8.2 立体图形的直观图-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点) 2.能用斜二测画法画出简单空间几何体(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.(难点) 3.掌握直观图与原图形的长度、角度和面积间的关系. 8.2 立体图形的直观图 简单几何体的分类： 多面体 旋转体 棱柱 棱锥 棱台 球体 圆柱 圆锥 圆台 简单几何体 ① 棱柱 圆柱 柱体 球体 锥体 台体 棱锥 圆锥 棱台 圆台 简单几何体 ② 1、由简单几何体拼接而成. 2、由简单几何体截去或挖去一部分而成 简单组合体 复习回顾 思考1：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 请同学们观察下列直观图，思考如何把一个空间几何体的直观图 画在一个平面内，使其具有很好的立体感？ 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形. 在初中我们学过的投影分为中心投影和平行投影 D C B A 斜投影 正投影 光由一点向外散形成的投影，叫做中心投影. 投影线交于一点. 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的投影线是平行的. （太阳光线近似平行光线） 平行投影的规律： 1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.平行于投影面的线段的投影长不变. 例如，矩形窗户在阳光照射下的投影，眺望远处成块的农田 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法. 如何用斜二测画法 画水平放置的平面图形的直观图呢？ ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ① 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面. x' y' O' A B C D A' B' D' x y O C' 例1.用斜二测画法画水平放置的边长为4的正六边形的直观图 x A B C D F E y O M N x' y' O' A' D' M' N' B' C' F' E' (1)三变. ①坐标轴的夹角改变； ②与y轴平行的线段的长度改变； ③图形的形状改变. (2)三不变. ①线段的平行关系不变； ②与x轴平行或重合的线段的长度不变； ③点的相对位置不变. 例1.用斜二测画法画水平放置的边长为4的正六边形的直观图 横不变, 纵减半, 平行性不变 7 练习1 用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图（尺寸自定）. （1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形. y x O y x O y x O y x O A C B D A B C A B C D A B C D E y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ E′ 练习2 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否 正确？正确的在括号 内画“√”，错误的画“×”. （1）相等的线段在直观图中仍然相等. （ ） （2）平行的线段在直观图中仍然平行. （ ） （3）一个角的直观图仍是一个角. （ ） （4）相等的角在直观图中仍然相等. （ ） （5）三角形的直观图还是个三角形. （ ） （6）菱形的直观图还是个菱形. （ ） （7）平行四边形的直观图还是平行四边形. （ ） √ × √ × √ × √ 练习3 (1)已知等边三角形的边长为4，则用斜二测画法画出的水平放置的直观图 的面积为______. (2)一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方 形，则这个平面图形的面积为______. x y O C A B x' y' O' C' A' B' x' y' O' C' A' B' x y O C A B 练习4 如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，C'A'=2，B'D'∥y' 轴且B'D'=1.5. ①将其恢复成原图形； ②求原平面图形△ABC的面积. 若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直 观图的面积为S直，则有S直= S原. (1)如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A'B'C'D'， 则原四边形ABCD的面积是 A.14 B.10 C.28 D.14 跟踪训练 3 (2)如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O'A'＝6 cm，C'D'＝2 cm，则四边形OABC的形状是　　　　.  大本P68 12 思考2：如何画圆的直观图呢？ 生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 实际画图时，只要先画椭圆的轴，然后利用椭圆模板或徒手画出一个近似椭圆即可. 椭圆模板 画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变. 思考3：如何画空间几何体的直观图呢？ x y o z ∠xOy=45°,∠xOz=90° 例2 已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm， 用斜二测画法画出它的直观图. （1）画轴. 画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. （2）画底面.在x轴正半轴上取线段 AB，使AB=3 cm;在y轴正半轴上取线段 AD，使AD=1 cm. 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C， 则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. x y o A B C D z x y o A B C D z A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A B C D （3）画侧棱. 在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5 cm，过B，C，D 各点分别作z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段 BB'， CC'，DD'. （4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被 遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了. 例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图 17 O 圆锥 O 球 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线； 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性． 18 练习5 已知某几何体分为上、下两部分，上部分是圆锥，下部分是圆台，圆台的下底面与圆锥的底面重合，请用斜二测画法画出该几何体的直观图. 练习6 用斜二测画法画出正四棱锥的直观图. 练习7 画一个底面边长为2cm，高为3cm的正三棱柱和正三棱锥的直观图 画轴 画底面 画侧棱 成图 y x z y' x' O' y' x' O' z 教材P111 练习8 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图. x' y' O' z' A B C D E F A' B' C' D' E' F' 2.空间几何体直观图斜二测画法步骤： 画轴——画底面——画侧棱——连线成图 口诀：横竖不变纵减半，平行性不变 1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤： 画轴取轴——取点——连线成图 口诀：横不变纵减半，平行性不变 斜二测画法 课堂小结 $