8.4.1平面课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 8.4.1 平面 1.借助几何体的直观图认识平面，了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2.理解关于平面基本性质的三个基本事实及其推论，能利用三个基本事实及其推论解决相关问题.(重难点) 3.会用数学语言规范地表达空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点) 问题1 前面我们认识了棱柱、棱锥、棱台等多面体，这些多面体由哪些元素构成？ 顶点、棱、侧面（底面）等是构成这些多面体的基本元素，这些元素之间的相互关系，反映了这些多面体的结构特征． 实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始． 本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系. 无限延展 不计大小 绝对的平 平面的特征 不计厚薄 黑板面 课桌面 平静的水面 几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的. 1.平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向； 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． 2.平面的画法 A B C D 水平平面 直立平面 3.平面的表示 ①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示，如平面α、平面β、平面γ； ②用代表平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点的大写英文字母来表示， 如平面ABCD或平面AC、平面BD. 图形语言 文字语言 符号语言 在 上 在 外 在 内 在 外 与 平行 相交于 在 内 点、线、面的位置关系的符号表示 思考：下面，我们来研究平面的基本性质.要研究平面首先要确定平面，我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？ 由于三个支点在同一个平面上且不共线保证了三角支架的稳定性 4.平面的基本性质 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 简记为：不共线的三点确定一个平面. 图形语言： 符号语言： 作用：确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面. A∉ , 过点A、B、C有且只有一个平面α. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. α a A α α b a b a P 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 作用：确定一个平面． 用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内. 平面基本性质的推论 9 练1 下列命题正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）一条直线和一个点确定一个平面 （C）圆心和圆上两点可确定一个平面 （D）梯形可确定一个平面 问题2 如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？ 如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ 在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。而一个点是不可以确定的。 上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实： 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. B • α A • l ⇒l⊂α A∈l，B∈l A∈α，B∈α 图形语言： 符号语言： 作用：判断直线（或点）是否在平面内的依据． 问题3 如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？ 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线，由此我们得到又一个基本事实。 如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面. 符号语言： 若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l . α l P 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 作用：①判断两个平面相交的依据, ②判断点在直线上． 图形语言： 14 ⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别作三条线的平行线 ⑷把被遮部分的线段画成虚线或不画，其他为实线。 α β 相交平面的画法： α β β α 例1 判断正误 （1）平面α与平面β相交，它们有有限个公共点． （ ） （2）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.（ ） (3) 空间不同三点确定一个平面.(　　) (4) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　) (5) 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.(　　) 练2 不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论 A C B P 练3 下面是四个命题的叙述语(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)，叙述方式和推理都正确的是 A.∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α B.∵A∈α，B∈α，∴AB∈α C.∵A∉a，a⊂α，∴A∉α D.∵A∉α，a⊂α，∴A∉a 课本P128 思考 三个平面最多能把空间分成____部分，最少能把空间分成____部分。 [考]三个平面能把空间分成4或6或7或8部分. 角度1　点、线共面问题 例3 已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面. 证明多线共面的两种方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 练4 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [思路点拨]先选取两条直线确定一个平面，然后证明第三条直线也在这个平面上． 角度2　三线共点问题 例4 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC， 且AB⊂α，CD⊂β. 求证：直线AB，CD，l共点(相交于一点). 证明三线共点的步骤 练5 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1. 求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点． 例5 如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E， 求证：B，E，D三点共线. 角度3　三点共线问题 证明三点共线的方法： 练6 如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R. 求证：P，Q，R三点在同一条直线上． 1. 平面的基本性质 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2. 平面的基本性质的推论 本节课你学会了哪些主要内容？ 例3 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点． （1）求证：C，E，D1，F四点共面； （2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点； （3）若CE与D1F相较于点M, 求证：点D，A，M三点共线. P [点共面问题] [三线共点问题] [三点共线问题] 例3 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点． （1）求证：C，E，D1，F四点共面； （2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点； （3）求证：点D，A，M三点共线. P ∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面． （1）连接EF，D1C，A1B， ∵E为AB的中点，F为AA1的中点， ∴EF∥A1B. ∵在正方体 中A1B∥D1C， （2）设D1F∩CE＝P，D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 证明： ∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴P∈DA， 即CE，D1F，DA三线交于一点． [点共面问题] [三线共点问题] [三点共线问题] ∴点D，A，M三点共线． 例3 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点． （1）求证：C，E，D1，F四点共面； （2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点； （3）求证：点D，A，M三点共线. P 典例解析 (3)∵D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA， ∴M∈平面A1D1DA. 同理M∈平面BCDA， 从而M在两个平面的交线上， ∵平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD， ∴M∈AD成立． 证明： [点共面问题] [线共点问题] [点共线问题] α 例1 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 证法一： ∵l1∩l2＝A， ∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2. 又∵l2⊂α， ∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3 ∴l3⊂α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内． [思路点拨]先选取两条直线确定一个平面，然后证明第三条直线也在这个平面上． 典例解析 [线共面问题] α 例1 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [线共面问题] 典例解析 证法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内． α 例1 求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [线共面问题] 典例解析 ∵A，B，C三点不在同一条直线上， ∴A，B，C 三点可以确定一个平面 . ∵A∈α，B∈α，A∈l2 ，B∈l2 ∴l2⊂α ， 同理l1⊂α，l3⊂α ∴直线l1、l2、l3在同一平面内. 证法三： 如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R. 求证：P，Q，R三点在同一条直线上． 证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l. ∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α， ∴P是平面ABC与平面α的公共点． ∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l. ∴P，Q，R三点在同一条直线l上． 跟踪练习 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1. 求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点． 跟踪练习 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． $