6.3.1 二项式定理导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.3.1 二项式定理【导学】 【教学目标】 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 2.会应用二项式定理求解二项展开式； 3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力； 4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容. 【导学难点】利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 【导学重点】会应用二项式定理求解二项展开式； 【知识要点】 知识点一:二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点2:二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项， 记作Tk＋1＝Can－kbk.(k∈{0,1,2，…，n}) 知识点3：二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n. (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 典型例题 题型一：二项式定理的理解 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)； (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)； (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)； (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 【例1-2】(多选)下列选项正确的有(　　) A．Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项； B．(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关； C．二项展开式中，二项最大的项为中间一项或中间两项； D．(a＋b)n展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同. 【例1-3】若(2－x)10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C， 则A＋B＋C＝(　　) A．4095　　　　　　　　 B．4097 C． －4095 D．－4097 题型二：二项展开式的应用 【例2-1】展开= ． 【例2-2】求34的展开式. 【例2-3】化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 题型三：二项式系数与项的系数的求解 【例3-1】（多选）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【例3-2】（多选题）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3-3】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 【变式训练3-1】求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; 【变式训练3-2】求x-9的展开式中x3的系数. 【方法归纳】二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为. 题型四：二项式中的特定项及系数问题 【例4-1】二项式的展开式中有理项共有　　　项.  【例4-2】若的展开式中的系数是，则 ． 【例4-3】已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 【例4-4】已知在的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 【例4-5】(多选)在二项式n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则(　　) A． n＝10 B．展开式中没有常数项 C．展开式所有二项式系数和为1024 D．展开式所有项的系数和为256 【例4-6】的展开式的常数项是________． 【例4-7】在二项式的展开式中， （1）求展开式中含项的系数： （2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.3.1 二项式定理【导学】【解析】 【教学目标】 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 2.会应用二项式定理求解二项展开式； 3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力； 4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容. 【导学难点】利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； 【导学重点】会应用二项式定理求解二项展开式； 【知识要点】 知识点一:二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点2:二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项， 记作Tk＋1＝Can－kbk.(k∈{0,1,2，…，n}) 知识点3：二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n. (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 典型例题 题型一：二项式定理的理解 【例1-1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)； (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)； (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)； (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) 【答案】(1)×；　(2)×；　(3)×；　(4)√. 【解析】(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项． (2)×　因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的 第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的． (3)×　因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项． (4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C. 【例1-2】(多选)下列选项正确的有(　　) A．Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项； B．(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关； C．二项展开式中，二项最大的项为中间一项或中间两项； D．(a＋b)n展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同. 【答案】：BD 【解析】A．Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k+1项，A错； B．(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关，B对； C．二项展开式中，系数系数最大的项为中间一项或中间两项，C错； D．(a＋b)n展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同，D对. 【例1-3】若(2－x)10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C， 则A＋B＋C＝(　　) A．4 095　　　　　　　　 B．4 097 C． －4 095 D．－4 097 【答案】：C 【解析】：由(2－x)10展开式的通项公式为Tr＋1＝C·210－r·(－x)r＝(－1)r·210－rC·xr， 所以一次项系数C＝(－1)1·29·C＝－5120， 二项式系数和A＝210＝1024， 令x＝1，则所有项的系数和B＝(2－1)10＝1， 所以A＋B＋C＝－4 095． 故选C． 题型二：二项展开式的应用 【例2-1】展开=_____． 【答案】 【解析】 ． 【例2-2】求34的展开式. 【解析】:(1)方法一：34=(3)4+(3)3·(3)2·2 +·33+·4=81x2+108x+54+. 方法二：34==(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54+. 【例2-3】化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 【解析】原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)+(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 题型三：二项式系数与项的系数的求解 【例3-1】（多选）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】AB 【解析】二项式展开式的通项为，， 令，得， 常数项为，，得， 故答案为. 【例3-2】（多选题）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BD 【解析】因为的展开式的第项为， 若的展开式中存在常数项，则只需，即，又，， 所以只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得； 故选：BD. 【例3-3】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【解析】法一：(1＋x)n的通项公式Tr＋1＝Cxr中， 当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为 C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝35． 法二：多项式可化为， 二项式(x＋1)7的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r,7－r＝4⇒r＝3， 含x3项的系数为C＝35． 故选C． 【变式训练3-1】求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; 【答案】6，-12 【解析】由已知得二项展开式的通项为 Tk+1=(2)6-k·-k=26-k·(-1)k·, ∴T6=-12. ∴第6项的二项式系数为=6, 第6项的系数为·(-1)5·2=-12. 【变式训练3-2】求x-9的展开式中x3的系数. 【答案】-84 【解析】设展开式中的第k+1项为含x3的项,则 Tk+1=x9-k-k=(-1)kx9-2k, 令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3, 其系数为(-1)3·=-84. 【方法归纳】二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为. 题型四：二项式中的特定项及系数问题 【例4-1】二项式的展开式中有理项共有　　　项.  【答案】4 【解析】根据二项式定理的通项Tk+1=. 当取有理项时,为整数, 此时k=0,2,4,6.故共有4项. 故答案:4 【例4-2】若的展开式中的系数是，则 ． 【答案】1 【解析】展开式的的通项为， 令，的展开式中的系数为. 【例4-3】已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 【答案】156 【解析】由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18. x2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171. ∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81, 此时x7的系数为=156. 故答案:156 【例4-4】已知在的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)10； (2)； (3)T3=x2=x2,T6==-, T9=x-2=x-2. 【分析】先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问. 【解析】(1)由通项知,展开式中第k+1项为 Tk+1=·()n-k··()n-k·. ∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10. (2)由(1)知Tk+1=. 令=2,则k=2. ∴x2的系数为×45=. (3)当Tk+1项为有理项时,为整数,0≤k≤10,且k∈N. 令=z,则k=5-z, ∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件. ∴有理项为T3=x2=x2, T6==-, T9=x-2=x-2. 【例4-5】(多选)在二项式n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则(　　) A． n＝10 B．展开式中没有常数项 C．展开式所有二项式系数和为1024 D．展开式所有项的系数和为256 【答案】BD 【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为C，所以n＝8，A错误； 因为Tk＋1＝C8－k(－3x2)k＝(－3)kCx5k－24，k＝0，1, …，8，因为5k－24≠0， 所以展开式中没有常数项，B正确； 展开式所有二项式系数和为28＝256，C错误； 令x＝1，可得展开式所有项的系数和为(－2)8＝256，D正确． 故选BD． 【例4-6】的展开式的常数项是________． 【答案】 【解析】， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由，可得， 因此，的展开式的常数项为. 【例4-7】在二项式的展开式中， （1）求展开式中含项的系数： （2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值. 【答案】（1）264；（2）或. 【解析】 (1)设第项为， 令解得， 故展开式中含项的系数为. (2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， ∵ ，故或， 解得或. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $