6.3.2 二项式系数的性质导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.3.2 二项式系数的性质【导学】【解析】 【导学目标】 1.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 3.利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透. 【导学重点】会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 【导学难点】能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 【知识要点】 知识点一：二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二：二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点三：杨辉三角 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 知识点四：二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即. （2）增减性与最大值 当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小. 当n是偶数时,中间的一项取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和：+…+=2n. 【方法归纳一】 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可; 对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=, 偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 【方法归纳二】 求二项展开式中系数的最值的方法 (1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决. (2)若二项展开式的系数为f(k)=·mg(k)的形式. 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数 最大,应用解出k,即得系数最大的项. 【典型例题】 题型一：二项式系数的性质的理解 【例1-1】在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　　. 【答案】70a4b4； 【解析】因为(a+b)8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为a4b4=70a4b4. 【例1-2】已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ） A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】D 【解析】展开式的通项. 令，解得，所以展开式中的常数项为， 又，所以，所以即，其展开式共有11项， 且正中间一项的二项式系数最大，又展开式中的二项式系数与对应项的系数相同， 所以展开式中第6项的系数最大， 故选：D 【例1-3】已知，的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是（ ） A．7 B． C．21 D． 【答案】C 【解析】由题意，二项式的展开式中二项式系数的和为128，可得，解得， 所以二项式，则展开式的通项为， 当时，可得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 题型二：二项展开式中系数和的求法 【例2-1】（多选题）对于展开式的二项式系数下列结论正确的是（　　） A． B． C．当为偶数时， D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由组合数的运算直接可得，故A正确；对于B， 由杨辉三角直接可得，故B正确； 对于C，二项式展开式中，令，不论为奇数还是偶数，都可得，故C正确；对于D，由选项C可知，故D错误. 故选：ABC 【例2-2】（多选题）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为 C．存在常数项 D．的系数为12 【答案】ABC 【解析】对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确； 对于B，二项式系数之和为，故B正确； 对于C，的展开式的通项公式为， 令，解得，即常数项为第四项，故C正确； 对于D，，令， 解得，则的系数为，故D错误. 故选：ABC. 【例2-3】在二项式的展开式中，________．给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256； ③若展开式中第7项为常数项． 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项． （备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分） 【答案】答案见解析 【解析】选择①：，即， 即，即，解得或（舍去） 选择②：，即，解得． 选择③：，则有，所以． 因为展开式中第7项为常数项，即，所以． （1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项， ，． （2）展开式通项为：， 令，∴， ∴展开式中常数项为第7项，常数项为． 题型三：二项展开式中系数的最值 【例3-1】已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 【答案】系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6. 【解析】T6=·(2x)5,T7=·(2x)6, 依题意有·25=·26,解得n=8. ∴在(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=·(2x)4=1120x4. 设第k+1项的系数最大,则有解得5≤k≤6. ∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}). ∴系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6. 【例3-2】在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（ ） A．45 B．-45 C．120 D．-120 【答案】A 【解析】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， ∴在的展开式有11项，即n=10；而展开式的所有项的系数和为0， 令x=1，代入，即，所以a= -1. ∴是展开式的通项公式为：， 要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为. 故选：A 【例3-3】已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则，即， 求得或6，此时，，， 故选：A． 【例3-4】（多选题）若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】分以下三种情况讨论： ①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得； ②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得； ③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得. 因此，的可能值为、、. 故选：ABC. 【例3-5】（多选题）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ） A． 该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为 C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1 【答案】BD 【解析】对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误； 对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确． 对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误． 对于D，当时，，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除， 即当时，除以100的余数是1，故正确． 故选：BD. 【例3-6】若，则的值为________. 【答案】-1 【详解】因为， 令可得；令可得：； 故． 【例3-7】在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________. 【答案】3 【解析】的展开式 令二项式中的得到展开式中的各项系数的和为， 又各项二项式系数的和，为， 根据题意得即， 解得或 (负值舍)，故. 【例3-8】已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号） 条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3； 条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55； 条件③. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项. 【答案】（1）；（2）. 【详解】通项公式为，， 若填条件①，（1）依题意得，即， 所以，整理得，所以或（舍）， 因为，所以的展开式共有项， 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， 所以. （2）通项公式为，令，得， 所以展开式中含的项为. 若填条件②，（1）依题意得，所以， 所以，即，所以或（舍）， 因为，所以的展开式共有项， 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， 所以. （2）通项公式为， 令，得，所以展开式中含的项为. 若填条件③，（1）依题意得，则， 所以，所以， 因为，所以的展开式共有项， 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， 所以. （2）通项公式为，令，得， 所以展开式中含的项为. 【例3-9】已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求的展开式中： （1）所有二项式系数之和； （2）二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项. 【答案】（1）；（2）；（3）第项. 【解析】（1）由题意，解得，二项式系数和为 （2）由于为偶数，所以的展开式中第6项的二项式系数最大， 即. （3）设第项的系数的绝对值最大， 则 ∴，得，即 ∴，∴， 故系数的绝对值最大的是第4项，即： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.3.2 二项式系数的性质【导学】【解析】 【导学目标】 1.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 3.利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透. 【导学重点】会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 【导学难点】能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 【知识要点】 知识点一：二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二：二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点三：杨辉三角 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 知识点四：二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即. （2）增减性与最大值 当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小. 当n是偶数时,中间的一项取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和：+…+=2n. 【方法归纳一】 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可; 对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=, 偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 【方法归纳二】 求二项展开式中系数的最值的方法 (1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决. (2)若二项展开式的系数为f(k)=·mg(k)的形式. 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数 最大,应用解出k,即得系数最大的项. 【典型例题】 题型一：二项式系数的性质的理解 【例1-1】在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　　. 【例1-2】已知的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ） A．第2项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【例1-3】已知，的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中的系数是（ ） A．7 B． C．21 D． 题型二：二项展开式中系数和的求法 【例2-1】（多选题）对于展开式的二项式系数下列结论正确的是（　　） A． B． C．当为偶数时， D． 【例2-2】（多选题）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为 C．存在常数项 D．的系数为12 【例2-3】在二项式的展开式中，________．给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256； ③若展开式中第7项为常数项． 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项． （备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分） 题型三：二项展开式中系数的最值 【例3-1】已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 【例3-2】在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（ ） A．45 B．-45 C．120 D．-120 【例3-3】已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例3-4】（多选题）若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ） A． B． C． D． 【例3-5】（多选题）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ） A． 该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为 C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1 【例3-6】若，则的值为________. 【例3-7】在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________. 【例3-8】已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号） 条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3； 条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55； 条件③. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项. 【例3-9】已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求的展开式中： （1）所有二项式系数之和； （2）二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $