精品解析：四川省德阳市中江县2026年九年级“二诊”考试数学试卷

2026年九年级“二诊”考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B. 64的平方根为8 C. 若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 6. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 7. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 9. 观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 12. 不等式的解集_________． 13. 因式分解：=___． 14. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算、解分式方程： （1）； （2）． 17. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科日测试（把测试结果分为四个等级：A：优秀：B：良好：C：及格：D：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次抽样测试的学生人数？该县九年级有学生2500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的有多少人？ （2）求扇形统计图中的度数？并把条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位学生（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位学生了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 18. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 19. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． （1）通道斜面的长为________米； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 20. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨元，（为正整数）每个月的销售量为件． （1）与的函数关系式为：______； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，求的取值范围． 21. 如图，的直径，点C为上一点，为的切线，于点O，分别交于D，E两点． （1）求证：； （2）若， ①求点A到直线的距离； ②求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 22. 如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级“二诊”考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴比大的无理数是． 2. 由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：题中几何体的主视图为： 故选：D． 3. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算法则，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B. 64的平方根为8 C. 若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义．根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原说法不正确，该选项不符合题意； B、64的平方根为，故原说法不正确，该选项不符合题意； C、∵一个正多边形的每一个内角都是， ∴每一个外角都是， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数为， 即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，， ，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 7. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 9. 观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，求出的长，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算减法运算即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. 不等式的解集_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，先移项，再将x的系数化为1即可． 【详解】解：移项，得：， 系数化成1得：． 故答案为：． 13. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 14. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算、解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 17. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科日测试（把测试结果分为四个等级：A：优秀：B：良好：C：及格：D：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次抽样测试的学生人数？该县九年级有学生2500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的有多少人？ （2）求扇形统计图中的度数？并把条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位学生（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位学生了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）人，人 （2） ，条形统计图补充完整如下： ； （3） 【解析】 【分析】本题考查概率统计综合，涉及条形统计图、扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由级的人数除以所占的百分比得出本次抽样测试的学生人数，利用该县九年级学生总人数乘以D级所占的百分比即可解决问题； （2）用乘以级所占的百分比求出的度数，再求出级的人数，从而补全条形统计图； （3）画出树状图，共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样测试的学生人数是：（人）， 该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：图中的度数是， 级的人数是：（人）， 条形统计图补充完整如下： ； 【小问3详解】 解：画树形图如下： 共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种， 则选中小明． 18. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； 【小问2详解】 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 19. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． （1）通道斜面的长为________米； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵在中，， ∴， ∴， ∴（米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨元，（为正整数）每个月的销售量为件． （1）与的函数关系式为：______； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的图象和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列关系式即可； （2）月利润等于销售量乘以单价利润，据此列出二次函数，化为顶点式求最值即可； （3）先表示出月利润，再写出其对称轴为直线，根据当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 由题意得，与的函数关系式为， ∵每件售价不能低于50元且不得高于65元， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设月利润为W，由题意得 ， ∵， ∴当时，W有最大值2402.5， ∵且x为正整数， ∴当时，，； 当时，，； ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； 【小问3详解】 由题意得，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵售价每件不低于58元，且x为正整数， ∴时，每月的销售利润随的增大而减小， ∴， 解得． 21. 如图，的直径，点C为上一点，为的切线，于点O，分别交于D，E两点． （1）求证：； （2）若， ①求点A到直线的距离； ②求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，则，故，又，且，可得，故； （2）①过点作于点，则得到，解得到，再解即可； ②过点作于，结合三角函数的知识求得与的长，从而利用求得阴影部分的面积之和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴在中，， ∴点A到直线的距离为； ②过点作于，设与交于点， ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，圆周角定理，扇形面积的计算方法，以及三角函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法． 22. 如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $