6.3.1 二项式定理 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 【学习目标】 1. 能运用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，提升逻辑推理素养. 1. 掌握二项式定理及二项展开式的通项公式. 1. 能运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（求特定项、系数、二项式系数等），提升数学运算素养. 【学习重点】 1. 二项式定理的推导过程及其展开式的结构特征. 2. 二项展开式的通项公式 . 3. 利用通项求展开式中的指定项（如常数项、有理项等）. 【学习难点】 1. 从计数原理（分步乘法、组合数）的角度理解二项式系数. 2. 正确区分“二项式系数”与“项的系数”. 学习任务一 二项式定理的发现与猜想 【合作探究】 1. 回顾旧知： · 我们已经知道： · 观察以上两个展开式，回答： · (1) 展开式共有多少项？ · (2) 各项中 与 的指数有什么规律？ · (3) 各项的系数（即二项式系数）有什么特点？你能根据组合数写出这些系数吗？ 1. 猜想 的展开式： · 请根据上述规律，先写出 的展开式（不计算具体数值），然后尝试用多项式乘法验证. 1. 归纳猜想： · 对于一般的 （），展开式应该具有什么形式？请写出你的猜想. 【自主梳理】 二项式定理： 对于任意正整数 ，有 其中 叫做二项式系数，上式右边的多项式叫做 的二项展开式，共有 项. 展开式的特点： · 项数： 项. · 指数： 的指数从 递减到 ， 的指数从 递增到 ，各项中 与 的指数和为 . · 二项式系数：. 学习任务二 二项式定理的证明与通项公式 【合作探究】 1. 为什么二项式系数是 ？ · 考虑 （ 个括号）.每个括号中取 或 ，相乘得到一项.要得到 项，需要在 个括号中选择 个取 ，其余取 .这样的选择方法有 种，且不同选择得到的是同类项（合并后系数为 ）.因此 的展开式中 项的系数为 . 1. 通项公式： · 二项展开式中的第 项（记作 ）为： · 注意： 是从 开始的. 1. 特殊形式： · 当 ， 时，有 【自主梳理】 1. 二项式系数：（）. 1. 通项：. 1. 应用：利用通项可以求出展开式中的特定项（如常数项、有理项、指定次数的项等）. 学习任务三 二项式定理的初步应用（求特定项、系数） 【合作探究】 1. 例1：求 的展开式的第 4 项，并指出该项的二项式系数和系数. 解：由通项 . · 第 4 项对应 ，所以 . 二项式系数为 . 项的系数为 . 1. 例2：求 的展开式中的常数项. 提示：写出通项 . · 令指数为 ，解出 ，再计算常数项. · 1. 小组合作：求 的展开式中 的系数. 【自主梳理】 利用通项求特定项的步骤： 1. 写出通项 . 1. 合并 的指数（或其他字母），得到关于 的表达式. 1. 根据题目要求（常数项、 项、有理项等）列出方程，解出 （满足 且为整数）. 1. 代回通项计算出该项（或系数）. 注意： 二项式系数是 ，项的系数是该项中除去字母后的常数因子（包括符号）. 若两项中均含有字母，需先合并指数. 【自查自纠】（正误判断） 1. 的展开式中共有 项. （ ） 1. 二项式系数 与 有关，与 无关. （ ） 1. 的展开式中，第 项的二项式系数是 . （ ） 1. 的展开式中的常数项是 . （ ） 1. 在 的展开式中，常数项出现在 时. （ ） 【典例分析】 例1：求 的展开式中 的系数. 解： 例2：已知 的展开式中，前三项的二项式系数之和为 ，求展开式中所有有理项. 解： 【习题巩固】 1. 的展开式的第 3 项是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 的展开式中的常数项是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在 的展开式中， 的系数是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 的展开式中第 3 项与第 5 项的二项式系数相等，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 导学案参考答案 学习任务一 1. 回顾旧知 · (1) 展开式共有 项 · (2) 的指数从 递减到 ， 的指数从 递增到 ，指数和为 · (3) 系数为组合数 2. 猜想 展开式 3. 归纳猜想 学习任务二 1. 二项式系数的来源 · 从 个括号中选 个取 ，其余取 ，方法数为 ，对应 项的系数. 2. 通项公式 · ，其中 3. 特殊形式（） 学习任务三 例1：求 的第4项 · 第4项对应 ： · 二项式系数： · 系数： 例2：求 的常数项 · 通项 · 令 · 常数项 小组合作：求 中 的系数 · 通项 · 令 · 系数 二、自查自纠（正误判断） 1.错， 的展开式共有 项， 2.对，二项式系数只与 有关，与 无关， 3.错，第 项的二项式系数是 ， 4.错， 的常数项为 ， 5.对， 中常数项对应 ，该项为 . 三、典例分析答案 例1 求 展开式中 的系数. 解： 通项 令 系数为 答案： 例2 已知 展开式中前三项的二项式系数之和为 ，求展开式中所有有理项. 解： 前三项二项式系数和： 化简得 通项 指数 为整数（对所有整数 ），故所有项均为有理项. 有理项共 项： 答案：，有理项为上述 项. 四、习题巩固答案 1. C  的第 3 项为 · （） 2. 常数项为 15（对应选项见原题） · ：通项 ，令 ，常数项 3. 35  中 系数为 4. B. 6  学科网（北京）股份有限公司 $