内蒙古自治区包头市2025-2026学年第二学期高一年级期末教学质量监测数学试卷

试卷类型：A 绝密★启用前 2025—2026学年度第二学期高一年级期末教学质量监测试卷 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足（其中为虚数单位），则 A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则 A．12 B．10 C．8 D．4 3．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．455 D．447 4．已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响．两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为 A． B． C． D． 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高 A．米 B．米 C．米 D．米 8．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是 A．这14天日促销量的中位数是196 B．这14天日促销量的众数是214 C．这14天日促销量的第80百分位数是260 D．这14天日促销量的极差为194 10．已知函数，下列说法正确的是 A．的最小正周期是 B．可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 C．的图象关于对称 D．图象的一个对称中心是 11．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是 A．平面 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，的夹角为，，，则__________． 13．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为__________． 14．如图，三个全等的三角形，，拼成一个等边三角形，且为等边三角形，若，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，且，求点到平面的距离． 16．（15分）已知函数，． （1）求在的单调递减区间； （2）若，，求的值． 17．（15分）包头市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 19．（17分）如图，在直四棱柱中，，，． （1）证明：； （2）若，求二面角的平面角的余弦值； （3）求直四棱柱体积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第二学期高一年级期末教学质量监测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C2.B3.B4.A5.D6.D7.A8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2V6 5 12.713.514.7 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分)(1)证明：取线段SB、AB的中点分别为H、G,连接EH,HG,FG, G ⊙ 则EHIlBC, EH=BC FGIIAD G AD 2 2 又底面ABCD是正方形，即BCIAD,BC=AD, 则EH∥FG,EH=FG,即四边形EFGH为平行四边形，…4分 则EFIIHG,又EF文平面SAB,HGC平面SAB, 故EF∥平面SAB.…6分 (2)解：设点A到平面SDB的距离为h, 由VA-58D=V,-A8D …8分 hSp SA2B AD.S4 2 2 2 SASBD 60p V2×V√SB2-BF2 2×5 13 得 2 即点A到平面SDB的距离为3.… …13分 16.(15分)解：(1) f(x)=sin'x+sinxcosx-2-2 +sin 2x-1 11-cos2x, …2分 -如2s2r= 4 …4分 +2km≤2x-Ts3π+2 π+km≤x≤7匹 由2 42 ,k∈Z,解得8 +m.k∈Z,6分 8 3π7π 又x∈[0，风，所以f(x)的单调递减区间为L8’8」 …7分 (a)- (2)由 ,所以21 …9分 π3π …10分 所以 a引-m哥-9 …12分 n2a=m2a子+}=sm2a-ms子+o2a-引}m 所以 1V2,2W22√2+4 十 3232 6 .…l5分 17.(15分)解：(1)由频率分布直方图得， 10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1 解得a=0.020. 。。。。。。。。。。。。。 …2分 80+90=85 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为2 …4分 估计初赛成绩的平均数为：x=55×0.05+65×0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5. 所以0=0.020，众数为85，平均成绩为77.5.… …7分 （2)由1知，成绩在[60,70)，[70,80)的领率之比为0.2：0.3=2：3，…8分 2 5× =2 则在[60,70)中随机抽取了3×52人，记为a,b, 3 5× =3 在70,80）中随机抽取了⊙5人，记为c,d,e,……10分 从5人中随机抽取2人的样本空间为： 2={ab,aC,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10个样本点.-12分 设事件D=“至少有1名学生的成绩在[60,70)内”， 则D={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,有7个样本点. …14分 7 7 因 P(D)10,所以至少有1名学生的成统在[60,70)内的概率为10. …15分 18.(17分)解：(I)由题意m:i=sin Acos B+sin BcosA=sin(A+B)=sinC 又i.i=sin2C,所以sinC=sin2C. …2分 . C 又C∈(0，π，所以C=2C或C+2C=元，所以3】 …4分 a 6 Csπ sin A sin B sinC 2 π√3 sin (2)因为3，c=V3,由正弦定理得： “32 则a=2sinA,b=2sinB. …5分 B=元二A-元=r-A 易知 33 所以 +h=2sn4+2sn径-4=3n+5cs4=25sn(4+引 …8分 0<A< 2 <2-A< 0< <A< 因为△ABC为锐角三角形，所以3 2,解得6 2 …9分 <A+<2如 5 所以3 6`3，所以2 ,则 所以Q+b的取值范闺是(3,2√5] …11分 s=5absi血c=5ab=N5 1 (3)由题意知， 4 所以ab=4 …12分 而-C+函 4=1（62+ad2+2 abcosC) 因为D为AB中点，所以 两边平方得：44 代入并整理：2+b2=12, …15分 o2=a'+b2-2abcos*-a2+b2-ab=8 由余弦定理： 3 所以c=2W2 …17分 19.(17分)(I)证明：在直四棱柱MBCD-AB,CD中， 因为AA上平面ABCD,BDc平面ABCD,所以AA⊥BD …1分 又因为AC⊥BD,A4∩AC=A,AC,A4C平面AAC, 所以BD⊥平面AAC … …3分 又ACc平面AAC,所以BD⊥AC …4分 (2)解：连接4G,B,D,记AC∩BD=0,AC∩BD=O,连接O0,OD, B 易得O /lBB,BBL平面ABCD,则OO上平面ABCD 又ACC平面ABCD,故OO1AC …6分 又因BA=BC,AC⊥BD,所以BD是AC的中垂线，得AD=CD=AC=2, 因DD上平面ABCD,易得D=CD,又因O是AC中点，所以OD1AC,…7分 故∠00D就是二面角A-AC-D的平面角， …8分 2 又因O0=BB=2,则 0D=2x2+22=7 0880方 则 27 即二面角4-4C-D的平面角的余弦值是7.10分 (3)解：设∠ABC=0,0<0<π，因AB=AC=2, 由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2AB.BCcos0=4+4-2×2×2c0s0=8-8cos0, Sau2in0 4(8-8cos0)）=2sin0-25cos0+2V5 宁0-25-4n0-引26 …14分 <0、π2 因0<0<元，则3<9-3有元， B-π、π 0=5n ，sim0- 故当32，即6时， (3)取得最大值1， 此时S边形C0的最大值为S=4+2、5 …16分 故直四棱柱1BCD-4BCD体积的最大值=Sh=(4+25)x2=8+45 17分