专题14 解答题压轴题综合（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题14 解答题压轴题综合 一、解答题 1．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)对于，当，；当，；当， 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）设，，，，所以， ， 则直线为. 令，则. ， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. （3）当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 2．（2026·上海奉贤·二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l与相切，求当时，的长； (3)若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得； （2）设出直线后，利用圆的切线的性质计算可得，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得； （3）设，，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用圆上的点的性质，借助向量有，计算后可得与、、、有关等式，再利用定点性质计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； （2）由，则，可设，、， 则由直线与相切，可得，化简得， 联立，消去可得， ， 则，， 则 ； （3）设，、，， 联立，消去可得， ，即， ，， 由点在以为直径的圆上，则， 由，， 则 ， 即 故，则有， 由，故，则有， 即或，由，故， 即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点， 且点坐标为. 3．（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； (3)若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)0 (3)是， 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数，即可求离心率； （2）设直线，，联立椭圆方程并应用韦达定理，代入化简即可得； （3）由题设为的外心，由，从而有，得，设出三角形外接圆的方程，联立整理得一元二次方程，其与（2）中方程同解得到等比例关系求得，进而确定坐标并求得，即可得结论. 【详解】（1）由题设，则，离心率为； （2）由（1）知，，即， 设直线，， 联立得，则， ， ， 所以； （3）由，则为的外心， 由，根据对称性知，则， 设过的圆为， 过得，， 联立圆与直线，整理得， 上述方程与有同解， 所以，可得， 外心，则， 所以为定值. 4．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 5．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值，直线方程；最小值，直线方程 【分析】（1）根据椭圆已知的焦距和离心率求出参数，代入椭圆标准方程得到结果； （2）将表示为点坐标的线性式，结合椭圆方程的参数形式，利用余弦函数的值域证明结论； （3）设过点的直线参数方程，利用参数的几何意义将转化为，结合韦达定理得到表达式后求最值. 【详解】（1）由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； （2）设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以， 因此，得证. （3）设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 6．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得； （2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解； （3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证. 【详解】（1）记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以离心率. （2）由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） （3）易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 7．（2026·上海金山·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； (3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)和 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程即可求解； （2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可； （3）设过P点的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率的方程，再由切线与准线交点的纵坐标表示，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可. 【详解】（1）由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. （2）联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. （3）设， 由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为， 即， 由圆知，圆心，半径， 所以，即， 设， 代入切线方程可得，， 所以，（其中分别是的斜率） 所以， 又， 令，则， 令，则， 所以， 因为，所以，所以， 故求的取值范围为. 8．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可； （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【详解】（1）由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为； （3）由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 9．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)最大值为4，最小值为2 (3)，四边形面积的最大值为 【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解； （2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值； （3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值. 【详解】（1）当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； （2）椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； （3）设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 10．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 11．（2026·上海松江·模拟预测）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. (1)判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； (3)若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 【答案】(1)是，证明见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）通过构造函数证明在上即可得到结论； （2）将原不等式转化为两个不等式，构造两个辅助函数并求导，结合绝对值上界函数的定义判断它们的单调性，最后利用单调性导出结论； （3）先判断出在上单调不减，然后根据最值信息得到在和时均为常数，再利用和的约束关系得到此时也为常数，对于时的情况，则通过构造和的差，并利用其单调性以及端点值相等得到其为常数，综合所有情况即可得结论. 【详解】（1）在上，，设，求导得， 当时，，故，故在上单调递增，因此， 即，满足定义，所以是在该区间上的绝对值上界函数. （2）成立， 等价于和同时成立， 设，，由题设可知即， 由此可得，，所以和在上都单调不减， 所以，有，则， 也即成立， 整理得， 同理也即成立， 整理得，于是原不等式得证. （3）结论：，，证明如下： 由题设可知，，因此，在上单调不减， 那么当时，但是，所以即为常数， 所以，又根据，必有，所以； 当时，但是，所以即为常数，同理可得； 当时，利用（2）中构造的，因为单调不减， 又，， 所以也即在上恒成立， 综上所述，，. 【点睛】这一类题目通常利用构造函数寻找突破口，需要时刻注意原函数和导数之间的对应关系. 12．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】（1）由题，，得 故 （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； （3）由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 13．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值； （3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. （3）因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 14．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点. (1)求面积的最大值. (2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值； (3)是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标和椭圆上的点的纵坐标范围，结合三角形的面积公式即可求解； （2）通过联立直线与椭圆方程，用弦长公式表示和，再代入化简，即可证明其和为定值； （3）利用直线与椭圆相切时的判别式条件，结合韦达定理和垂直关系，联立椭圆方程即可求解点. 【详解】（1）对于椭圆 中， ，则，所以， 焦点，设点在上，所以， 因为的面积， 所以当时，面积取到最大值为1. （2）设直线，联立方程组， 整理得：， 其中 ， 设，所以， 所以， 同理，设，代入得：， 已知，所以，代入得：， 所以， 即为定值. （3）假设存在，若，则，此时直线不垂直， 因此直线的斜率存在，分别为，由，得. 若直线，即， 联立方程组，整理得：， 若与相切，则， 化简得：， 此方程的两根为，且， 所以，由，得：，即， 又因为在上，联立方程组， 解得或或或， 即存在点，满足题意. 15．（25-26高三下·上海青浦·期中）函数 和 有相同的定义域，导函数分别为 ， ，若在定义域内均有 ，则称 是 的“ 函数”. (1)判断 是否为 的“ 函数”，并说明理由； (2)已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，且 是 的“ 函数”，证明： （ 为常数）； (3)若 ，证明函数 是函数 的“”函数. 【答案】(1)是，理由见解析. (2)证明见解析. (3)证明见解析 【分析】（1）求出两个函数的导数，根据它们的有界性可证是的“函数”； （2）根据“ 函数”的定义可得，再结合偶函数的性质又可得，据此可得； （3）利用虚设零点判断最值符号可证明 是函数 的“”函数. 【详解】（1） 即, 是的“函数”. （2）设,则. 是的“函数”, ,即. 已知和都是定义在上的偶函数， 两边同乘，得到 由且，得到，即. ,得证. （3）， 令， 故， 令, 在上单调递增， , 根据零点存在定理，可知存在使得即. 当时，单调递减， 当时，单调递增. 由，得，且， 代入上式得 因为，故，而，故， 而，故，所以即恒成立. 故是函数的“函数”. 16．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【答案】(1) (2)，判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守. (3)，元 【分析】（1）根据转化公式化为标准正态分布，根据参考数据利用对称性求解； （2）由题意转化为二项分布，根据二项分布求概率，由结果分析规则的合理性即可； （3）根据二项分布求出对应概率，再由二项分布求期望即可. 【详解】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 17．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的标准方程，焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设切线方程为，联立双曲线方程，再根据，从而得到与的关系，再设直线，从而得到，再代入切线方程，从而得到关于的一元二次方程，再结合，进而求出直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． （2）由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． （3）由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 18．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【答案】(1)、 (2)或． (3) 【分析】（1）求出椭圆的半焦距，可得出点、的坐标； （2）设直线的方程为，设、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程； （3）求出线段的中点的坐标，可得出直线的斜率，将代入直线的方程，可得出点的坐标，即可求出直线的斜率，结合题意可知直线、的斜率相等，可求出的值，再求出、，即可求得的最大值. 【详解】（1）椭圆的半焦距，故、. （2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． （3）设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 19．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率： ； （2） 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； （3）设，由关于原点对称得， 计算得直线的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 20．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． (1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； (2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可； （2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值； （3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式. 【详解】（1）由​，得 ​，求和可得：， 则对任意实数x，有， 即图像的对称中心为： ； （2）由题意可得： ， 求导得：， 要使得在上是减函数，则， 因为，所以，即， 又因为，所以； （3）构造，， 则， 所以在上单调递减， 又因为，， 且在上连续递减，结合零点存在定理， 可知存在唯一实数，使得， 再由，当且仅当时取等号， 根据拉格朗日中值定理，对任意有：， 又因为，，所以对任意，恒有不等式成立， 则由迭代法，结合不等式性质可得： ， 因为，即，， 所以， 因此，即问题得证. 21．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【答案】(1)在上具有“性质”； 在上不具有“性质”. (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断函数和在上是否满足“性质”. （2）分情况讨论函数在不同区间上的单调性，结合“性质”的定义确定的取值范围. （3）先证明集合非空，再通过反证法证明集合是无限集或单元素集. 【详解】（1）因为是严格增函数，则根据“性质”的定义可知，函数在上具有“性质”； 因为，则函数在上不具有“性质”. （2）当时，此时在和上单调递增，函数在上具有“性质”. 当时，此时在和上单调递减，函数在上具有“性质”. 当时，函数在区间不单调， 在不具有“性质”. 当时，此时在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上具有“性质”， 则需满足或，即或， 整理得或，解得或或， 又，得或. 当时，函数在区间不单调，在上不具有“性质”. 综上，实数的取值范围是. （3）证明：因为函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，在上单调. 若单调递减，假设中至少有2个元素，则，单调递减， ，矛盾，因此最多一个元素. 若单调递增，假设中至少有2个元素，则. 对，若 ，由于单调递增，，矛盾 若，由于单调递增，，矛盾. 因此对，必有，即，是无限集. 令是连续函数，若单调递增： 若对所有都成立，则，与矛盾. 若对所有都成立，则，与矛盾. 故存在，使，由零点存在定理，，使，即，非空. 若单调递减： 当，，， 由零点存在定理，使，非空. 综上，要么是单元素集，要么是无限集，命题得证. 22．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在定点 ，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求得椭圆的标准方程； （2）设直线 的方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理及的条件，建立直线参数间的关系，再使用点到直线的距离公式即可证明. （3）设直线 的方程为 ，并与椭圆联立方程组，求出 的值，结合三点共线则即可求解. 【详解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . （2）证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 23．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】(1)函数和函数为T函数，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【详解】（1），， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 24．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. (1)若满足，求实数的值； (2)设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： (3)若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 【答案】(1)或 (2)存在，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合列方程组即可求出； （2）先求出，再根据得到与的关系，然后假设是常数列，即可求出实数； （3）先根据已知条件得到的性质，再分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）对求导， ， ，， 则，解得或. （2）已知，则， 故， 若是常数列，则， 则，即， 令，则，即在上单调递增， 又， 且是连续函数，由零点存在性定理可得， 存在唯一的，使得，即， 故当时，是常数列， 综上，存在实数使得是常数列. （3）证明必要性： 若恒成立， 则，故（为常数）， 则，则（为常数）， 是定义域上的增函数， 是增函数，， 又函数是周期函数，设其周期为，即， 而，故， 即是周期函数，周期也为. 证明充分性： 设，设的一个正周期为，的一个正周期为. 由题意，存在对任意实数，都有， 则有最大值，记. 记集合，由为的一个正周期， 则对任意的，均有. 下面用反证法证明是常值函数. 假设不是常值函数，则存在实数， 不妨假设，又由已知是增函数，可得， 又因为是上的增函数，所以，则； 可在集合中取一个元素，满足，且， 再取足够大的正整数，使得， 则，则， 由的的一个正周期，则， 即，即①， 由是上的增函数，则， 若，又由， 可得，这与①式矛盾， 故，又由是上可导（必连续）的增函数， 所以对任意，. 由，则任意，； 则，这与矛盾， 故假设不成立，是常值函数，且. 故， 恒成立，必要性证毕. 综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 25．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 26．（2026·上海长宁·二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【详解】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. （3）必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 27．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，，且，．求的值及函数的解析式； (3)若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【答案】(1)是， (2)当时，，当时； (3)证明见解析 【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得； （2）先由函数最值之差为1可得，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式； （3）必要性：分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得；充分性：采用反证法，如果函数不单调，则函数在局部的上最值差大于整体上函数最值差，出现矛盾，得证充分性. 【详解】（1）对任意，所以， 又因为，且， 所以，故函数属于集合． 由，，由二次函数的性质可知，． 故. （2）由可知，存在满足． 又，故必有． 因此必有，且，所以， 又，，所以或 当时，由题意，对任意，，，即. 又因为，即，故． 故. 当时，由题意，对任意，，，即， 又因为，，即，故 ． 综上，当时，；当时；. （3）先证必要性：若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 综上，必要性得证. 再证充分性：（反证法）假设函数在上不单调， 则必存在，使得或． 不妨设，且是函数在区间上的最大值． 设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为 由题，，， 故，又， 故 即， 即，即， ，矛盾． 因此假设不成立.是上的单调函数． 因此，是单调函数的充要条件是：对任意正实数， 恒成立 28．（2026·上海闵行·二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. (1)判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； (2)是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； (3)设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【答案】(1)不是“型函数”，是“型函数” (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据“型函数”定义直接验证等式能否恒成立即可； （2）通过条件隐含的恒等式，得到只有两种取值，然后分情况讨论即可； （3）必要性的证明只需要利用单调性证明不等式成立即可，充分性的证明则需要先证明在上的单调性，再通过对数变换转化为中心对称函数，进而利用连续性不断扩展得到整个实数集上的单调性. 【详解】（1）对于，考查，为随变化的变量， 不可能恒等于某个常数，所以不是“型函数”； 对于，考查，取 即可满足恒成立，所以是“型函数” （2）依题意这样的函数意味着对于任意实数和，都有， 令，可得，所以对任意实数，只能取或， 若存在使得，由是“点”可知对任意实数成立， 又因为只能取或，所以且对任意实数成立， 也即对任意实数成立，反过来函数确实满足恒成立； 若对任意实数都有，此时函数也满足恒成立， 综上所述，满足题意的有和. （3）由点是的“点”可知恒成立，取得，同理可得， 因为，所以，所以有，，已知，所以即， 必要性，若函数在上为严格减函数，当时，有， 所以，，，所以， 充分性，对任意，时，均有， 可知在上，所以在上严格单调，又因为，所以在上严格递减， 设，则有即关于中心对称， 同理有即关于中心对称，因为严格递增， 所以根据复合函数单调性可知在上严格递减，同时因为连续且，所以也连续， 于是可以通过中心对称得到在和上严格递减，不断往两边扩展， 即可得到在上严格递减，所以在上严格递减， 所以“对任意，当时，均有” 是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【点睛】中心对称可以保持函数的单调性，若函数存在两个对称中心，则对称中心之间的单调性可以通过不断对称扩展到整个定义域上. 29．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． (1)若，，求； (2)若，，且，求的最小值； (3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【答案】(1)． (2)． (3)证明见详解． 【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解. （2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值. （3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 . 法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明 ．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 . 法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 . 【详解】（1）由题意，. 因为 ，所以 . 当 时，等号成立．故 =. （2）令 . 由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 . 设 时取到最小值，则 ，且 ， 因为所以. 又由 ，得即. 从而. 由 可得故 令 ，则当且仅当 时，等号成立. 此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 . （3）法一：由 可知，对任意 ，都有. 而所以.       (1) 已知存在正数 ，使得. 对任意整数 ，令. 由式（1）可得即. 所以 为常量，即对任意 ，都有. 于是.     (2) 下面证明 . 先证 对任意 都成立． 任取 ，必存在 ，使. 因为 在 上为增函数，所以. 故对任意 ，都有．    (3) 再由式（2）知且. 由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为． 又因为所以 当 取遍 时， 也取遍 ． 故. 法二： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以．    (1) 已知存在正数 ，使得. 先证明：对任意整数 ，都有．  (2) 当 时，由式（1）反复应用可得. 当 时，显然. 当 时，设 （），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以. 由 ，可得. 于是. 法三： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以．  (1) 已知存在正数 ，使得. 由式（1）对正整数 反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意 ，都有．  (2) 由式（2）知且. 又因为 在 上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 30．（2026·上海徐汇·二模）已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. (1)若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； (2)若，且点为线段的中点，求实数的取值范围； (3)已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)渐近线方程；焦点坐标为. (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的标准方程求出的值，进而得到渐近线方程和焦点坐标. （2）先设出的坐标，再根据中点坐标公式得到关于的表达式，最后结合双曲线的性质求出的取值范围. （3）先设出直线的方程，然后分别联立直线与双曲线的方程，求出“同支弦”和“异支弦”弦长的表达式，再根据条件列出不等式，进而判断是否存在满足条件的等差数列. 【详解】（1）当时，双曲线的方程为，此时. 根据双曲线渐近线方程可得. 根据可得，焦点在轴上，所以焦点坐标为. （2）， ， ， ， ①，，代入上式 ②， 联立①②，得， ； （3）的右顶点为. 若直线的斜率为0，此时，为异支弦，. 若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入， 得. 当时， 设，则 . 设，则. 当为异支弦时，，所以，即. 所以，所以异支弦最小值为. 当为同支弦时，. 因为，所以. 所以同支弦长最小值为，由已知，所以. 若是等差数列，设公差为，则一定存在一个充分大的，使. 此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14解答题压轴题综合 一、解答题 1.(2026上海奉贤·二模)设定义域为0，+oo)的函数y=fx)的表达式为f(x)=e-a(a>0),我们可以证 明函数y=f(x存在唯一的零点，设该零点为r.如图，过点Ax,f(x)月作函数y=x)的切线与x轴 的交点为B2,设横坐标为：，若x2>r,则过点Ax2,f(x)作函数y=∫(x的切线与x轴的交点为B, 设横坐标为x;若x2≤r,则停止作切线.依次类推，得到数列xn}(n21,neN),记x=t,t>r. OBaB3 B2 B,主 (1)若a=e,t=2,求： (2)求证：数列xn}是严格递减数列； (3)若a=1,比较xm+1+1与xn-lnxn的大小，并说明理由. 2.（2026上海奉贤二候)已知圆r:言+茶-ab>0)经过点01小，离心率为 2.过点M(0,-m, m>0的动直线I交椭圆「于C,D两点， (1)求椭圆Γ的方程； (2②)若直线1与r+少=名相切，求当m=2时，CD的长， (3)若以CD为直径的圆经过x轴上方的定点P,求点P的坐标. 江模拟预测》已知椭圆T名+0>0，的左焦点为F-山，0，过点 3 为0的直线l与椭圆T交于M,N两点 1/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (1)求椭圆Γ的离心率； (2)设直线MFNF的斜率分别为k,k,求k+k,的值： (3)若点E满足|EM曰ENEFI,点D在椭圆上，MD⊥x轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为 定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由 4.(2026上海杨浦·二模)设函数y=f(x的定义域为D,值域Ac[-1,1.若x,x2∈D且满足 f(x)+∫(x2)=f(x+x),则称x与x构成“函数y=f(x)的线性对” (若f(纠=cosx,判断号与是否构成函数=()的线性对，并说明理由： （②若=2r-D=-,0)若对于任意e-,。)(常数a≤0，都存在无eD,使得名与长枸成函 数y=f(x)的线性对，求a的取值范围； (3)函数y=∫(x是定义在R上的奇函数，且满足：若x与x构成函数y=f(x)的线性对，则x与-x2也构 成函数y=f(x的线性对求证：对任意x∈R,f(x)=0 5202x上海阀行二模)已知精圆r号+芳-a>b>0的焦距为45，离心车为5。过后P12的空 线交椭圆于点A、B. (1)求Γ的方程； (2)记a0AP的面积为S,求证：S≤2√2； (3)求PAPB的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线AB的方程 6.(2026上海崇明二模)已知椭圆C:+上=1. 43 (1)求椭圆C的离心率e; (2)已知椭圆右顶点为A,设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点若AP=2PM,求点M的坐 标； 过点R(4,0)的直线交椭圆C于D,E两点，直线DG交直线x=1于点H,证明：EH⊥y轴. 7.(2026上海金山二模)己知抛物线「：y2=4x的焦点为F,准线为1，点P(xo,y)为抛物线上一动点，点 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0为坐标原点. (1)若OP=PF,求点P的坐标： (2)若直线l。:y=x+4与抛物线Γ只有一个交点，求直线的方程； (3)若x>3,过点P作圆C:(x-1+y2=4的两条切线，交准线I于A、B两点，求AB的取值范围. 8.(2026上海金山二模)若函数y=f(x,x∈D，,其值域为A.若A∈D,则称函数y=fx)在区间D上 为封闭函数 (1)已知f(x)=2x+3 ，判断函数y=∫(x是否在区间2,8上为封闭函数，并说明理由p (2)已知g(x)=x2+2x,若函数y=gx)在区间a,b]上不为单调函数，但在区间a,b上为封闭函数，求 b-a的最大值； (3)已知函数y=h(x在区间[a,b]上连续且为封闭函数，且对于任意的x、y∈[a,b],都有h(x)-h(y) =Lx-y0≤L<)成立.若数列xn}满足x1=h(xn),n≥1且neN,证明：存在唯一常数c∈[a,b,使 得h(c=c,且对于任意的x∈[a,b],都有limx.=c. 22026上海嘉定模已知盟+O>2)与直线Zy4y号过附圆上一点P作 的平行线交Z于点M,作Z的平行线交L于点N. (I)当P为椭圆的上顶点时，求MN的大小； (②)若椭圆的离心率e= ,求椭圆Γ的方程，并求OM+ON的最大值与最小值； 21 (3)若|MN|为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形ONPM面积的最大值. 10.(2026上海普陀二模)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 5π bsin 4+ acos Acos C+ccos2 4. 6 (1)求角A的大小： (2)点0、D分别满足OA+OBAB=0,(OA+OCAC=0,BD=2DC,AB.AD=0,求 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CO.AB 的值 CO.CB+CO.CA 11.(2026上海松江·模拟预测)若函数y=Mx)y=N(x)在区间I上满足M(x≤N(x),则称函数 y=N(x为y=M(x在区间I上的绝对值上界函数.设定义在R上的函数y=f(x)、y=g(x)的导数为 y=f'(x)、y=g'x. (1)判断函数y=x是不是函数y=sinx在区间0，π上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数y=g'(x)为y=∫'x在R上的绝对值上界函数，求证：对任意h>0,都有 f(x+)-f(xpsgox+)-g(x); (3)若函数y=g'(x)为y=∫'(x在R上的绝对值上界函数，实数a,b(a<b)满足 g(xm=g(a=f(a,g(xmx=gb)=f(b),确定f(x小，gx,在x∈R时的大小关系(g(xmn、8x)ma分 别表示函数y=gx)的最小值和最大值) 12.(25-26高三下上海浦东新期中)已知双曲线C:-片-1b>0的左顶点为4，过点D2,0)的直线1 交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限. (1)若双曲线C的焦距为25，求该双曲线C的离心率e; (2)若b=√5，△MAD为直角三角形，求点M的坐标； (⑥)诺双曲线C的一条新近线方程为x+,=0,点从、V均在双曲线C的右支，且存在实数22<)，使 得MN=λMD成立，求直线1的倾斜角的取值范围. B,2026上海者陀模)设a>0,h>0,m、1ER,双曲线r名，-是 -=1的一条渐近线方程是 y=2V2x,点P为Γ右支上的一点，直线1的方程是x-my-t=0,0是坐标原点 (1)若点P的坐标为(3,8)，求双曲线Γ的方程； (2)若直线1经过点O,且与Γ交于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k、k2,求k·k2的值： (3)设点F是Γ的左焦点，点A、A是Γ的左、右两个顶点，直线A,P与直线x=1交于点M,直线I经过点 P与Γ的右支交于另外一点Q,若a=3,且直线MQ恒过点A,求△FP?周长的取值范围 4.25-26高下上海青浦中)知椭圆℃与椭圆C少，椭圆C的左、右焦点分 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 别为FF,点P为椭圆G上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点P. (1)求△PFF,面积的最大值 (2)若过点F且与C,交于D、E两点，过点E且与C,交于M、N两点，当直线42的斜率k、k2满足 =时，证明D+WY为定值； (3)是否存在点P,满足12均与C,相切，且1⊥1，？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 15.(25-26高三下·上海青浦期中)函数y=f(x和y=gx)有相同的定义域，导函数分别为 y=f'(x,y=g'(x),若在定义域内均有'(x≤g'(x,则称y=f(x)是y=gx)的G函数” (I)判断y=-x3-x是否为y=cosx的“G函数”，并说明理由： (2)已知函数y=f(x和y=gx)都是定义在R上的偶函数，且y=f(x)是y=gx)的“G函 数”，证明：gx-f(x)=c(c为常数)； (国诺子a<h号=r-(a+到x8=ex-引，x>0,正明到数是所数 43 y=gx)的“G”函数 16.(2026上海嘉定·二模)某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：Cm)服从正 态分布.在正常状态下，偏差X~N(0,20),规定|X卜>60为“严重失误” (1)求一次射门出现严重失误的概率p(精确到0.0001)： (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准.在 正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率α（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%.此时每次测试仍射门16 次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准.在磨损状态下，求被判定需要校准的概率 阝（精确到0.01）.此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确 到百元) 参考公式与数据： ①若X~N(4,o2),则z=X-LN0,1. ②若Z~N(0,1),则P(Z>3)≈0.00135，P(Z>2)≈0.0228 参考数据：1n(0.9973)≈-0.002704,0.9516≈0.440,0.955≈0.463 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.2526商三下上梅浦东新期中)已知双自线C:-卡=6>0的左顶为，过点D2,0)的直线！ 交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限. (1)若双曲线C的焦距为25，求该双曲线C的离心率e; (2)若b=√5，△MAD为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为x+√2y=0,且直线1上存在一点9，过点Q可以作双曲线C的两条互相 垂直的切线，求直线I斜率的取值范围. 18.(2026上海黄浦二模)已知点万、乃分别是曲线r:+上=1的左、右焦点，动直线1过点F且不过 62 点E,它与下交于点P、Q. (1)求点E、E的坐标； (2)若F,P.F,Q=11,求直线1的方程； (3)设直线过点E且与1垂直，直线l2:x=m与I的交点为T,求证：存在唯一的常数m,使得点T与下的 PO 中心的连线平分线段P口，并求此时 ZA 的最大值 19.(2026上海长宁二梭)双曲线r:号片=b>0)经过点P2,不垂直的直线与r交于不同于P 的A、B两点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N (1)求Γ的离心率； (2)设直线PA与x轴交于点Q,且M0=2QP,求点A的横坐标； (3)若M、N关于原点对称，证明：直线AB经过定点 20.(2026上海嘉定·二模)已知在神经网络中，σ(x)= 1+。常作为神经元激活函数。 (1)证明：对任意实数x,有o(-x)+o(x)=1,并由此写出y=o(x)图像的对称中心 (2)设交叉熵损失函数L,()=-[tln+(1-t)l(1-】,用于衡量预测值夕与真实标签t之间的差异，其中 1∈{0,1}.试确定t的值，使得z=L,(o(x)》在(-o0,+o)上是减函数； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程.设数列{x}满足x+1=σ(xn),其中n为 正整数.证明：存在唯一实数A∈(0，I),使得o(A)=A,且对任意实数x和任意正整数n,都有 k2-A≤4 21.(2026上海二模)若对于定义在R上的函数y=f(x),设I是R的一个子集，X和x2是I上任意给定 的两个实数，当x≠x2时，恒有f(x)≠f(x),则称函数y=fx)在I上具有性质P” ()分别判断函数y=c和y=x是否在R上具有“性质P；（(无需说明理由) (2)设1=[-2，-1U[2,3],记f(x)= 若函数=了四在T上具有性质P”,求实数的取值了 范围； (3)若函数y=f(x)在R上具有“性质P”,其图像是连续曲线，且ff(x)=x,求证：集合 M={x|f(x)=x,x∈R是无限集或单元素集， 2.2026上海静安二谈)在0，平面直角坐标系中，0为坐标原点，设圆r:号+卡-@>b>01,「 3× 的左、右焦点分别为F、F,FE=2,『的离心率为？ (1)求椭圆Γ的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆「分别交于A、B两点，证明：原点O到直线AB的距离为定值； (3)过椭圆Γ的右焦点E且不与坐标轴垂直的直线1与椭圆T交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称 点，在x轴上是否存在一个定点N,使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在， 说明理由 23.(2026上海普陀二模)已知p、q为实数，设函数y=f(x)的最小值为f(p),函数y=g(x)的最小值 为gq),若fp)=g(q且p≠9，则称函数y=f(x)和函数y=g(x)是T函数 (1)设函数y=fx的表达式为f(x=sinx,函数y=gx)的表达式为gx)=cosx,请判断函数y=f(x和 函数y=g(x)是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数y=f(x的表达式为f(x=x2+2(a-1x+a2-2a+7,函数y=gx)的表达式为 x+(>0,若函数=心和函数=8x不是T函数，求+b 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设k、t、a为实数，函数y=f(x的表达式为f(x=-e+x-2kt(x≤0)，函数y=g(x)的表达式为 gx=(x-2)lnx-ax-2,若存在t∈(1，e2),对任意的xe0,+oo),皆有gx≥g(t)成立，且函数y=f(x 和函数y=gx)是T函数，求k的取值范围 24.(25-26高三下·上海宝山期中)己知y=f（x)和y=gx均为定义在R上的可导函数，且函数y=f(x) 满足：f(x=f(x,f(x)=f'(x(n是正整数). (I)若f(x=e+bcosx满足(x=(x),求实数a、b的值； (2)设数列{an}是无穷数列，若f(x)=x-cosx,且a=a,an+1=f(an),是否存在实数a,使得{an}是常数列， 请说明理由： (3)若y=f（x)(n≤2)是定义域上的增函数，函数y=g(x)是周期函数，且存在x∈R对任意实数x,都有 g(x)≥g(x>0,求证：“fn(x)=0(n≥3)恒成立”的充要条件是“y=,(x·g(x是周期函数” 25.(2026上海徐汇·二模)已知函数y=f(x)与函数y=gx)的定义域均为R,且在R上的导函数分别为 f'(x)和g'(x.若存在常数k,使得对任意实数x,g(x)≥kf'(x恒成立，则称y=g(x是y=fx)的 “k-调整函数”，并称k为调整系数 (1)设f(x=cosx,gx)=2x.求证：y=gx)是y=fx)的“2-调整函数”； (2)设f(x=x2,gx)=e+bx.若存在实数be[-2,-1,使得y=gx是y=f(x)的“k-调整函数”，求调整 系数k的取值范围： (3)已知y=g(x)是y=f(x)的“1-调整函数”，函数y=gx)的值域是一个闭区间，记作集合P,函数 y=∫(x)的值域记作集合Q.若P二Q,判断y=(x)-g(x)是否一定是常值函数，并说明理由 26.(2026上海长宁，二模)设函数y=f（x)定义域为I,区间DI,记函数y=f(x在区间D上的最大值 为M,（D),最小值为m(D) (1)设f(x=e-ax,D=(-l,,若m,D)=f(0),求实数a的值； (2)设f(x=x-3x2,D=[,1+2],若M(D-m,(D=4,且-1≤1≤1，求t的值： (3)已知f(0)=0,f(=1,且对任意闭区间Ds[0,1,M,（D)与m(D)均存在. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证：“y=f(x)在区间0，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D、D,≤0，，当M（D)=M,（D) ,且mD)=mD)时，均有D=D2” 27.(25-26高三下，上海浦东新期中)对于定义在区间D上的函数y=f(x),定义集合 2={f(xf(x)-f(x≤x-,x,x,∈D}.对任意闭区间IcD,设函数y=f()在区间I上的最大值 为M1,最小值为M2,记M(f,I)=M,-M2 (1)若f(x)=x2-x,D=[O,,判断函数y=f(x)是否属于集合2，并求M(f,[0,])的值； (2)若D=[0,,f(x)eQ,且f(0)=0,M(f,[0,1])=1.求f)的值及函数y=f(x)的解析式； (3)若D=[0,+o),f(x)eQ,令g(x)=M(f,[0,x]).证明：y=f(x)是单调函数的充要条件是：对任意 0<x<x2,gx2)-gx)=Mf,x,x恒成立. 28.(2026上海闵行二模)对于定义在R上的函数y=∫(x),若存在实数对(a,b),对于任意的实数x,都 有f（a-x)·f(a+x)=b成立，则称函数y=fx)为“M型函数”，点(a,b)称为y=f(x的“M”点 (1)判断函数∫x)=x与gx=e是否为“M型函数”（无须说明理由）： (2)是否存在“M型函数”y=∫(x,其图象上的所有点都是y=f(x)的“M点”，如果存在，求出所有满足题 意的y=∫(x),如果不存在，说明理由； (3)设f(x>0,x∈R,函数y=f(x是“M型函数”，且y=f(x的图象是一条连续曲线.己知p<9,点 (p,q),(9,p)都是y=f(x的“M点”.证明：“对任意xx,当p<x<x2<q时，均有 [f(p)-f(x][f(x)-f(x,)][f()-f(9)]>0”是“函数y=f(x在R上为严格减函数"的充要条件 29.(2026上海黄浦二模)对于公共定义域为D的函数y=∫x)与y=gx),定义集合 E-g=tt=f(x)-g(x),xeD. (1)若f(x=x2-x3,gx=2x-x3,求E-g (2)若f(x=e,g(x=ln(x-p)+q(p,q∈R),且Eg=[0,+o),求9-p的最小值； (3)己知y=f(x)是定义在(0，+0)上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数x,使得∫(x)>0.若 g)=-f,到=f2x,且E,4=0,求证：E=0,+0. 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(2026上海徐汇·二模)已知无穷数列2n}为严格增数列，且入>0.双曲线C,的方程为 x2-y2=入2，A、B,为双曲线C.上两个不同的动点，其中An在双曲线C.的右支上 (1)若入1=1，求双曲线C的渐近线方程和焦点坐标； (2)若元=1，入2=2，且点T(t,0)为线段A4,的中点，求实数t的取值范围； (3)已知直线A,Bn过双曲线C的右顶点若Bn在双曲线Cn的右支上，则称弦AnBn为双曲线Cn的“同支弦”， 否则称其为双曲线Cn的“异支弦”是否存在等差数列入}，使得对于任意正整数n,双曲线C,“同支弦”弦长 的最小值均大于双曲线C.“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列入}的通项公式；若不存在，请说 明理由，