专题13 填选题压轴题综合（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题13 填选题压轴题综合 一、单选题 1．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】C 【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果. 【详解】因为方程等价于：或. 若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆； 若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图： 对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点， 根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足； 若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点， 设，则 所以， 因为，所以，，， 即，而，所以存在点满足； 所以命题①为假命题. 对于②，若点在左半个圆上，； 若点在右半个椭圆上，则，因为， 所以，即. 下面对的位置分四种情况讨论： （i）若都在左半个圆上时，， 所以； （ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iv）若都在右半个椭圆上时，设， 且，因为，所以， 即，. 所以，， 所以 ， 又因为，两边平方得， ，化简整理得， 所以. 综上所述，的取值范围为，故②正确； 2．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 3．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 4．（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 5．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构成一个等比数列，其首项为1，公比为，且相邻向量垂直，从而可得以共线，共线，要使小，只需共线且与反向，共线且与反向即可，据此求解即可. 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 6．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】A 【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解. 【详解】设中点为， 若、为同一平面的相邻顶点，则， 则，即， ， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为同一平面的不相邻顶点，则， 则，即， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为体对角线上两顶点，则， 则，即， 则， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零； 综上可得：①正确；②错误. 7．（25-26高三下·上海宝山·期中）设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（    ） A．若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B．若是“数列”，则可能为常数列： C．若是“数列”，则不存在正整数，满足； D．对任意，若，且满足，则是“数列”. 【答案】D 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得， 因此不存在使，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 8．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 【答案】C 【分析】判断周长和面积是否为定值，先判断截面各边之间的数量关系和位置关系，将立体问题平面化求解即可. 【详解】如图所示， 连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 同理连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 又平面平面，平面平面 从而可得，同理可得，又，所以， 同理可得，， 将截面各边展开如图： 由平行关系知，的周长等于为定值； 由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为， 设，则，则的面积， 从而可知是关于的二次函数，不为定值. 9．（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（    ）. A．0是的极大值点，也是的极大值点 B．0是的极小值点，也是的极小值点 C．0是的极大值点，也是的极小值点 D．0是的极小值点，也是的极大值点 【答案】D 【详解】 对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能； 对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能； 对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能； 对D， 若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 此时必有，即，与题设时不符，故D不可能. 10．（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件及所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解. 【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为. 中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数; 中任一元素满足事件，有以下三种情况， 且；所以所含基本事件个数为， 事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个， 所以. 11．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由，. 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即. 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 12．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】等价转化为的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合对勾函数的性质分析性质，即可得. 【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为， 旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应， 由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数）， 当时，在，上都单调递增，且值域都为R， 此时与恒有两个交点，不合题意； 当时，在，上都单调递增，值域分别为，， 此时与至多有一个交点，符合题意； 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时与的交点可能有个，不合题意， 综上. 13．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 【答案】C 【分析】对于新定义运算判断题，一般通过选择特定函数验证性质，再根据选项利用特值代入排除或通过推理得到结论. 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 14．（25-26高三下·上海青浦·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 【答案】A 【详解】对于命题①，因为的各项均为正数，所以，， 又， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故命题①是假命题； 对于命题②，因为， 因为，所以，所以， 又数列为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有， 又， 所以，故命题②是真命题， 综上，①是假命题，②是真命题. 15．（2026·上海金山·二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 16．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 17．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断. 【详解】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为. ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 18．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 19．（2026·上海松江·模拟预测）已知数列满足（n为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．两个都是真命题 D．两个都是假命题 【答案】B 【分析】根据数列的递推关系式确定与的等式关系，结合不等式的性质由确定的范围，从而得的取值范围即可判断①；确定的等式关系求解一元高次方程的根从而得的所有可能取值，即可判断②. 【详解】因为，所以，则（n为正整数）， 对于①因为，若，则，解得或（舍）， 又，则，解得或，故①是假命题； ②因为，，所以， 若，则，整理得， 解得，则的所有可能取值的个数是4个，故②是真命题. 20．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【答案】D 【分析】利用定义计算可得 A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D. 【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立， 则，整理得， 则有且恒成立，由，则由可得， 此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误； 对B：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数， 但，不满足在上严格递增，故B错误； 对C：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则， 当时，， 即对任意整数，都有， 当时， ， 故当时，， 故满足在处取得最小值，但，故C错误； 对D：由题意可得， ， 因为为非常值函数，所以存在使得， 由恒成立，可得和对任意正整数成立， 若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立， 故必有，即或， 若，则，则为周期函数，且周期为； 若，则， 故， 则为周期函数，且周期为； 综上可得为周期函数，故D正确. 21．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 22．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误. 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论. 23．（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到的范围，进而得到的范围. 【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 二、填空题 24．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 25．（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【分析】先由题意得出 ，，且 ．再设 ，则 ，利用正弦定理表示出 的长度，最后在 中由余弦定理列方程求得 的值． 【详解】由题意可得 B，D，E，C 四点共线，，，，且点 A 为点 E 绕点 D 旋转后的位置，所以 ． 因此 设 ，则 ，所以 在 中，由正弦定理可得所以 在 中，由余弦定理可得 将 ，， 代入，得 两边同除以 ，得 化简可得 令 ，则 解得 ，或 ，或 ． 因为 ，所以 ，故 ． 于是故此时. 26．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 27．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 28．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得. 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 29．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 30．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 31．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 32．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 33．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 34．（2026·上海崇明·二模）设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可 【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为； ，令，则， 故单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为. 两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和， 所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是. 35．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 36．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 【答案】12 【分析】设表示集合中，满足要求的集合的个数，得到，从而求出答案. 【详解】设，，当且时，都有， 设表示集合中，满足要求的集合的个数， 若中无，则有个集合满足要求， 若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求， 所以， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 故，， ，， ，， ，， ， 故正整数的最小值为12. 37．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 38．（2026·上海嘉定·二模）在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 【答案】 【分析】分和两种情况进行分析，可得结论. 【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为， 当，即时，，， 当且仅当时，等号成立； 当，即时，，. 所以的最小值为. 39．（2026·上海松江·模拟预测）在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，异面直线与BD的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】利用向量的运算法则将已知条件进行转化，进而求出. 【详解】在四棱柱中，. 则. 根据向量乘法分配律展开可得： . 因为，所以. 已知，即. 又已知异面直线与的夹角为，且， 设与的夹角为，则. 根据向量点积公式，可得， 即，解得. 因为，根据向量模长公式可得 . 将代入上式可得. 所以. 40．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 【答案】 【分析】先通过题干向量关系和几何法确定过点的圆，再通过坐标法将“投影最值”转化为“圆上动点”的最值问题，再结合一般不等式求解即可. 【详解】设分别为的终点，为中点，由 ，得， 又，故的终点在的中垂线上， 且由勾股定理得 . 如图所示，建立坐标系： ，，，， 公共起点（即 ）. 在中，由正弦定理可得， 为外接圆半径，故， 令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为， 根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为， ，令， 则， 代入，得：， 令，由基本不等式得：， 当且仅当等号成立，即，故， 由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为. 41．（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【详解】 作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点A,与平面交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 42．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 43．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先对已知条件进行化简，得出的值，再根据确定集合中元素的轨迹，最后分析且时的取值范围. 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 44．（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 45．（2026·上海长宁·二模）等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 【答案】20 【详解】如图所示： 由题意可得 以或或或为等腰三角形的底边， 在两侧可各作一个等腰三角形，共有个； 以或或或为等腰三角形的腰， 则， 设另一点为， 若， 即， 由，解得，符合题意；(舍去)； 同理，若， 即， 由，解得，不符题意； 故只能， 这样的点关于轴对称，共有2个， 故共有个； 以为腰， 因为， 设另一点为， 若， 即， 由，解得， 同理若， 即， 由，解得， 这样的点关于轴对称，共有4个； 若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意； 综上，共有个这样的等腰三角形. 46．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 47．（2026·上海闵行·二模）定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影.若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，转化为正三角形在轴、轴上投影之和的两倍，设与轴正半轴的夹角为，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为，分、、三种情况分别计算的最值，再列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和， 等价于正三角形在轴、轴上投影之和的两倍， 设与轴正半轴的夹角为， 正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为， 则，， 当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、， 则 ， 或时，取得最小值， 时，取得最大值为； 当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、， ， 当时，取得最小值，当时，取得最大值为； 时，正三角形在轴、轴上投影分别为、， 当时，取得最小值，当时，取得最大值为； 由对称性可证，其它象限最值情况一样， 综上，的最小值为，最大值为， ，解得， 则的取值范围为． 48．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 【答案】 【分析】首先判断出为正方体的四个侧面和下底面，然后得到“”表示的几何体为正方体的外接球，满足条件的点即为从点出发的不超过和球面的线段上的点，将它们分为射向上底面和其它五个面两个部分，相加即可得到所求几何体体积. 【详解】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体， 为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面， 条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为， 所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段， 条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是， 考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体， 射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的， 所以所求几何体的体积为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13填选题压轴题综合 一、单选题 1.(2026上海普陀二模)在直角坐标平面中，方程x+V9-y2x-V8-2y=0表示的曲线称为G圆 点P,Q是“G圆”上的任意两点，O为坐标原点对如下两个命题： ①若点A-3,0)、B(3,0),则PA+PB的值不可能等于8； 12 ②若0P100,则0开+og的取值花围为6号引 则下列结论中正确的是() A.①为真②为真B.①为真②为假 C.①为假②为真D.①为假②为假 2.(2026上海·二模)一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列{an},使得（). A.{sina,}为严格增数列 B.{cosa,}为公差不为零的等差数列. C.cosS,为等比数列（其中，了，=a,) 1 D. sin- 为周期数列 a。 3.(2026上海崇明·二模)己知函数y=fx,xER.定义集合M={x对任意的x>x,都有 f(x)≤f(x}对于所有使得M=【-1,2]的函数y=fx),有以下两个命题：①存在函数y=f(x在x=-2处 取极小值；②存在函数y=∫(x图像是连续曲线.下列判断正确的是() A.①②都真 B.①真②假 C.①假②真 D.①②都假 4.(2026上海嘉定二模)设数列a,满足a=1,且a4-m2引：a,其中2∈R.下列选项中错误的是 n2+1 () A.存在1，使得存在正整数N,当n≥N时，总有am1<an B.存在，使得不存在正整数N,当n≥N时，总有an1>am C.对任意，都不存在正整数N,使得当n≥N时，总有a1>an D.存在2，使得不存在正整数N,当n≥N时，总有an1<an 5.(2026·上海闵行二模)己知平面上13个向量a、a2…a1,其中a,=1,若对任意n∈N,1≤n≤12，总有 a1=V2a,1且aa+1=0,则1a,+a2+…+a的最小值为(） 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0 B.5 C.166 D.632 6.(2026上海静安，二模)设M、N分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，点P在该正方体的表面上（含 棱和顶点)运动，且不与M、N两点重合.关于PMP,给出下列两个结论： ①PM.PN存在最小值，且最小值小于零： ②PM.PN存在最大值，且最大值大于零， 则下列判断正确的选项是(). A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①和②都错误 D.①和②都正确 7.(25-26高三下·上海宝山期中)设正项数列{an}的首项a,=1,前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有 。,其中4∈R,则称{a,是“A-数列下列结论中错误的是() A≥ A.若{an}是公差为2的等差数列，则{an}是“3-数列”； B.若{an}是“2-数列”，则{an}可能为常数列： C.若{an}是“2-数列”，则不存在正整数n≥2，满足a,>2·3”-2; D.对任意1<p<9,若a,=p+g,且满足1+A≥9，则a,是A-数列 8.(25-26高三下·上海宝山期中)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，任作平面a与对角线AC,垂 直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面PORSWE的面积为S,截面周长为L,则有() D C B W B A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.S不为定值，L为定值 D.S不为定值，L不为定值 9.(2026上海杨浦·二模)己知函数y=f(x)和y=gx)的定义域都为R且都存在导函数若y=f(x)和 y=gx)的零点均有且仅有x=0,且当x≠0时恒有f(x)<g(x),则下列情形中不可能的是()。 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0是y=∫(x)的极大值点，也是y=gx的极大值点 B.0是y=∫(x的极小值点，也是y=gx)的极小值点 C.0是y=f(x)的极大值点，也是y=gx)的极小值点 D.0是y=f(x)的极小值点，也是y=gx)的极大值点 10.(2026上海金山二模)已知全集U是一个六元集合，任取U的两个子集A、B(A、B可以相等)，记 事件M:BcA;记事件N:B∈A.则P(MUN)=() A. 5 B.2 65 C.697 729 D. 1.(2026上海徐汇二模)设o>0,函数y=5。 COS@x+ 上没有最大值和最小值，则 ⊙的取值范围为() A. B [6 a ova D.a 12.(2026上海松江模拟预测)在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转 α弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数y=fx)为“a旋转函数”若函数y=ar-上为“亚旋 转函数”，则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 13.(2026上海嘉定·二模)对任意平面向量ā、b、c及任意实数1，已知运算o满足以下三条性质：(I) ao6=万oa;(Ⅱ)(a+b)oc=ioc+6oc;(Ⅲ)(a)o6=(aoi).则下列选项中-定成立的是() A.若a⊙b=0,则a=0或b=0 B.aob=alb C.(a-b)o(a-B)=aoa-2a0b+606 D.aoa20 14.(25-26高三下.上海青浦·期中)对于数列an},若存在M>0,使得对任意n∈N，有 a2-a+a-a2+.+an1-an<M,则称{an}为有界变差数列有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列{an}为“有界变差数列”，则其公比9的取值范围是(0,1； ②若数列xn},{yn}均为“有界变差数列”，且yn≥片>0，则数列 是“有界变差数列”. 则以下选项正确的是() A.①是假命题，②是真命题 3/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是真命题，②是真命题 15.(2026上海金山二模)已知椭圆r,:。 y2 之+三1，双曲浅下2b2一a2号 5=1,其中(a>b>0),点F、E为 椭圆工的两个焦点，点P是双曲线「，上一动点.若双曲线「，的两条渐近线夹角的余弦值等于3则使得 △PFF,为直角三角形的点P有()个 A.3 B.4 C.6 D.8 16.(2026上海杨浦二模)已知数列a.},给出以下定义：若存在常数k>0,对于任意的n∈N,都有 an+2一an+1≥k(an1一an),则称数列(an}为“k-加速数列”，现给出下列命题： ①若a,=1,则对任意>0，数列a,都不是“k-加速数列： ②若数列an}是“1-加速数列”，且an∈Z,a1=a2o26=2026,则数列{an}存在最小项； ③若数列an}是“2-加速数列”，且a=1,a=2,则存在M>0,使得an<M; ④正数列{an}是等比数列且公比q≠1，则{an}是“-加速数列”的充要条件是k=1. 其中正确的命题是() A.①②③ B.② C.②④ D.③④ 17.(25-26高三下·上海浦东新·期中)对定义在R上的非常值函数y=∫(x),若存在一个非零常数T,使得 对任意x∈R,都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=∫(x)为T函数，现有以下两个命题：①若函数 y=sin(ox+p)(o≠0为T函数，则o=2kπ，keZ,且k≠0；②既存在严格增的T函数，也存在严格减的T 函数.则下列判断正确的是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 18.(2026上海奉贤·二模)己知函数y=f(x的表达式为f(x)=(x-1)(x-a(x-b),xeR,则下列命题 正确的是() A.函数y=fx的零点的个数一定是3个 B.若集合A={xf(x)≥0的解集是[0，+o),则实数对(a,b)有2对 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.函数y=fx)必存在极值 D.函数y=f(x在b,0)处的切线方程为y=0,则b=1 19.(2026上海松江·模拟预测)已知数列an}满足a+1=2a-1(n为正整数)，关于数列{an}有以下两个 17 命愿：①若1<a,<8,则，的取值范围是 ②若4，+a,=0,则a,的所有可能取值的个数是4个.则 以下选项正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.两个都是真命题 D.两个都是假命题 20.(25-26高三下·上海浦东新·期中)定义在R上的非常值函数y=f(x,若存在一个非零常数T,使得对 任意xeR,都有fx+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=fx为T函数.则下列说法正确的是() A.存在函数y=k红+b(k≠0)为T函数 B.若函数y=∫(x为T函数，且当T>1时函数在0，T)上是严格增函数，则函数y=fx在[0，+o）上 是严格增函数 C.若函数y=f(x为T函数，且在x=0处取得最小值，则0<T<1 D.若函数y=f(x为T函数，且f(x≤1恒成立，则y=fx为周期函数 21.(2026上海黄浦·二模)若无穷数列an}的首项为1，且对任意的n∈N,{an}的前n项和都可以表示成 an}的两项之差，则称{an}为T数列，所有T数列组成的集合为T集.下列结论正确的是(). A.任意一个T数列均不是等差数列B.任意一个T数列均不是等比数列 C.T集中含有且仅含有有限个等差数列D.T集中含有无穷多个等比数列 22.(2026上海二模)设y=∫x)和y=g(x是两个不同的函数，且定义域和值域均为R,设 M={(a,b)f(a)g(b),a,b∈R,则对于以下两个结论，说法正确的是() 结论①：若当(a,b)∈M,恒有(-a,b)∈M,则函数y=f(x一定是偶函数： 结论②：若当(a,b∈M,恒有-a,-b)eM，则函数y=gx可以不是偶函数. A.①和②都正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②都错误 1 23.（2026上海徐汇.二模)设m∈R.定义点Pm,2m-的1-相件集合为4，=(x,)K-咖≤1且 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 --小s 其中t为正实数.给出以下两个命题： ①若m=0,则其1-相伴集合A-1所对应平面图形的面积为2： ②设。>0，若对任意实数m及任意t≤t,集合Ap-,所对应平面图形与抛物线x2=2y均无公共点，则 7 则正确的选项是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 二、填空题 24.(25-26高三下·上海浦东新·期中)己知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中 每个元素m都乘以(-l)"后再求和.若集合A={n1≤n≤2026，n∈N,则集合A的所有非空子集的变项和 的总和为 25.(2026上海二模)某种健身拉力器的手臂固定支架为BE,需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置 于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C 四点共线.将小臂视为线段DE,长度为r,大臂视为线段BD,长度为1.3r.在锻炼时要求保持肩关节B和 手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以 紧绷状态从CE拉伸至CA.已知某位运动者健身时CE=0.1r,当弹力绳拉至最长时，∠ABC=3∠ACB,则 此时∠ACB= 度.（结果精确到0.1度） EC 26.（2026上海·二模)己知焦点为F的抛物线C:y2=4x上有两点A和B,且∠AFB=150°，E为A和B的 中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H,则AB的最小值为 EHP 27.(2026上海静安二模)若满足z=5,且z+5-z-5=6的复数z有两个，分别设为z、z2,则 3-2= 28.(2026上海杨浦·二模)记a,a2.,a是空间中的m(m∈N,m≥1个不同的非零向量，满足：①其中任 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量a,、α，、a:均不能使 成立，则m的最大值为 29.(2026上海黄浦·二模)如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆 形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A,B连 线的交点O处.现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C,D,在这两处各建一座游乐设 施（其占地大小忽略不计），将△OCD的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为 D A 30.(2026上海闵行二模)已知aeR,若不等式(lnx-1lnr-ax>0的解集中有且仅有两个整数，则a的 最小值为 31.(2026上海普陀二模)设定义域为R的函数y=f(x)的导函数为y=∫'(x),令 g(x)=∫(x+x+√2+，若函数y=fx)和函数y=g(x)皆为偶函数，则不等式f(x+2)>2r-3)的 解集为 x+2,x<-a 32.(2026上海静安二模)设a>0,函数f(x)= √a2-x2,-a≤x≤a,给出下列三个结论： -x-I,x>a ①y=f(x)在区间(a-1,+o)上单调递减： ②当a≥21时，y=f(x)存在最大值； ③设Mx,f(x)月(x≤a),N(x2,f(x)(x2>a,则MN>1. 其中所有正确结论的序号是 33.(2026上海嘉定·二模)将函数y=x2，x∈[0，]的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(0≤0≤a)得到曲 线C.若对于每一个角O,曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为， 7/9 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 34.(2026上海崇明二模)设f(x)=sinx,方()=cosx+6) 若对任意1eR,存在i∈{1,2}使得函数 y=f(x)在区间t,t+a(a>0)上是单调函数，则实数a的取值范围是 35.(2026上海崇明二模)已知首项为1的等比数列a,满足对任意的正整数m,n都有a。-a≤m-川 ,则等比数列an}的公比g的取值范围是 36.(25-26高三下，上海宝山期中)己知集合A={x1≤0≤n,x∈Z,S≤A,当a,beS且a≠b时，都有 a-b>2,若满足条件的集合S至少有100个，则正整数n的最小值是 37.(2026上海松江·模拟预测)记号max{a,b}表示a、b中取较大的数，如max1,2=2.在平面直角坐标系 中，定义dA,B)=maxx,-x2,y,-y2}为两点Ax,y)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”.已知点0为坐标原 点，点C在圆(x-1)2+(y-)2=1上，点A在直线3x+4y-10=0上，则d(C,A)+dC,0)的最小值为 38.(2026上海嘉定·二模)在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型.长度(V)定义为物体上最远两 点间的距离，宽度(')定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上 (W) 的所有点均位于两平面之间（包括平面上）.现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则 的最小 t(V) 值为 39.(2026上海松江模拟预测)在四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD为平行四边形， AA=2,异面 直线44与BD的夹角为ar心cos,AD.DC-AB.BC=4,则BD日 40.(25-26高三下上海青浦期中)已知平面内的三个非零向量a,6c,满足：(a,6）-牙，a--2,， 5-d=e-=7,则当ac--c 取得最大值时，= 41.(2026上海徐汇·二模)如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意 图将种植坡面视为坡角为Θ的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药 的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴、母线与轴夹角为45的圆锥及其内部若无人机飞行的海拔高度恒定， 航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会 在种植坡面上形成一条宽为L(0)米的“农药条带”.当0°≤0≤15°时，L(0)的最大值为 (结果精 确到0.01) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 航线无人机 种植坡面 225-26高三下上海宝山期D已知点R分别是椭圆。+1和圆化-2少+y=1上的两个动点 且点A(2,,则PA+P②的最大值为 4 43.(2026上海徐汇·二模)己知复数，%满足%-w2= 8-w, ,记满足z-w,∈[1,3](i=1,2)的复数z组成 的集合为A若z∈A且z2∈A,则2，-22的取值范围是 4.(2026上海闵行二模)已知等比数列口，的公比为9，若2ag-1,则2ag的取值范围是 1= 45.（2026上海长宁二夜)等腰48C的三个顶点均在椭圆r206+y=1上，且4、、C中有且仪有 两个点是椭圆的顶点，则满足条件的ABC共有个 46.(2026上海普陀二模)设k≥2，n≥1，k,n∈N,Sn是等比数列an}的前n项和，且41>0，公比为3， 1 令血，=，+5，若恰存在2个k的值，对任意的<，皆有6，>6成立，则a,的取值范围为 47.(2026上海闵行·二模)定义：平面内图形T上的所有点在直线1上的射影所组成的图形称为『在1上的 射影.若存在边长为m的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为 48.(2026上海黄浦二模)在空间直角坐标系0-z中，将点集{(x,y,z≤1，y≤1，≤1}所表示的立方 体的表面满足z<1的部分记为S,同时满足“0P≤5”与“{000=0P,∈[0，}nS=⑦或(P}”的点P的 集合所表示几何体的体积为一 9/9