精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

重庆八中2025-2026学年度（下）初二年级期中考试 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的定义即可求解． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列代数式，其中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义进行判断即可，需注意是常数，不是字母. 【详解】解：根据分式的定义，可知，，，，中，只有是分式，其余的三个均为整式. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件（分母不为零），即可得的取值范围． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 故选：D． 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 5. 如图，四边形是菱形，对角线，，则的长是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质得出，，，再由勾股定理即可得出． 【详解】解：如下图：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的判定定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项A：一组邻边相等的平行四边形才是菱形，一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故A错误； 选项B：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B正确； 选项C：有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故C错误； 选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故D错误. 7. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 8. 小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【详解】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 9. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再求出，最后由三角形内角和求出，即可得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． （多选题） 10. 如图，在矩形中，为对角线中点，过点作交于点，点、为三等分点，连接交于点，连接，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，，，根据直角三角形的性质可得，可判断A；结合勾股定理可得，，可证明，可判断C；从而得到，可判断B；再由，可得，，可判断D． 【详解】解：如图，连接， ∵点、为三等分点，， ∴，， ∵， ∴，故A选项正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵为对角线中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ∵，， ∴，故C选项错误； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B选项正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式利用等式的基本性质变形，整理得到所求分式的值． 【详解】解：， ， ， ． 13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，若，的周长是14，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形两条对角线互相平分”这一性质进行求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， 又的周长是14， 则． 14. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，过点作于点，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，进而得出其他相关角度，然后由直角三角形两角互余列方程求解得到，最后由等腰直角三角形性质及矩形性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，对角线和相交于点，则， 设，则，， 在中，， 解得， ， 在中，，则， 由勾股定理可得， ． 三、解答题：（本大题共5个小题，第15、16、17题8分，其余每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）先通过去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果进行检验，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： 去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 16. 先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【详解】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 17. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 18. 为了解学生对人工智能知识的掌握程度，某校举办了“人工智能素养”测试．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的测试成绩进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级抽取20名学生的测试成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，83，84，87，87，87，89，92，95，97，98，98，100． 九年级抽取20名学生的测试成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． 八、九年级所抽学生的测试成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校八年级有700人，九年级有800人参加了此次测试，估计该校八、九年级参加此次“人工智能素养”测试成绩为（A．）的学生共多少人？ 【答案】（1）87，，30 （2）八年级学生的测试成绩更好，理由见解析 （3）410人 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义以及扇形统计图的信息求解； （2）利用众数做决策； （3）利用样本频数估计总体频数． 【小问1详解】 解：∵八年级数据中出现次数最多的是87， ∴众数； ∵九年级的中位数为从大到小排序后的第10位和第11位的平均数，且组个数为，组个数为， ∴； ∵九年级组的百分比为， ∴九年级组的百分比为， ∴； 【小问2详解】 解：我认为该校八年级学生的测试成绩更好，因为八年级学生的测试成绩众数87大于九年级学生的测试成绩众数79； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八，九年级参加此次“人工智能素养”测试成绩为（）的学生大约410人． 19. 某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． （1）请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ （2）经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】（1）该区域投放了20辆型和30辆型电单车 （2）采购这两种电单车总共需要花费元 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【小问1详解】 解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． 【小问2详解】 解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． B卷（50分） 四、选择题：（本大题2个小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧答案所对应的方框涂黑． 20. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查运用配方法、完全平方的非负性和负整数指数幂，将原方程变形为两个完全平方数的和等于0的形式，利用完全平方的非负性求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ， 对等式左边拆项配方得： ， 即 ， ∵ 完全平方数为非负数，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0， ∴ ， 解得 ，， 将，代入得： ． （多选题） 21. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，点，分别为边，上的动点，且，连接，交于点，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当为中点时，的值最小 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，证，可得A正确，由结合三角形内角和可得B正确，作，，根据三角函数求出 的长，由三角形面积可得D正确，根据轴对称法作图，可得C错误． 【详解】解：如下图，连接，作，交的延长线于点F， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ； ， ； 设，则， ，，， ， ； 如下图： 要使的值最小，用轴对称法，作E关于的对称点，连结，交于G，连接, 根据轴对称可知：， ， 所以使的值最小是点G，不是点M，所以选项C错误， 综上所述：ABD正确． 五、填空题：（本大题3个小题，每小题4分，共12分）将每小题答案直接填在答题卡中对应的横线上． 22. 若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有三个整数解确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解且分母不为零确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件整数的和． 【详解】解：， 解不等式①：得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至少有三个整数解，大于的前三个整数为，，， 是不等式组的解， ， 解得：， 解分式方程：， 方程变形为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 分式方程有非负整数解， 是的非负整数倍， 且（时分母为零，是增根，需舍去）， ，且， ①当时，，符合条件； ②当时，，符合条件； ③当时，，不符合条件，舍去； ④当时，，符合条件； ⑤当时，，不符合条件，舍去． 综上所述，符合条件的整数为，，， 所有满足条件的值的和为． 23. 如图，在正方形中，点在边上，，，点在边上且，过作，与，分别交于点，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定与性质（旋转变换模型）、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，进行解答即可． 【详解】解：，， ． 四边形为正方形， ，， ． 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转得，，，，，， ， 即点、、三点共线． ， ， ， ． ，， ， ． 设，则，， 在中，， 即， 解得，，即． ， ． ， ， ， ． 又，， ， ， 即， 解得，， 的面积为． 24. 若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 【答案】 ①. 2319 ②. 5146 【解析】 【分析】根据差数定义，要找最小的差数，优先让千位、百位尽可能小，再结合数字互不相等且不为的条件，得出最小四位数．根据差数定义和整式变形，结合的整除特征求出的值；再根据数位数字和为完全平方数，推导数位数字关系，从大到小枚举，筛选出满足条件的最大四位数． 【详解】解：差数满足：，且，，，互不相等且不为， 要使四位数最小，则，否则为负数，与矛盾， 当时，， ，此时才能使得最小， 由得， 故最小差4数为2319． 设， ∵是差数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵为不大于10的自然数， ∴， ∴，变形得：， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且不为0， ∴，即， 把代入，得，即， ∵为完全平方数， 代入，，得： ， ∵且互不相等， ∴， ∵为完全平方数，为偶数， ∴的可能取值为或或， 当时，，此时无满足条件的、的值， 当时，，此时，或，， ∵最大， ∴取，，此时不符合题意，舍去， ∴的可能取值为， ∴， ∴， 要使最大，优先让千位尽可能大： ，，， ∴， ∴当时，最大取，此时取，， 此时数字为，，，，互不相等且不为， ，，，符合条件， ，为完全平方数，符合条件， 故满足条件的最大为． 六、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围； （2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 、、、， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设、，则， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 函数图象如下： 由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． （1）求和的值； （2）如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2），最小值 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据以及点在上求的值，得到点的坐标，将点的坐标代入得到的值； （2）先根据面积关系列方程求点坐标，再利用平移和对称法求折线段最小值； （3）先求点坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种情况讨论点坐标． 【小问1详解】 解：点位于上， ， ， 点位于上， ， ， ，． 【小问2详解】 解：连接，，，， ， 设 ，由， ， 解得，则， 设， ，则，取点，连接，如图所示， 则， 且， 过点作关于的对称点， ，， 当且仅当，，三点共线时，原式取最小值． 【小问3详解】 解：， ， 又， ， 过点作的角平分线交线段于点， ∵平分， ， ， ， ∴， ， 又将点沿射线方向平移，， ， ∴， 将代入，得，解得， ， 同理可求得：，，， 设，， ①当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ②当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ③当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ，（舍）． 综上点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及点与直线的关系，代入法求参数；三角形面积计算、平移与对称法求折线段最小值；角平分线定理、平行四边形存在性问题的分类讨论．解题关键是利用坐标法、几何性质转化问题，结合平移、对称思想简化计算． 27. 在平行四边形中，点在边上，点在边上． （1）如图1，若点与点重合且，，，求的面积； （2）如图2，若，，，求证：； （3）如图3，若，，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接与，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得到，证明是等边三角形，过点作于点，根据勾股定理求出长，利用三角形面积公式求解即可； （2） 过点F作交于点M，过点M作于点N，证得四边形是平行四边形，进而得到、，根据垂直的定义得到，设，则、，根据求出，进而得到，从而证明，则、，再证明，则，从而得出结论； （3）取的中点、的中点，连接、、，过点作交于点，连接、，易证得、、、是等边三角形，进而证明，则，当点在上运动时，点在直线上运动，此时，，作点关于直线的对称点，连接，当、、三点共线时，有最小值，最小值为，过点作于点，在和中，由勾股定理求出、，利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，进而得到，，即、、三点共线，证明，则，求出的长，利用求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点作于点， ， 在中，由勾股定理得：， 的面积为； 【小问2详解】 证明：过点F作交于点M，过点M作于点N， 四边形是平行四边形， 、， ， 四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则、， 是的外角， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 、， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：、， 、， 如图，取的中点、的中点，连接、、，过点作交于点，连接、， 四边形是平行四边形， 、、、， 、是、的中点， 、， ， ， 四边形是平行四边形， ，且， ， 、， ， 、， ， 、是等边三角形， 同理可证：、是等边三角形， 、、， ， ， 在和中， ， ， ， 点在上运动时，点在直线上运动，此时，， ， ， ， 作点关于直线的对称点，连接，设与直线交于点K， 、， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， 设与交于点，与直线交于点K，过点作于点，此时点的位置即为所求， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，、， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， 、、三点共线， ， 、， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 即四边形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025-2026学年度（下）初二年级期中考试 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式，其中是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是菱形，对角线，，则的长是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 7. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 8. 小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. （多选题） 10. 如图，在矩形中，为对角线中点，过点作交于点，点、为三等分点，连接交于点，连接，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 12. 已知，则__________． 13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，若，的周长是14，则__________． 14. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，过点作于点，若，，则__________． 三、解答题：（本大题共5个小题，第15、16、17题8分，其余每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 解方程： （1） （2）． 16. 先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 17. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴ ① ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ② 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ③ ∴ ∴ ④ ∴ ∴四边形为矩形． 18. 为了解学生对人工智能知识的掌握程度，某校举办了“人工智能素养”测试．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的测试成绩进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 八年级抽取20名学生的测试成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，83，84，87，87，87，89，92，95，97，98，98，100． 九年级抽取20名学生的测试成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． 八、九年级所抽学生的测试成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校八年级有700人，九年级有800人参加了此次测试，估计该校八、九年级参加此次“人工智能素养”测试成绩为（A．）的学生共多少人？ 19. 某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． （1）请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ （2）经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ B卷（50分） 四、选择题：（本大题2个小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧答案所对应的方框涂黑． 20. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. （多选题） 21. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，点，分别为边，上的动点，且，连接，交于点，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当为中点时，的值最小 D. 五、填空题：（本大题3个小题，每小题4分，共12分）将每小题答案直接填在答题卡中对应的横线上． 22. 若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 23. 如图，在正方形中，点在边上，，，点在边上且，过作，与，分别交于点，，则的面积为_______． 24. 若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 六、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． （1）求和的值； （2）如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 27. 在平行四边形中，点在边上，点在边上． （1）如图1，若点与点重合且，，，求的面积； （2）如图2，若，，，求证：； （3）如图3，若，，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接与，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $