学易金卷：八年级数学下学期5月学情自测卷02【新教材北师大版，测试范围：八年级下册第一～五章】

**基本信息** 覆盖北师大版八下1-5章，以解答题为核心（75分），设计综合实践几何题、新定义“巧分式”、机器人购买应用题等，体现推理意识、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式、不等式、因式分解|基础概念辨析，如分式定义（1题）、不等式性质（2题）| |填空题|5/15|分式值为零、等腰三角形性质|几何性质应用，如等腰三角形中距离计算（13题）| |解答题|8/75|配方法、方程应用、综合几何|22题新定义“巧分式”考查抽象能力，23题综合实践结合几何证明与计算，20题机器人购买问题体现模型意识|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一~五章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式． 【详解】解：A选项的分母是常数2，不含字母，属于整式； B选项的分母是含字母x的整式，符合分式定义； C选项的分母是常数3，π是常数，属于整式； D选项是多项式，属于整式； 故选：B． 2．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立． 【详解】解：∵， A、两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； C、两边同时乘以，不等号方向改变，则，再两边加 1，则，故本选项符合题意； D、由，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，依据定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故A不符合题意； B选项右边展开得，与左边不相等，变形错误，不是因式分解，故B不符合题意； C选项将多项式转化为，是几个整式的积的形式，符合因式分解的定义，故C符合题意； D选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：C． 4．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 5．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的倍 C．是原来的 D．不变 【答案】A 【分析】根据题意，只需将扩大后的、代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将扩大后的、代入原分式可得， ， 所以，新分式的值是原分式的9倍，即分式的值扩大到原来的9倍． 6．农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．根据题意得出，再得出，即可解答． 【详解】解：∵鸡舍周长为10， ∴， ∵，即， ∴， ∴鸡舍的面积为6， 故选：A． 7．若x=4是分式方程的根，则a的值为　　 A．6 B．－6 C．4 D．－4 【答案】A 【分析】把x=4代入方程进行求解即可. 【详解】由题意得：=， 解得：a=6， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键. 8．如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天植树棵，可得实际每天植树棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 原计划完成任务的时间为天，实际完成任务的时间为天， 根据结果提前天完成任务，可得：． 10．已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，完全平方公式，代数式求值，先由完全平方公式得出，再进行分式运算即可，解题的关键是用到了整体代入的思想． 【详解】解：∵， ∴， ∴，整理得：， ∴， 代入得： ， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若分式的值为零，则x的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得且； 故答案为：5． 12．因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 13．如图，是等腰的腰上一点，于，于，若，则_____． 【答案】/68度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．利用三角形外角的性质先求出的度数，然后由得到的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ∵是等腰三角形，是腰， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组解集的确定法则，得到关于a的不等式，计算求解即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ∴， ∴． 15．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，连接，如图所示，由等腰直角三角形的判定与性质得，然后利用三角形三条边的关系求解即可．确定当三点共线且点不位于点之间时有最大值是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在等腰中，，且， ∵点为边的中点， 由等腰三角形三线合一性质可知，即是斜边上的高线， ∴， 、均为等腰直角三角形， ． 等腰的斜边， ． 当三点不共线时，由三角形的三边关系可知，此时一定有；即当三点共线且点不位于点之间时有最大值，此时有， 等腰腰长为6， ∴，即点到点的距离的最大值为． 故答案为：． 2、 解答题：本题共8小题，共75分。 16.（6分）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再将除法转化为乘法并约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（8分）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴的周长是25． 19．（8分）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它可以解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以．可知当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当_____时，代数式有最小值为________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（要求写出解答过程） 【答案】(1)2，1 (2)当时，有最小值，最小值是7，过程见解析 【分析】本题考查了配方法的运用、完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍． （1）将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值． （2）将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值． 【详解】（1）∵， ∴当时，代数式有最小值为1． 故答案为：2，1； （2）        ． 由上可知：当时，有最小值，最小值是7． 20．（10分）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 (2)购买A型机器人模型至少为14台 【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 21．（10分）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知等式得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知式子得出变化规律即可； （2）根据完全平方公式和提公因式法对式子变形即可得证； （3）根据提公因式法对式子变形即可得证． 【详解】（1）解：观察可知：； （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是； （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数． 22．（12分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 23．（13分）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①（或），②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由已知可得，则，进而得； ②过点C作，交于点F，可证得，从而； （2）过点C作于点M，于点N，证明，从而得出； （3）取中点G，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）①解：∵，，， ∴， ∴， ∴； ②证明：过点C作，交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点C作于点M，于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：取中点G，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D、G分别是、边上的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C C A A A A A B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．5 12．a(2a+1)(2a-1) 13．/68度 14.a≤−3 15. 8 2、 解答题：本题共8小题，共75分。 16.（6分） 【详解】解：解不等式①，得：，（2分） 解不等式②，得，（4分） ∴不等式组的解集．（6分） 17． （8分） 【详解】解：原式（2分） （4分） ，（6分） 当时，原式（8分） 18． （8分） 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；（4分） （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为，（6分） ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴的周长是25．（8分） 19． （8分） 【详解】（1）∵， ∴当时，代数式有最小值为1． 故答案为：2，1；（3分） （2）        ． 由上可知：当时，有最小值，最小值是7．（8分） 20． （10分） 【详解】（1）解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得，（4分） 经检验，是原方程的解且符合题意， ．，（5分） 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元；（6分） （2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得：（7分） 解得（8分） （9分） 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台．（10分） 21． （10分） 【详解】（1）解：观察可知：；（2分） （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是；（6分） （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数．（10分） 22． （12分） 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”；（3分） （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：；（8分） （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ，（11分） 又是整式， 是“巧分式”．（12分） 23． （13分） 【详解】（1）①解：∵，，， ∴， ∴， ∴；（2分） ②证明：过点C作，交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）证明：如图，过点C作于点M，于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；（9分） （3）解：取中点G，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D、G分别是、边上的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴．（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 19．（8分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） （1） 23．（13分） （1）① 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一~五章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A．B．C．D． 5．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的倍 C．是原来的 D．不变 6．农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 7．若x=4是分式方程的根，则a的值为　　 A．6 B．－6 C．4 D．－4 8．如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若分式的值为零，则x的值为_____． 12．因式分解：_________． 13．如图，是等腰的腰上一点，于，于，若，则_____． 14．若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 15．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为________． 2、 解答题：本题共8小题，共75分。 16.（6分）解不等式组： 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 19．（8分）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它可以解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以．可知当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当_____时，代数式有最小值为________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（要求写出解答过程） 20．（10分）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 21．（10分）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 22．（12分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 23．（13分）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一~五章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A．B．C．D． 5．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的倍 C．是原来的 D．不变 6．农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 7．若x=4是分式方程的根，则a的值为　　 A．6 B．－6 C．4 D．－4 8．如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵．设原计划每天植树棵，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，那么分式的值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若分式的值为零，则x的值为_____． 12．因式分解：_________． 13．如图，是等腰的腰上一点，于，于，若，则_____． 14．若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 15．如图，等腰腰长为6，等腰的斜边，点为边的中点，若等腰绕点旋转，则点到点的距离最大值为________． 2、 解答题：本题共8小题，共75分。 16.（6分）解不等式组： 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 19．（8分）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它可以解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以．可知当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当_____时，代数式有最小值为________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（要求写出解答过程） 20．（10分）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 21．（10分）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 22．（12分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 23．（13分）综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.A1[B1[CJ[D1 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6.A][B][C]ID1 10.A][BJ[C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.A][B][CJ[D1 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 12. 13. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18. (8分) 19.(8分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) (1) 23. (13分) (1)① 图 C D B E 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！