专题11 排列组合与二项式定理（3大考点，20题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题11 排列组合与二项式（3大考点，20题） 3大考点概览 考点01排列 考点02组合 考点03二项式定理 排列 考点1 1．（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. 2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法． 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理结合组合排列分析计算即可. 【详解】第一步：从3名女生中选取1名，有种选法， 第二步：从4名男生中选取2名，有种选法， 第三步：选取的3人依次进行面试，则有种排法， 所以一共有种不同的面试方法. 3．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 4．（2026·上海嘉定·二模）由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48 【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：48. 组合 考点2 5．（25-26高三下·上海青浦·期中）若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 【答案】84 【分析】通过令，相加求和得到​的总和为，进而确定中有几个1，有几个2，再结合组合数即可求解. 【详解】数列共10项，因此共有个相邻差， 每个​只能取或， 由， ， ， ， 相加可得： ， 即所有​的总和为， 设个差中有个1，个，由题意：， ​ 解得，即9个差中恰好有3个1、6个2， 不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2， 因此不同数列个数为组合数： . 即这样的不同数列共有84个. 6．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 【答案】 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数可得，结合对立事件概率公式求解. 【详解】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A， 则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动， 则，可得， 所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为. 7．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 【答案】 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 二项式定理 考点3 8．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 【答案】 【分析】由展开式中的常数项是，求得，代入原式，令，即可得答案. 【详解】因为的展开式的通项为：， 又因为展开式中常数项是， 令，得， 所以，解得， 所以，即为， 在中令， 得所以项系数和为. 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知 ，若 ，则 _______. 【答案】 【详解】二项式展开式的通项公式为，为的系数， 令，解得，此时； ，，解得. 10．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 【答案】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 11．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 12．（2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【详解】将原式左右两侧同时求导，得， 令，则. 13．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】15 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项展开式的通项公式为. 令，解得，则. 故的系数为15. 14．（25-26高三下·上海宝山·期中）若，则__________. 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式，得的展开式的通项为，令进行求解. 【详解】因为的二项展开式的通项公式为， 的二项展开式的通项公式为， 则的展开式的通项为， 令，则，或， 所以. 15．（2026·上海杨浦·二模）在的二项展开式中，常数项的值为______. 【答案】160 【分析】利用二项式定理展开式求解即可. 【详解】由二项式定理可知展开式通项为， 令，得，此时. 所以常数值为160. 16．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 17．（2026·上海奉贤·二模）在的展开式中，的系数为___________． 【答案】10 【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数. 【详解】由题设，展开式通项公式为， 当时，， ∴的系数为10. 故答案为：10. 18．（2026·上海黄浦·二模）在的展开式中，含项的系数为_________． 【答案】 【解析】利用二项式定理的展开式的通项公式：即可求解. 【详解】的展开式的通项公式：， 令，解得， 所以含项的系数为. 故答案为： 【点睛】本题考查了二项式定理，需熟记通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题. 19．（2026·上海长宁·二模）在的展开式中，含项的系数为______． 【答案】 【分析】利用二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为， 令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为. 【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题. 20．（2026·上海崇明·二模）已知 则 _______. 【答案】5 【分析】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即可得解. 【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项， 故， 故 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11排列组合与二项式(3大考点，20题) ☆3大考点概览 考点01排列 考点02组合 考点03二项式定理 考点1 排列 1.(2026上海金山二模)若甲乙丙丁四人组成接力队参加4×100米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共 有 种. 2.(25-26高三下·上海浦东新期中)从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女 生，则有 种不同的面试方法. 3.(2026上海闵行·二模)小闵同学打算将20260407”中的8个数字“2.02.6.0.4.0.7”进行排列得到密码.如果 排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为 4.(2026上海嘉定·二模)由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数是 考点2 组合 5.(25-26高三下·上海青浦期中)若数列{an}共10项，其中a,=1,a。=16,且a1-a,∈{1,2， Q≤k≤9，k∈Z),则这样的不同数列共有 个.（用数字作答） 6.(2026上海黄浦·二模)某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代 表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为。 7.(2026上海长宁.二模)将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为 (用 分数表示) 考点3 二项式定理 8.(2026上海普陀二模)设1eR,若x-） 的展开式中的常数项是-540，则该展开式中所有项的系数 和为·（结果用数值表达） 9.(25-26高三下·上海青浦期中)己知(x-m)°=a。+ax+a,x2+.+ax6,若a3=20,则m= 10.(2026上海闵行二模)若(2x-1)=a,+ax+a,x2+…+a1r°，则a,+a2+…+a1o= 1/2 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026上海徐汇·二模) x+二 的二项展开式中，第5项为常数项，则”= 12.（2026上海松江模拟预测)若(3-2x)=a,+a,x+a2x2+…+a6x6,则a+2a2+3a+…+6a6= 13.(2026上海静安二模) 在21 的二项展开式中，x的系数为·（用数字作答) 14.(25-26高三下.上海宝山期中)若(1+x)(2-x)=a+ax+a2x2+…+ax”,则a2= 15.（2026上海杨浦二模)在x+2 的二项展开式中，常数项的值为 16.(25-26高三下·上海浦东新期中)己知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中 每个元素m都乘以(-1)"后再求和.若集合A={n1≤n≤2026，n∈N,则集合A的所有非空子集的“变项和 的总和为 5 17.(2026上海奉贤.二模)在x+1 的展开式中，x的系数为 18.(2026上海黄浦·二模)在(x-2)的展开式中，含x4项的系数为 19.(2026上海长宁.二模)在(1+x)°的展开式中，含x项的系数为 20.(2026上海崇明二模)已知（x-13+(x+1)4=x4+ax3+a,x2+a,x+a4,则a=