专题09 基本作图和尺规作图问题（35题）（福建专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 基本作图和尺规作图问题（35题） 1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 2．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形． 由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 3．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线 ． (1)在所在的平面内求作直线，使得 ，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图， 直线就是所求作的直线． （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 4．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 5．（2021·福建·中考真题）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据，点B在射线上，过点A作；根据等边三角形性质，得，分别过点A、B，为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案； （2）设直线与相交于点S、直线与相交于点，根据平行线和相似三角形的性质，得，从而得，即可完成证明． 【详解】（1）作图如下： 四边形是所求作的四边形； （2）设直线与相交于点S， ∵， ∴， ∴ 设直线与相交于点， 同理． ∵P，Q分别为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点S与重合，即三条直线相交于同一点． 【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解． 一、单选题 6．（2025·福建漳州·二模）在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线，垂直平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 根据角平分线，垂直平分线的性质，及角相等，逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， A．∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴． 故A正确． B．由垂直平分线可得 ， ∴，即， 同理可知． 故B正确． C．有作图可知， 同理可证． 故C正确． D．无法证明． 故答案选D． 7．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧交分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规基本作图、角平分线、全等三角形和勾股定理等核心知识，熟练掌握5种尺规基本作图、全等三角形和用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 过点作于点，利用勾股定理计算出，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再证明，得到，设，则，在中，利用勾股定理，求出x的值，即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 由作图痕迹得平分，得． ， 在和中， ， ． ． ． 设，则， 在中，， ， 解得 ． 故选：B． 8．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，即可判断A；根据等角对等边得到，根据三角形外角性质得到，得到，推出，即可判断C；根据，得到，推出，即可判断B；根据与，，得到，推出，即可判断D． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，A正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， C正确； 设，， 则，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，B错误； 当时，， ∵， ∴， ∴，D正确， 故选：B． 二、解答题 9．（2025·福建福州·三模）如图，在Rt中，为中点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： 在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求线段的长．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 10．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，点D在上，且满足． (1)尺规作图：求作点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）构造一对共边的相似三角形求解； （2）先根据，列出比例式，设，再用表示出，，从而可得，再用表示出，进而可表示出，再利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求作； 理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点D即为所求作； （2）∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形求作点，勾股定理的定理与逆定理，解题关键是找准相似三角形求解． 11．（2025·福建福州·三模）如图，为锐角且． (1)尺规作图：在内部找一点，使得且．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)连接，，求证：，垂直且互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质. （1）以A为圆心，作一个等于的角，用圆规截取即可； （2）由（1）证明四边形为平行四边形，进而证明为菱形，即可证明. 【详解】（1）解：在内部找一点，如图所示. （2）连接， 且， 四边形为平行四边形， ， 为菱形， ，垂直且互相平分． 12．（2025·福建三明·三模）如图，在中，．点在外，点在上，，， (1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若交于点，连接，分别交于点，过点作，垂足为，交于点．请在备用图中画出相应图形，并证明平分． 【答案】(1)作图见详解 (2)根据题意作图见详解，证明过程见详解 【分析】本题主要考查尺规作垂线，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）运用尺规作垂线，垂直平分线的方法作图即可； （2）根据题意得到是的垂直平分线，，由角的关系得到是的垂直平分线，，可证，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧，交延长线于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点， 连接并延长，则， 以点为圆心，以为半径画弧，交点，则，， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，则是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求图形； （2）解：根据题意作图如下， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线，， ∴，，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 13．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，切线的性质，切线长性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，只需作的平分线，与的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图：为所作． （2）解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 14．（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，圆的有关概念，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作的垂直平分线，找到的中点O，再以O为圆心，为半径作圆即可； （2）先证明，结合可证四边形是平行四边形，再由可证四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，为所求， （2）证明：∵与分别为和的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上． ∴在中，， ， 又平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 15．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质； （1）先以为圆心，为半径画弧与的交点即为，再分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交点即为； （2）由（1）可得，，，，即可求出，再根据的平分线结合等腰三角形的三线合一得到，最后根据斜边中线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F，， ∴， ∴． 16．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，切线的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作角平分线，交于点，然后过作的垂线，以为半径作圆即可； （）过作于点，由与边相切于点，则，由作图可知平分，所以，然后根据切线的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：过作于点， ∵与边相切于点， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． 17．（2025·福建三明·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据作角平分线与作一条线段等于已知线段的步骤作图即可； （2）先证明，可得，结合，可得． 【详解】（1）解：如图，，即为所求； ； （2）证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 18．（2025·福建福州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解；如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，设交于点，过点作于点，设， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，即， 解得， ． ． 19．（2025·福建·一模）如图，在等腰中，，．    (1)在下方求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长交于点，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作的垂线，交于O，以O为圆心，的长为半径画弧交直线于T，以T为圆心，的长为半径画弧，以A为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则即为所求； （2）连接，可证明，则可证明四边形是正方形，得到，，再证明，得到垂直平分，则，即可证明，进而可证明点F为中点． 【详解】（1）解：过点C作的垂线，交于O，以O为圆心，的长为半径画弧交直线于T，以T为圆心，的长为半径画弧，以A为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则即为所求； 可证明，则由圆周角定理可得，再由，则即为所求；      （2）证明：如图所示，连接， 由（1）的作图方法可知，，且， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点F为中点．    20．（2025·福建厦门·三模）在等腰中，，点分别为的中点． (1)尺规作图：在边上作一点F，使得点F到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）、角平分线的性质与判定、三角形中位线性质、菱形的判定与性质以及尺规作图．解题关键是利用等腰三角形特性确定满足条件的点，并依据相关几何性质定理完成的证明． （1）解题思路利用等腰三角形“三线合一”性质或角平分线性质，通过尺规作图作出的平分线、的中垂线或高，其与$BC$的交点即为到、距离相等的点． （2）由点到两边距离相等得平分，结合等腰三角形三线合一证；再利用、为中点得，通过平行线性质或菱形性质（四边相等）证． 【详解】（1）如图点F即为所求． 解法一（作线段的中垂线交于点F）： 解法二（作的平分线交于点F）： 解法三（以D为圆心，为半径作弧交于点F）： 解法四（过点A作的垂线交于点F）： 解法五（以B和C分别为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，连结交于点F）： （2）解法一：点F到的距离相等 平分 又 于F 点分别为中点 解法二：点F到的距离相等 平分 又 于F 在与中，点分别为中点 ∴四边形为菱形 解法三：点F到的距离相等 平分 又且点分别为中点 又平分 21．（2025·福建泉州·三模）如图，中，，，． (1)在边上求作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点B作的垂线即可； （2）由（1）知，，．则，又，得出，证明，得出，即可得． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求，      理由：∵，， ∴． （其他方法也可，如下，法2法3    法4） （2）解：如图，由（1）知，又， ∴． ∵， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了三角形内角和定理，尺规作图，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． 22．（2025·福建泉州·二模）如图，直线l，垂足为B，， (1)求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，再以点为圆心，为半径作圆，则即为所作； （2）连接，过点T作，垂足为H．在中，利用三角函数求得，再由勾股定理求得．再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，是所求作的圆： （2）解：如图，连接，过点T作，垂足为H． ∵是的切线， ∴， 即， ∴， 在中，，， 由勾股定理，得． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点T到直线的距离为． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可； （）连接，利用圆周角定理和矩形的性质可证，可得，又由平行线的性质得，即得，进而即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 24．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 25．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求； （2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，如图： 设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 26．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． （1）法一，利用作全等三角形；法二：利用作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形； （2）先利用等腰直角三角形的性质，说明，再设，可用表示出，接着用表示出，就可用表示出，然后利用全等三角形的性质证得，就可求得的值． 【详解】（1）解：作图． 法一：作．   法二：作． 法三：作．     法四：作． 如图所示，即为所作的三角形． （2）过点作，垂足为点， 等腰三角形中，， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 27．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，点在上． (1)求作矩形，使点在上，点在上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点．若，求的长．（参考数据：，） 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查基本尺规作图、矩形性质及解直角三角形求线段长，根据题意，准确作出矩形是解决问题的关键． （1）尺规作图过点作的垂线，再以为圆心、为半径画弧；以为圆心、为半径画弧；两条弧交于点，则四边形就是要求作的矩形； （2）根据题意，作出图形， 由矩形性质及解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示： 四边形就是要求作的矩形； （2）解：如图2所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 28．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进行作图即可； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：为所求作的线，所作图形如下： （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 29．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接， ∵，， ∴，， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴外接圆的半径为． 30．（2025·福建三明·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线与交于点即可； （2）根据，得出，根据角平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点． ∵垂直平分， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质． 31．（2025·福建三明·一模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； （2）由，，证明， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于，过作，与的交点为，则，四边形即为所求； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的作图是解本题的关键． 32．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，已知，点在射线上，，动点在射线上． (1)尺规作图：求作，使得点在的下方，；（不写作法和证明，保留作图痕迹．） (2)在（1）的基础上，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别以点为圆心，为半径作圆弧，两弧交于点；以点为圆心，为半径作圆弧交射线于点；连结，则即为所求． （2）延长到点，使得，连结，作，先说明，可得，在中，求出，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：延长到点，使得， 连结，过点作于点． ， ， ，， ，点在的下方，， ． ， 即． ． ． ． ， 在中，． 在中，． 的最小值为． 33．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，锐角中，，点分别在边上，． (1)在备用图中，利用尺规作图找到点的位置，使四边形是菱形．（保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上补全菱形，若cm，cm，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查用直尺和圆规作已知角的平分线、菱形的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． （1）作出的平分线交于点，则点即为所作； （2）作交于点， 交于点，则四边形是平行四边形，，然后证明，即可得到四边形DECF是菱形， 证明，根据对应边成比例解答即可． 【详解】（1）解：点即为所作； （2）解；作交于点，交于点， 则四边形是平行四边形， ， 由作图得平分， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， 的值为． 34．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，交于点 (1)如图，作的角平分线，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的长（结果保留） 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）连接，证明 ，解直角三角形求出的度数，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 的长 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，圆周角定理，切线的性质，求弧长，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 35．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意，当与边切于点，且点在圆上，圆心在边上，则，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，进而证明，则有，从而确定作线段的垂直平分线即可得到答案； （2）解得到，设，则，解得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由切线的性质可得， 在中，， ∴可设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 试卷第48页，共49页 试卷第49页，共49页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 基本作图和尺规作图问题（35题） 1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 3．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线 ． (1)在所在的平面内求作直线，使得 ，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 4．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 5．（2021·福建·中考真题）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 一、单选题 6．（2025·福建漳州·二模）在中，，用尺规在边上求作点D，使得．下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧交分别于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 8．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 二、解答题 9．（2025·福建福州·三模）如图，在Rt中，为中点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： 在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求线段的长．（如需画草图，请使用备用图） 10．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，点D在上，且满足． (1)尺规作图：求作点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：． 11．（2025·福建福州·三模）如图，为锐角且． (1)尺规作图：在内部找一点，使得且．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)连接，，求证：，垂直且互相平分． 12．（2025·福建三明·三模）如图，在中，．点在外，点在上，，， (1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若交于点，连接，分别交于点，过点作，垂足为，交于点．请在备用图中画出相应图形，并证明平分． 13．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 14．（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形． 15．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 16．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． 17．（2025·福建三明·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 18．（2025·福建福州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 19．（2025·福建·一模）如图，在等腰中，，．    (1)在下方求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长交于点，求证：是的中点． 20．（2025·福建厦门·三模）在等腰中，，点分别为的中点． (1)尺规作图：在边上作一点F，使得点F到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 21．（2025·福建泉州·三模）如图，中，，，． (1)在边上求作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 22．（2025·福建泉州·二模）如图，直线l，垂足为B，， (1)求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 23．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 24．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 25．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 26．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 27．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，点在上． (1)求作矩形，使点在上，点在上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点．若，求的长．（参考数据：，） 28．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 29．（2025·福建泉州·一模）如图，已知，，是高． (1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，．求外接圆的半径． 30．（2025·福建三明·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 31．（2025·福建三明·一模）如图，已知． (1)求作四边形，使得点在上，点在上，且，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的度数． 32．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，已知，点在射线上，，动点在射线上． (1)尺规作图：求作，使得点在的下方，；（不写作法和证明，保留作图痕迹．） (2)在（1）的基础上，求的最小值． 33．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，锐角中，，点分别在边上，． (1)在备用图中，利用尺规作图找到点的位置，使四边形是菱形．（保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上补全菱形，若cm，cm，求出的值． 34．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，交于点 (1)如图，作的角平分线，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，求的长（结果保留） 35．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 试卷第48页，共49页 试卷第49页，共49页 学科网（北京）股份有限公司 $$