数学（天津卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 高三数学参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 答案 D C C C B 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 16 16 10.i11.-2 121013.3714.3315.(-1,0 〔分4o 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) 【答案】0号 1+35 (2)8 (3)2 【详解】(1)由 bsin C+3ccos B=3a sin Bsin C+sin Ccos B3sin A=sin(B+C) =3sin B cos C+3 sin Ccos B sin BsinC=3sin BcosC 又B∈(0，风，故sinB≠0，则smC=V5cosC, 1/9 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 故anC=V5,又Ce(0,,故C= 3；(4分) 2)由e=2a则nc=2sm A'则sinA=sinc sin 3-V6 √2√2 4 。=则C故os40则s4 由 cos4>0 4 cos(24-C)=cos24cos C+sin2 Asin C2c-1)csC+2sin deos Asin C -项a5 4428:(8分) b c2√24V6 (3)sin 4 sinB sinC 33, 2 则ab=4v6 sin 4.416 3 sin-x3 394, c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-4=8,则a2+b2=12, 又C7-a+c@, 则C可=4c+c+2ccE卧cosC-4b+a2+ab), =2+4)=4,故C7=2:(14分) 17.(15分) 【答案】(1)证明见解析 V42 2 (2)42 (3)3 【详解】(1)连接BD,交AC于点O, 由P,O分别为DF和DB的中点，得BFPO,而P0c平面APC,BF平面4PC, 所以BF∥平面APC. 2/9 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 D (4分) (2)由直线AF⊥平面ABCD,AB⊥AD,以AB所在的直线为x轴， 以AD所在的直线为y轴，以AF所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系 B C 则B1,00)'D02,0’C1,2,0’ F.0D. 3o1,r, BC=(0,2,0)BF=(-1,0,1) 所以 n.BC=2y=0 设平面BCF的法向量n=(k,八，z),则元.BF=-x+z=0, 令z=1,则x=1,y=0, 所以平面nCr的个法向量为7=L又C-(（}2,- 1 n.EC 所成角的正弦值，则sin6=cos元，EC 2 √42 设直线与平面 ·EC x2 42 EC BCF (10分) (3)C=120, a-(a) 设平面4PC的法向量为m=(a,bc), 3/9 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 m·AC=a+2b=0 则m:AP=b+)c=0,令，二 则4=2.c=2 b=-1 所以平面4PC的一个法向量为=(2-，2)，又亚=0,0，D, d=AFml 2 所以点F到平面ACP的距离”|m3.(15分) 18.【答案】(1)7 (2)b=24或10 (3)24 【详解】（1)X中的最小元素为2”+2+2=7.（3分) (2)由题得a=2+2=10,设b=2+2,0≤i<ije) 0当/3时，6=2+2=2或6=2+2=10或=2+2=9或6=2+2'-6或0=2+2”=5或 或 b=2+2°=3 经检验，当b=10时，a+b=20=2+2,符合题意， 所以b=10, @当/=4时. b=24+2=24b=24+22=20、b=24+2=18b=24+2°=17 或 或 或 经检验，当b=24时，a+b=34=25+2,符合题意， 所以b=24, ③当j之5时，不符合题意. 因此，b=24或10.(9分) （3)设ey,则=2+2++2 其中专=无+n-1 0≤<i<…<g-1<k+n-1 1,所以B=Ca， 4/9 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ，则8=c+c+cG++ 1 2m 因为C=C+C 所以8=++c+c+c出 1■ C+C+C)C+C -(c+ca+ce*++2acn 2 c+2c+…c+c 2k 因为c-益-2路"-0 kk+1！ 1 所以S1=S+2S1,所以S=2S, 又因为=1+C=2,所以5，-2，(15分 19.(15分) 5 【答案】)=3 x2 (2) -=1 【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,故 FF =2c 因为 PF⊥FF∠PFF=30° IPE-tan30 所以PF=2PF引，FF 3, 5/9 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以PF= ,s2 3 又由椭圆的定义可得PF+P5=2a 所以4c2c-2,即c=a 3 3 所以椭圆E的离心率e。=,3 (2)由(1) vBc=a,又a=+c 所以b=V5c,故点B的坐标为0，V5d 2c-0=√2 又点r的坐标为-c,0),所以直线1B的斜率0-。 所以直线M8的方程为)=V2x+b、 x2.y2 联立 =2x+b'可得br+(V2x+b=a6, 所以6+2a)r2+22aar=0 -2vV2a2b-12c33 所以x=0或=+20=8C=-2C，(9分) 3c e 所以点4的坐标为 2’2,又点E的坐标为(c,0, 0 √2 C 2 2 所以直线 的斜率 3c 5, AF c- 2 所以直线的方程为y=5 x-c, 6/9 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 x2.y2 a2+6 1 联立 ,可得 y=> (x-c) 25x-c2=a62 +2a2） x_4a'c 2a'e2 25+ -a2b2=0 所以 25 25 所以14c2x2-3c3x-36c4=0, 所以=音或x= 7’ 4c9+9e 普。，由已知65 2 c= C, 1414 所以c~V3 所以a=3b=V6 x2y 所以椭圆的方程为)+ -=1.(15分) 20.(16分) 【答案】()e (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(D构建8)=f四，可知函数8的定文坟为-L+, 1+x刘-ln(1+1-ln1+ 且g'(x)=1+x (1+x)2 1+x)2 令8到>0，解得1<<e-1,令8到<0 ,解得x>e-l: 7/9 画学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 可知8刊在-e-1内单调递增，在e-+o 内单调递减， 则8到刘≤8e--。,所以了八冈的最大值为。(4分) (2)因为f1a=n1+a In(1+a) 1+a，则切线，的斜率为1+。 何知直线1的方程为y-ad=1+a(x-a,即y=当 _n1+al(x-a+f八a, 1+a 构建刘=f八 1+a 则hla=f-a. 1+x1+a 由(1)可知： f八y在-l,0上单调递增，且-1<a<0, 当1<x<a时，则f(<fa,可得到<0： 当a<x<0时，则d>fa,可得(>0： 写x之0时，则fx=+≥0，且ra<0=0,可得iy0 1+x 可知在a内单调递减，在(a,+切)内单调递增， 则)≥a,当且仅当=“时，等号成立， 所以除点A外，曲线'=八均在上方.9(9分) )由愿意可知：F-I+eyr,则P=c[a1++司 的定0对-F.则对=1+小0时 =合，州古高高刘 21 2 x2+1 构建 可知（在0，+o上单调递增，则(）≥h0=1>0, 8/9 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 即G>0在0，+w)上恒成立，可知G(在0，+切)上单调递增， 原不等式等价于F(+刊-F>F)-FO) 构建m)=Fx+-F(x>0,即证m>mO 因为m)=Fx+)-F(y=e"n1+x+)-en(1+ 则m=e[h1++ea1*到]-c+-6, 因为G在0+w)上单调递增，则G(x+>G,可得>0， 可知m到在0+w)上单调递增，且$>0，可得m(>m0 所以对任意的1e0切，有F+>F+F.（16分) 9/9 ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考数学考前最后一卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2 B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C ] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题5分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． _________ ___________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 75 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年高考数学考前最后一卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分) 1[A][B][C[D] 4[A[B][C[D] 7[A[B][C][D] 2 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A[B][C[D] 9[A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共30分) 11 2 爵 1 3 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) -->D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 4．（   ） A．e B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．数据的分位数是6 D．在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 6．设数列的前项和为，若且，则（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2026 7．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．计算：______． 11．已知的展开式中的系数为，则______． 12．已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________． 13．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 14．已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________. 15．已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为________；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为_______ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求； (3)若，，求边上中线的长. 17．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点F到平面的距离. 18．已知，集合其中. (1)求中最小的元素； (2)设，，且，求的值； (3)记，，若集合中的元素个数为，求. 19．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． (1)求椭圆的离心率； (2)点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 20．函数的定义域为，，，为处的切线. (1)的最大值； (2)证明：，除点外，曲线均在上方； (3)若，证明：对任意的，有． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，又， ． 2．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C 4．（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，， ，故C正确． 故选：C． 5．下列说法正确的是（    ） A．残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．数据的分位数是6 D．在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 【答案】D 【详解】选项A，残差散点图所在的带状区域越窄， 说明残差越小，模型拟合效果越好，两个变量的线性相关性越强， 因此“带状区域越宽，相关性越强”说法错误，所以A错. 选项B,因为所以该正态分布关于对称， 已知由对称性可得 又因为所以 故所以B错. 选项C，将数据按从小到大排列：共有 7 个数据， 故分位数是第 5 个数，即不是 6.所以C错. 选项 D，在线性回归分析中，线性相关系数满足 且越大，说明两个变量的线性相关性越强；越接近 0，说明线性相关性越弱.所以D正确. 6．设数列的前项和为，若且，则（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2026 【答案】C 【详解】由，可知的奇数项依次为， 偶数项依次为， 所以， 又， 所以，解得， 故的偶数项依次为，即（n为偶数）， 因此． 7．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 8．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的一条渐近线，则圆心到渐近线的距离为． 又，所以，即， 得，结合，得， 所以离心率． 9．已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，则， 所以函数在区间上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以当时，，则， 又，总存在唯一实数，使得， 即， 即对任意，方程在上有唯一解， 因为，所以， 所以，解得. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 10．计算：______． 【答案】 【详解】． 11．已知的展开式中的系数为，则______． 【答案】 【详解】根据二项式定理的展开式可得，的通项公式为： ， 令，则的系数为， 又因为系数为，所以， 化简得，求解可得. 12．已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________． 【答案】10 【详解】因为直线与圆相切， 所以，解得或， 由知， 代入直线方程，可得， 当，显然不满足， 当时，由， 所以抛物线方程为，焦点，准线方程， 代入直线方程，可得，即， 所以. 13．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 【答案】 【详解】①记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为. ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以的数学期望是. 故答案为：；. 14．已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________. 【答案】 3 / 【详解】点是的重心，故， 又，，所以， 又三点共线，故，解得， ，由余弦定理得 ， 故， 由余弦定理得， 因为，， 所以， 又，且， 由基本不等式得，解得， 所以. 故答案为：3， 15．已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为________；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】 如图所示，方程有2个不同的实数根时，，即实数a的取值范围为； 由，因式分解得， 解得或. 由函数图象可知有2个不同的实数根，则也有2个不同的实根， 则，解得或， 即实数a的取值范围为. 故答案为：，. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求； (3)若，，求边上中线的长. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 则 ， 故， 又，故，则， 故，又，故； （2）由，则，则， 由，则，故，则， 则 ； （3）， 则， ，则， 又， 则， ，故. 17．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接，交于点O， 由P，O分别为和的中点，得，而平面，平面， 所以平面.    （2）由直线平面，，以所在的直线为x轴， 以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.    则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以平面的一个法向量为，又 设直线与平面所成角的正弦值，则. （3），， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，又， 所以点F到平面的距离. 18．已知，集合其中. (1)求中最小的元素； (2)设，，且，求的值； (3)记，，若集合中的元素个数为，求. 【答案】(1)7 (2)或10 (3) 【详解】（1）中的最小元素为. （2）由题得，设，. ①当时，或或或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ②当时，或或或. 经检验，当时，，符合题意， 所以. ③当时，不符合题意. 因此，或10. （3）设，则，其中， ，所以， 设，则. 因为， 所以 . 因为， 所以，所以， 又因为，所以. 19．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． (1)求椭圆的离心率； (2)点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，故， 因为，， 所以，， 所以，， 又由椭圆的定义可得， 所以，即， 所以椭圆的离心率， （2）由（1），又， 所以，故点的坐标为 又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，可得， 所以， 所以或， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，可得， 所以， 所以， 所以或， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，由已知， 所以， 所以，， 所以椭圆的方程为. 20．函数的定义域为，，，为处的切线. (1)的最大值； (2)证明：，除点外，曲线均在上方； (3)若，证明：对任意的，有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）构建，可知函数的定义域为， 且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，所以的最大值为. （2）因为，则切线的斜率为， 可知直线的方程为，即， 构建，则， 由（1）可知：在上单调递增，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，且，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，当且仅当时，等号成立， 所以除点外，曲线均在上方. （3）由题意可知：，则， 构建，则， 构建，则， 可知在上单调递增，则， 即在上恒成立，可知在上单调递增， 原不等式等价于， 构建，即证， 因为， 则， 因为在上单调递增，则，可得， 可知在上单调递增，且，可得， 所以对任意的，有. 试卷第2页，共17页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 4．（   ） A．e B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．数据的分位数是6 D．在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 6．设数列的前项和为，若且，则（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2026 7．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．计算：______． 11．已知的展开式中的系数为，则______． 12．已知直线与圆相切，若直线过抛物线的焦点，与的准线相交于点，则__________． 13．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 14．已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________. 15．已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为________；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求； (3)若，，求边上中线的长. 17．如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点F到平面的距离. 18．已知，集合其中. (1)求中最小的元素； (2)设，，且，求的值； (3)记，，若集合中的元素个数为，求. 19．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． (1)求椭圆的离心率； (2)点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 20．函数的定义域为，，，为处的切线. (1)的最大值； (2)证明：，除点外，曲线均在上方； (3)若，证明：对任意的，有 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $