二项式系数 思考：既然二项式系数和杨辉三角是 “一体两面” 的关系，那除了我们刚才发现的首尾为 1、对称、“肩和” 这些特点，二项式系数还隐藏着哪些更深层的性质？ 比如： 每行的二项式系数总和是多少？有没有规律？ 每行的二项式系数中，哪个数字最大？什么时候最大？ 这些性质在解决二项式相关问题时，能帮我们简化计算吗？ 2． 探究新知 探究：利用二项式定理得到当n=1,2,3,4,5,6时的(a+b)n展开式，并将二项式系数填入下表： n 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 表6.3-1 学生：利用二项式定理，展开，填写以上表格. 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 问题1：观察上图，每行的系数具有什么性质? 追问：除此以外还有什么规律呢？ 问题2：对于的展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们，函数的解析式是什么？定义域是什么？ 要求：画出时，函数的图象 追问：能否画出时函数的图象 思考：比较它们的异同，你发现规律，得出二项式系数的性质？ 性质1： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．事实上，这一性质可直接由 得到． 直线 将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 牛刀小试： 练1：若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（     ）． A．10 B．9 C．8 D．7 性质2： 与最大值 要求：根据组合数计算公式，求，当n为何值时，二项式系数最大？ 牛刀小试： 练2：若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 . 练3：（多选）以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 性质3：各二项式系数的和 思考：将所有的二项系数求和，完成以下表格，并总结规律得出猜想 n 的展开式的二项式系数 求和 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 6 1 6 15 20 15 6 1 预设：猜想： 已知 ， 令 ，得 ． 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于 ． 思考：各二项式系数的和只与中a,b,n哪个值有关系？ 牛刀小试： 练4：展开式中所有项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 练5：若的展开式中二项式系数和为128，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3． 应用新知 小试牛刀： 判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( ) （2）二项展开式的二项式系数和为 .( ) （3）在 的展开式中，当n 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大.( ) （4）在的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 .( ) 例3 求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 思考：由例3知，在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，那么和分别是多少呢？ 思考：由例3 解题过程可知，中a,b可以取任意实数，那么可以取多项式吗？比如. 4． 数学文化 二项式系数的性质，一定要认识我国的一本书和一个人： · 《 》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就. · ，南宋杰出的数学家与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”. 杨辉三角 · 以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 5． 题型强化练习 类型一：求指定项的二项式系数 例1 的展开式中含的项的二项式系数为（    ） A．15 B．20 C． D．1215 总结：先根据已知条件，求出满足题意的 值，用求出 二项式系数即可. 题型二：二项式的系数和 例题2 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 总结：根据二项式的系数的和求出 ,然后结合题意解答. 题型三：二项展开式各项的系数和 例题3 已知. (1)求 (2)求 (3) 总结：求展开式的各项系数之和,常用 法,只需令x=1即可; 对的式子求其展开式各项系数之和,只需令 即可. 题型四：求系数最大（小）的项 例题4 （1）在的展开式中系数最大的项是第 项． 总结：法一：通项公式法，最大（小）值首先保证系数为正数（负数），然后结合二项式系数的 ，得出系数最大的项. （2）已知求展开式中系数最大项 总结：法二：不等式组法，利用通项先求出第k+1项的系数，然后列不等式组： _______________________________ 解不等式组，结合k∈N+得出 值，即可求解. 题型五：三项展开式的系数问题 例题5 的展开式中项的系数为 ． 总结：利用(a+b+c)n三项展开式通项公式：_______________________ 题型六：两个二项式乘积展开式的系数问题 例题6 在的展开式中，的系数为 ． 总结：先用 展开，然后分别用 次通项公式，求得两个目标项的系数，然后进行系数相加减即可得出结果. 题型七：整除与余数问题&近似数问题 例题7 （1）被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 （2）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 总结：结合二项式定理展开式，找出倍数的项，剩下的项即为 6． 课堂小结 作业1：完成教材：第34页 练习1，2，3，4；. 作业2：配套辅导资料对应的《二项式系数的性质》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $