精品解析：浙江宁波市鄞州实验中学等校2025-2026学年下学期八年级数学期中测试卷

2025学年第二学期八年级数学学科期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为最简二次根式． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数30不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D．，被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式． 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴， 故选：A 3. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( ) A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲乙丙均可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴，导游小方应该选择甲团． 故选：A． 4. 如图，的对角线与相交于点，．若，，则的长是（ ） A. 13 B. 20 C. 26 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 6. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选C． 7. 已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1， 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 8. 某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A. 10% B. 19% C. 20% D. 30% 【答案】A 【解析】 【分析】设出未知量，根据两年前后的单价列方程求解，再舍去不合题意的解即可解答． 【详解】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， ∵2024年单价为200元，2024年到2026年共经过2年，2026年单价为162元， ∴列方程得， 两边同除以200得， 开平方得 ， ∵降低率x满足， ∴只取，解得， ∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是． 9. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转（）得到．当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形特征，熟练掌握及运用其性质是解答本题的关键．根据旋转可得，，进一步得，再利用平行线的性质倒角，最后根据三角形的内角和定理即可求得结果． 【详解】解：由旋转得，，， 中，，， ， ， ， 在中，， 整理得，． 故选：C． 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是，再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接，过点E作于点M， ∵，， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， 故阴影部分的面积为． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 当时，二次根式的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】直接将代入，再化简即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 12. 一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查离差平方和的计算，先求出这组数据的平均数，再根据定义计算离差平方和． 【详解】解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和为： ． 13. 对于实数，，定义运算“※”如下：，例如，．若，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据新定义的运算计算，再根据，即可得关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 即的值为或． 14. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度． 【答案】360° 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可． 【详解】由多边形的外角和等于360°可知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， 故答案为360°． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 15. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得:, 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 16. 如图①，点为□边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止；设点经过的路径长为，△的面积为，与的函数图象如图②所示；若，则□的面积是 ______ ． 【答案】12 【解析】 【分析】先通过图像得到AB＝CD＝6，BC＝4，作BM⊥CD于点M，则∠BMC＝90°，∠C＝60°，得到∠CBM＝30°，求得CM＝BC＝2，利用勾股定理求得BM的长，进而求得□的面积． 【详解】解：由函数图象可知，第一阶段x的值从0先变化到6，点E在AB上运动，面积逐渐变大， ∴AB＝6＝CD， 由函数图象可知，第二阶段x的值从6先变化到10，点E在BC上运动，面积保持不变， ∴BC＝10－6＝4， 如图，作BM⊥CD于点M，则∠BMC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CBM＝30°， ∴CM＝BC＝2， ∴BM＝， ∴□的面积是CD×BM＝6×2＝12， 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的面积等知识，读懂函数图象，数形结合是解题的关键． 17. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质等知识，先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据三角形中位线的判定以及性质即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 18. 如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点E为中点时，；③当时，；④最小值为．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用平行四边形和折叠的性质可得是等边三角形，作边上的垂线，构造直角三角形，根据等边三角形的性质可求出的长，在中用勾股定理可得长，进而判断①错误；构造直角三角形，由①同理可得，，②正确；由平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质，设，则有，故③正确；由折叠知，在以B为圆心，半径的圆弧上，利用两点之间线段最短和圆的性质，可得④正确． 【详解】解：①当点落在边上时，如图， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可知， ， ， ，， ∴，， 在中，， 是等边三角形，则， 过点作于点， ， 在中，根据勾股定理可得，， ， 在中，，所以①错误； ②当点E为中点时，， 如图，过点C作交延长线于点G， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，，， ， 在中，，故②正确； ③当时，， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ，故③正确； ④由折叠知，在以B为圆心，半径的圆弧上，如图，过点作交于点H， 由两点之间线段最短知，三点共线时，最短， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以④正确； 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简二次根式并根据二次根式的乘法运算法则计算，然后算减法即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，最后算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得：， 【小问2详解】 解： ∵， ∴ 解得：， 21. 某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： （1）计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 （2）根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】（1）3.185，3.92，4.46 （2）1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【解析】 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【小问1详解】 解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 【小问2详解】 解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 22. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 23. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220 （2）参加活动的学生人数为18人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； 【小问2详解】 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 24. 在中，，，．点在边上且，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，当时，求； （2）如图2，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点．求线段的取值范围； （3）如图3．当时，点为线段上一动点，过点作射线于点，为中点，直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）的最大值为；最小值为． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作交的延长线于点，根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）如图，在线段上截取，连接、，可证得四边形是平行四边形，得出：，，再运用三角形三边关系即可求得答案； （3）如图，连接，取的中点，的中点，连接、、、，可证是等腰直角三角形，得出：，再由点是的中点，可得：，且，利用勾股定理得，当、、三点共线时，的最小值，当点与点重合时，，，此时，的最大值． 【小问1详解】 解：如图1，过点作交的延长线于点， ， ，， ， 点在边上且，将绕点逆时针旋转得到， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：如图2，在线段上截取，连接、， ，， 四边形是平行四边形， ，， 在中，， ， 即， ； 【小问3详解】 解：连接，取的中点，的中点，连接、、、， ，， 是等腰直角三角形， ， 点是的中点， ，且， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴， ， 点是的中点， ， 在中，， 当、、三点共线时，的最小值， 当点与点重合时，，， 此时，的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级数学学科期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择( ) A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲乙丙均可以 4. 如图，的对角线与相交于点，．若，，则的长是（ ） A. 13 B. 20 C. 26 D. 30 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 7. 已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 8. 某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A. 10% B. 19% C. 20% D. 30% 9. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转（）得到．当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 当时，二次根式的值为______. 12. 一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是_____． 13. 对于实数，，定义运算“※”如下：，例如，．若，则的值为_____． 14. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度． 15. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 16. 如图①，点为□边上的一个动点，并沿的路径移动到点停止；设点经过的路径长为，△的面积为，与的函数图象如图②所示；若，则□的面积是 ______ ． 17. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为_______． 18. 如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点E为中点时，；③当时，；④最小值为．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： （1）计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 （2）根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 22. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 23. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 24. 在中，，，．点在边上且，将绕点逆时针旋转得到． （1）如图1，当时，求； （2）如图2，在旋转过程中，连接，取中点，作射线交直线于点．求线段的取值范围； （3）如图3．当时，点为线段上一动点，过点作射线于点，为中点，直接写出的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $