2026年中考数学临考冲刺卷（福建专用）

2026年中考数学临考冲刺卷（福建专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1、|-3|的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的概念，可得的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离．进而得到答案． 【详解】解：-3的绝对值是3，所以3的相反数是-3， 故选：B． 2. 2026年春节国内旅游出游总人数达5.96亿人次，国内旅游总收入高达48300亿元，其中48300亿科学记数法表示（ ） A.483×1010 B. 4.83×1011 C. 4.83×1012 D. 48300×108 【答案】C 【解析】科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．48300亿=4 8300 0000 0000=4.83×1012，故选：C． 3．几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个， 所以该几何体的主视图是       故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 5．若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　） A． B．﹣5a＜﹣5b C．a﹣5＞b﹣5 D．a+c＞b+c 答案：A 解析：本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。 A、∵a>b，∴当c>0时，；当c<0时，,故本选项符合题意； B、∵a>b，∴—5a<—5b,故本选项不符合题意； C、∵a>b，∴a—5>b—5,故本选项不符合题意； D、∵a>b，∴a+c>b+c,故本选项不符合题意；因此本题选A． 6．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解． 【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得， ， 即， ∵为正整数， ∴ 则， 故有7种方案， 故选：C． 7．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．2α﹣β＝90° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．3α+β＝180° 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【解析】∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：A． 8．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 共六种可能， 只有是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 9．如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D. 10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，和至少有一个交点， 令，整理得：， 则，解得， ， ∴， ∴或 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 综上，c的取值范围是， 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．解因式：______． 【答案】 【分析】首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是 ______． 【答案】10 【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可． 【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得： ， 解得：． 故答案为：10． 13．若是关x的方程的解，则2026-6a+2b的值为___________． 【答案】2022 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴2026-6a+2b =2026-2(3a-b) =2026-2×2 =2026-4 =2022； 故答案为：2022． 14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．    【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长． 【详解】解∶设 ∵与位似，原点是位似中心，且．若， ∴位似比为， ∴， 解得，， ∴ 故答案为：. 15．如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________．    【答案】24 【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的 是    【答案】①②③ 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误． 【详解】由折叠性质可知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 故正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与不相似． ∴． ∴与不平行． 故错误；. 故答案：①②③ 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 【答案】6 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案． 【详解】解： ． 18．（8分）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论； （2）由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积． 【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点， ∴AO：AC＝1：2， ∵∠EAO＝∠DAC， ∴△AEO∽△ADC， ∵△AOE的面积为2， ∴△ADC的面积为8， ∴平行四边形ABCD的面积为16． 19．（8分）先化简，再求值：（1），其中a3． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【解析】原式（） • ， 当a3时， 原式 ． 20．（8分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； (2)判断下列两位同学的说法是否正确． (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 【答案】(1)7.38，8.26 (2)小星的说法正确，小红的说法错误 (3) 【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． （1）利用中位数和众数的定义解题即可； （2）根据优秀等次的要求进行比较解题即可； （3）列表格得到所有可能的结果数，找出符合要求的数量，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38， 女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26， 故答案为：7.38，8.26； （2）解：∵用时越少，成绩越好， ∴7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； ∵女生8.3秒为优秀成绩，， ∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误； （3）列表为： 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种， 故甲被抽中的概率为． 21.（8分）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度． （结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67） 解：在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则AC＝CD． 设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10， 在Rt△BCD中，． ∴CD＝BC•tan59.1°， ∴x＝1.67（x﹣10）， 解得：x≈24.93， 在Rt△ACE中，． CE＝AC•tan30.1°＝24.93×0.58≈14.46， ∴DE＝DC﹣CE＝24.93﹣14.46＝10.47≈10.5， 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米。 22．（10分）在矩形中，连接． (1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ， 由作图可得：， ∴； （2）解：如图， ， ∵，又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 23．（10分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”． 例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10， ∴609是“合和数”． 又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10， ∴234不是“合和数”． （1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M），当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M． 解：（1）∵168＝12×14，2+4≠10， ∴168不是“合和数”． ∵621＝23×27，十位数字相同，且个位数字3+7＝10， ∴621是“合和数”． （2）设A的十位数字为m，个位数字为n，（m，n为自然数，且3≤m≤≤9，1≤n≤9）， 则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n， ∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|． ∴G（M）4k（k是整数）． ∵3≤m≤9， ∴8≤m+5≤14， ∵k是整数， ∴m+5＝8或m+5＝12， ①当m+5＝8时， 或， ∴M＝36×34＝1224或M＝37×33＝1221， ②当m+5＝12时， 或， ∴M＝76×74＝5624或M＝78×72＝5616． 综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616． 24. （12分）如图，二次函数的图像的顶点为，点在二次函数的图像上，为二次函数图像上的一动点． （1）求二次函数的表达式． （2）如图1，当点的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值． （3）如图2，连接并延长，交一次函数的图像于点，过点作轴，交二次函数的图像于点，连接．小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点，点代入,用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后设点的坐标为，则点，得出，然后根据二次函数的性质以及的取值范围求出最大的最大值； （3）设点的坐标为，直线的表达式为，把点，坐标代入解析式，求出直线的表达式为然后再求出点坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后得出直线恒过定点． 【小问1详解】 解：把点和点代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 为二次函数图象上的点，且点的横坐标为， ，即点． 设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点，， ， ，， 当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 定点． 理由：设点的坐标为，直线的表达式为， 将点，代入得， 解得， 直线的表达式为， 令，解得， 将代入，得， 点， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即直线恒过定点． 25．（14分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则∠ABD=90°， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴∠ACB=∠ADB 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（福建专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1、|-3|的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 2. 2026年春节国内旅游出游总人数达5.96亿人次，国内旅游总收入高达48300亿元，其中48300亿科学记数法表示（ ） A.483×1010 B. 4.83×1011 C. 4.83×1012 D. 48300×108 3．几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若a＞b，下列不等式不一定成立的是（　　） A． B．﹣5a＜﹣5b C．a﹣5＞b﹣5 D．a+c＞b+c 6．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 7．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．2α﹣β＝90° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．3α+β＝180° 8．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（   ） A． B． C． D． 9．如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．解因式：______． 12．若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是 ______． 13．若是关x的方程的解，则2026-6a+2b的值为___________． 14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．    15．如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________．    16．如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的 是    三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积． 19．（8分）先化简，再求值：（1），其中a3． 20．（8分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； (2)判断下列两位同学的说法是否正确． (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 21.（8分）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度． （结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67） 22．（10分）在矩形中，连接． (1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长． 23．（10分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”． 例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10， ∴609是“合和数”． 又如∵234＝18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10， ∴234不是“合和数”． （1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M），当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M． 24. （12分）如图，二次函数的图像的顶点为，点在二次函数的图像上，为二次函数图像上的一动点． （1）求二次函数的表达式． （2）如图1，当点的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值． （3）如图2，连接并延长，交一次函数的图像于点，过点作轴，交二次函数的图像于点，连接．小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由． 25．（14分）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（福建专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的)》 3 6 7 8 9 10 B C D D A C A D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11.x(x-2)2 12.10 13.2022 14.(3,1 15.24 16.①②③ 三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题8分) tan45° 【详解】解： 1-1+(-2)2-(π-1)° =1+4-1+3-1 =6 18.(本题8分) 【解析】(1)：四边形ABCD是平行四边形， ..ADBC, ∴.LEAO=∠FCO, :O是AC的中点， ∴.OA=OC, ∠EAO=∠FCO 在△AOE和△COF中， OA=OC ∠AOE=LCOF △AOE≡△COF(ASA); （2),AE:AD=1:2,0为对角线AC的中点， 1/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A0:AC=1:2, .'∠EAO=∠DAC, △AE0△ADC, △AOE的面积为2， ∴△ADC的面积为8， ∴，平行四边形ABCD的面积为16. 19.(本题8分) 【解析】原式 4a ÷(0+3+a-3 (a+3)(a-3)a+3a+3 4a .2a (a+3)(a-3)a+3 4a Q+3 (a+3)(a-3)2a 62 -31 当aU2+i3时， 2 原式心2+3-3 号 L92. 20.(本题8分) 【详解】(1)解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38， 女生成绩排列为：8.16,8.23,8.26,8.27,8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26， 故答案为：7.38,8.26 (2)解：用时越少，成绩越好， 7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； 女生8.3秒为优秀成绩，8.32>8.3， 有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误： 2/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)列表为： 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种， 42 故甲被抽中的概率为63. 21.(本题8分) 解：在Rt△ACD中，∠CAD=45°，则AC=CD. 设AC=CD=x,则BC=x-10, 在Rt△BCD中， tan59. ∴.CD=BC.tan59.1°， x=1.67(x-10), 解得：24.93， 在Rt△ACE中， tan30.1°=g AC CE=AC-tan30.1°=24.93×0.58≈1.4.46， ∴.DE=DC-CE=24.93-14.46=10.47≈10.5， 答：塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米。 22.(本题10分) 【详解】(1)解：如图，即为所作： 3/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 由作图可得：AP=PC, ∴PC+PD=AP+PD=AD: (2)解：如图， D .PD+PC=AD,PD+PA=AD, PA=AC, :四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADC=90°，CD=AB=6, AD=8, ∴AC=10, 设PA=AC=X, PD=8-x, x2=8-x2+62, 架x=空。 :四边形ABCD是矩形， ∴ADI BC, ·△APQ~CBQ, 4/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 APAQ BCTCQ AQ=25 CQ-32 又AQ+CQ=AC=10, A0=9 23.(本题10分) 解：(1)，168=12×14,2+4≠10， 168不是“合和数”. ,621=23×27,十位数字相同，且个位数字3+7=10， .621是“合和数”. (2)设A的十位数字为m,个位数字为n,(m,n为自然数，且3sm≤≤9,1≤n≤9)， 则A=10m+n,B=10m+10-n, .P(M)=m+n+m+10-n=2m+10,Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|. P(M) 2m+10 ..G (M)Q(M) 62n-10Vi=,m+5 ,4k(k是整数). - in-5vi=6 3≤m≤9， .8≤m+5≤14， k是整数， ∴m+5=8或m+5=12, ①当m+5=8时， m+5=8 m+5=8 an-5vi1或an-5vi2, .M=36×34=1224或M=37×33=1221, ②当m+5=12时， m+5=12m+5=12 n5V1或6n5V3 ∴.M=76×74=5624或M=78×72=5616. 综上，满足条件的M有：1224,1221,5624,5616 24.(本题12分) 【小问1详解】 5/12 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 解：把点40,3)和点B2,4代入y=a2+c, c=3 得4a+c=2, 1 a=- 解得 4 (c=3 。二次函数的表达式为P+3 4 【小问2详解】 .M 8 为二次函数图象上的点，且点M的横坐标为8， ys ×82+3=19 4 即点M(8,19). 设直线4M的表达式为'=c+b 将点A0,3引，M(8,19)代入， b=3 得8k+b=19, [k=2 解得b=3, 直线1M的表达式为)=2x+3 点y的标为2-,则2+，N0 6/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1 <0 4 ,0≤n≤8， 当n=6时， NP+NO 取得最大值，最大值为9， 【小问3详解】 定点(2,6) 1 理由：设点y的坐标为m,m+3 直线MB的表达式为y=x+b', k'm+b=-m2+3 24'Mm,m+3代入 将点 1 4 得 y=kx+b'2k'+b'=4 k=m+2 4 解得 1 b'=3- :直线MB的表达式为》=4m+2)x+31 m 2 2m-6) 令y=x,解得= m-2, 将r 2代入y+3,得四0 m-2 4 m2+3, 点D 2(m-6)(m-6)2 m-2'm-2+3 设直线MD的表达式为'=x+b 点D 2(m-6)(m-6)2 将点M m.im2+3 +3 m-2'’(m-2)2 代入， 7/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 k”+b=m2+3 得 2(m-6) k”+b”=m-6)2 m-2 (m-2+3 k"=m2-12 4m-2) 解得 6"=-m2-12m+12' 2m-2) 的表达武为y=n-12m12m+12x2)m+24"、24-12 直线 2(m-2) 4m-2) A当x=2时，少三24n-24-2424m-48=6 4m-2)4m-2) 即直线MD恒过定点2,6) 25.(本题14分) 【详解】解：：CA=CB,∠ACB=60° ∴.△ABC是等边三角形，则∠CAB=60° :⊙O是△ABC的外接圆， AD是∠BAC的角平分线，则∠DAB=30° .AD L BC ~四边形ACDB是圆内接四边形， .∠CDB=120° ·.∠DCB=∠DBC=30° AD,BC 设 交于点E,则BE=CE, 设BD=1,则CD=BD=1 8/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 在Rt△BDE中， BE=cos30°.BD= 2 BD= 2 BC=3 :AD是直径，则∠ABD=90°， 在Rt△ABD中，AD=2BD=2 .AD-BD=2-1=1 .AD-BD=CD (2)如图所示，在AD上截取DF=BD, B D C 图2 AB=AB ,∠ADB=∠ACB=60° ,.△DBF是等边三角形， ∴BF=BD,则∠BFD=60 .∠AFB=120° :四边形ACDB是圆内接四边形， .∠CDB=120° ∠AFB=∠CDB: 9/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 CA=CB,∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，则∠CAB=60° AB=BC, 又：BD=BD ..∠BCD=∠BAF AFB,△CDB 在 中 ∠AFB=∠CDB ∠BAF=∠BCD AB=CB ·△MFB≌aCDB(AAS ..AF CD .AD-BD=AD-DF=AF=CD 即AD-BD=CD: (3)解：①如图所示，当D在8C上时， E 在AD上截取DE=BD, .AB=AB ∴LACB=∠ADB CA=CB,DE=DB 又 ∴△CAB∽ADEB,则∠ABC=∠EBD AB BC AB EB EBBD即BC=BD 又，'∠ABC=∠EBD 10/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABE=∠CBD ·.△ABE∽△CBD AE AB BE 小CDBC BD .AE=AD-DE=AD-BD AD-BD AB CD BC 如图所示，作CF⊥AB于点F, 在RtABCF中，∠BCF= ∠ACB=1。 , :.BC.sin =BF A 0. E ..AB=2BC.sin 2 AD-BD CD -2分，即2D-s号=40-80 ②当P在B上时，如图所示，延长BD至G,使得DG=DA,连接1G G A D B :四边形ACDB是圆内接四边形， .∠GDA=∠ACB=180°-∠ADB 11/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 CA=CB,DG=DA 又 ∴.△CAB∽△DAG,则∠CAB=∠DAG AC=AB AC AD “ADAG即手 AB AG' 又.'∠CAB=∠DAG .∠CAD=∠BAG ∴△CADA△BAG CD AC BG AB' BG=BD+DG=BD+AD 同①可得AB=2 AC.sin 2 CD AC=AC :BD+AD AB 2AC.sin :.2CD.sin=AD+BD 2 综上所述，当D在C上时，2D-sn号D-D:当D在和上时，2GDs加号=0+BD. 2 12/12