专题 5.3 分式方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.3 分式方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】分式方程 1 【题型 1】分式方程的判断 1 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 3 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 3 【题型 3】分式方程的增根问题 5 【题型 4】分式方程的无解问题 8 二.培优题型精析 10 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 10 【题型 6】一元一次不等式与分式方程综合 13 【题型 7】分式方程与规律问题 16 【题型 8】分式方程与探究性问题 21 三.同步检测 25 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 29 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 33 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】分式方程 分母中含有未知数，像这样的方程叫作分式方程。 【要点提示】（1）核心判定条件：方程的分母中含有未知数，这是分式方程最关键特征；（2） 区分对比分母不含未知数的是整式方程；分母含未知数才是分式方程；（3）隐含限制分式分母不能为0，因此分式方程自带取值限制，这就是后面要学习必须检验的原因。 【题型 1】分式方程的判断 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了．设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？ 【答案】见分析． 【分析】根据（1-增长的百分比）×2008年吸收的投资额=2009年吸收的投资额列出方程，再根据分式方程的定义求解即可． 解：根据题意得， x满足的方程有：，，，，等，其中，是分式方程． 【点拨】本题考查分式方程的定义，掌握相关知识是解题关键． 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 1、解可化为一元一次方程的分式方程步骤： （1）去分母：找出所有分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程解法：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，求出未知数的值； （3）检验：把求得的解代入最简公分母（若最简公分母不等于0，是原方程的解；若最简公分母等于0，是增根，必须舍去，原方程无解； （4）写出结论。 2、增根与无解： 增根：解分式方程时，去分母转化为整式方程的过程中，未知数取值范围被扩大；求出的整式方程的根，使原分式方程的分母为0，分式无意义，不能作为原方程的根，这种根叫做增根。 无解：分式方程经过求解后：整式方程有解，但解全是增根，全部要舍去；或化简后的整式方程本身无解；以上两种情况，都称原分式方程无解。 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 【例题2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 解：（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 【变式1】（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 解：， 方程两边乘以去分母得：． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）若代数式与的值相等，则_______． 【答案】 解：根据题意得： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； 经检验，是原分式方程的解. 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·月考）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解；（2）原分式方程无解 【分析】（1）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可； （2）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可． 解：（1）解：， 原方程化为：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解； （2）解：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解． 【题型 3】分式方程的增根问题 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 【答案】该分式方程的增根为 【分析】本题考查了分式方程增根的定义与求解，掌握增根是使分母为零且满足去分母后整式方程的根这一核心，以及先找可能增根，再代入检验的步骤是解题的关键． 先确定原分式方程分母为零的可能增根，再去分母化为整式方程，代入可能的增根检验是否成立，从而确定真正的增根． 解：方程两边同乘，得． 该分式方程有增根， ， 或2． 当时，； 当时，不成立， ，增根不为2， 该分式方程的增根为． 【变式1】（2024·甘肃武威·三模）若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解并掌握增根的实际意义．找出分式方程的最简公分母并确定出x的值，即为增根． 解：分式方程的最简公分母为， 去分母得：， 整理得， 由分式方程有增根，得到，即或， 把代入得：，解得， 则它的增根可以是1． 把代入得：，无解， 则它的增根不可以是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）若方程有增根，则增根为________，________． 【答案】 1 0 【分析】本题考查了分式方程的增根问题；令分式方程最简公分母为0即可求出方程的增根，将分式方程去分母后，将代入求出值即可． 解：方程的最简公分母为， 令， 解得：， 方程的增根为， 去分母得，即， 方程有增根，且方程的增根为， 把代入整式方程，得． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）对于分式方程：． （1）若该分式方程有增根，则增根为____________． （2）在（1）的条件下，求出m的值， 【答案】（1）或；（2）或6 【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根求解即可． （2）把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 解：（1）解：∵该分式方程有增根， ∴最简公分母， 解得：或，即增根为或， 故答案为：或； （2）解：， 两边都乘以，得：， 整理，得：． 当时，即， 解得：， 经检验符合题意； 当时，即， 解得：， 经检验符合题意． ∴m的值为或6． 【点拨】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【题型 4】分式方程的无解问题 【例题4】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点拨】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 【变式1】（2026七年级下·山西太原·专题练习）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若解关于x的方程无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程无解时求参数问题，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先解分式方程得到，然后由方程无解得到，代入求出，然后代入化简后的代数式计算即可． 解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程无解， ∴ ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． 二.培优题型精析 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 【例题5】（2026·山东淄博·一模）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，先将分式方程化为整式方程求解，再根据解为负数列不等式，同时保证原分式方程分母不为零，进而确定k的取值范围． 解：∵解分式方程， ∴两边同乘得：， 展开并化简：， ， 移项合并得：， ∴， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， 又∵原分式方程分母不能为0，即且， 当时，，解得，故， 当时，，解得，但，此情况不存在， 综上，且， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）已知关于x的分式方程， （1）当时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，则m的取值范围为_______． 【答案】（1）无解；（2）且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键． （1）把代入，解方程即可； （2）对原分式方程变形，然后解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 解：（1）解：把代入， 可得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得， 经检验，时，， 所以原方程无解； （2）解： 去分母，得， 解得， 分式方程解是非负数， ， 解得， 分式方程有解， ， 的取值范围是：且． 【题型 6】一元一次不等式与分式方程综合 【例题6】（25-26八年级下·全国·周测）若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 【答案】或2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解条件，分式方程的解法及正整数解的限制，掌握不等式组无解的条件，分式方程去分母转化为整式方程的方法，解的限制条件是解题的关键． 先根据不等式组无解的条件确定的取值范围，再解分式方程并结合正整数解和分母不为零的条件，筛选出符合条件的整数． 解：∵关于的不等式组无解， ， 解得． 将分式方程去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得． ∵分式方程有正整数解，且， 为10的正整约数，即或2或5或10， 解得或或2或7． 当时，， 此时分母，故舍去． ∴的整数值为或2或7 ， ∴满足条件的整数的值是或2． 【变式1】（24-25九年级下·重庆江北·期中）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 【答案】B 【分析】先解不等式组结合无解得到的取值范围，再解分式方程结合非负数解得到的限制条件，找出所有符合条件的整数求和即可． 解：解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴，解得：； 将原分式方程化为， 方程两边同乘得， 整理得， ∵分式方程有非负数解， ∴，且，分母不为零，， 解得且； 综上所述，且， 为整数， ∴符合条件的为，则． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有个整数解，确定出的范围，将分式方程去分母转化为整式方程，表示出，由为整数以及分式有意义的情况确定出的值，再计算满足条件的整数的和即可． 解：不等式组， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解， ，解得， 整数可以为，，，，，，，， ， 去分母得，， 解得， ，即， ， ，即， ， 分式方程的解为整数，当时，，不满足题意， ， 整数可以为，，，，， 满足条件的整数的和为． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 【答案】所有满足条件的整数的值之和是 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组． 先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． 关于的不等式组至少有2个整数解， ，解得． 解分式方程，得． 关于的分式方程的解为非负整数， 为不等于1的非负整数， 可得，为偶数，且， 且，是偶数，则所有满足条件的整数的值之和是． 【题型 7】分式方程与规律问题 【例题7】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 解：（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 【变式2】  （24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，分析等式特点得到规律，应用规律到方程是解决本题的关键．先根据上面的规律化简方程，解分式方程求出解，检验得结论． 解：， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律． 用含正整数n的等式表示这个规律： ； （2）【问题解决】 一容器装有水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出水，第二次倒出的水量是水的，第三次倒出的水量是水的，第四次倒出的水量是水的，……，第n次倒出的水量是水的．这水能否倒完？请说明理由； （3）【拓展探究】 解方程：． 【答案】（1）；（2）这水不能倒完，见分析；（3） 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可； （3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解； 解：（1）根据题意得：规律为； （2）这水不能倒完． 理由如下： 前n次倒出的总水量为 ． 因为，所以这水不能倒完． （3）整理方程，得， 所以，即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为． 【题型 8】分式方程与探究性问题 【例题8】（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 解：（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 【变式2】  （25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 解：  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山东·月考）已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断一个方程是否为分式方程，关键依据是：分母中含有未知数的方程．我们需要逐一分析每个选项的分母是否含有未知数． 解：A、，分母是常数，不含有未知数，是整式方程，不符合题意； B、，虽然分母含有，但分子中含有根号，属于无理方程，不是分式方程，不符合题意； C、，分母中含有未知数，是分式方程，符合题意； D、，分母含有根号，是无理方程，不是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了分式方程的定义，解题关键是明确分式方程的核心特征是分母中含有未知数，同时注意区分整式方程和无理方程． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入分式方程，再解方程即可得解． 解：是分式方程的根， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得． 3．（2026·浙江衢州·一模）解方程时，在方程的两边同乘以，得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解： 两边同乘以，得． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 5．（2026·浙江温州·一模）研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题目给出的调和数定义，得到三个数倒数之间的等量关系，列出分式方程求解即可得到结果. 解：由题意，， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此x的值为20. 6．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格数据，结合分式无意义的条件和分式值为0的条件，代值求解判断即可． 解：由时分式无意义，得，即，解得，故选项A正确，不符合题意； 由时分式值为1，得，解得，故选项B正确，不符合题意； 由时分式的值为0，得，解得，故选项C错误，符合题意； 由时分式的值为，得，解得，经检验，是方程的解，故选项D正确，不符合题意． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 8．（2025九年级·重庆北碚·专题练习）若实数a 使关于x 的分式方程 有正整数解，且使关于y 的一元一次不等式组至少有4 个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A．12 B．15 C．19 D．22 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有4个整数解确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有正整数解筛选出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的和． 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组至少有4个整数解， ∴的整数解必须包含4，3，2，1， ∴， 解得， 解分式方程， 去分母可得：， 解得：， 分式方程有正整数解， ∴，且（防止出现增根），且是正整数，是整数， ，，为奇数， 结合，符合条件的整数为，，，， 因此符合条件的所有整数的和为：． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 10．（25-26九年级下·浙江金华·期中）方程的解为_______． 【答案】 解： 方程两边同时乘以，得， 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 11．（25-26九年级下·福建泉州·月考）若方程有增根，则增根为_____ ． 【答案】5 【分析】先确定分式方程分母为0时x的值，该值即为增根． 解：若方程有增根， 则， 解得， ∴增根为． 12．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式．先解分式方程得到解，再根据解为正数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 解：解方程， 去分母得， 解得． 由于方程的解是正数，所以，即． 又因为分母，即，则，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，把原方程去分母化为整式方程，化简得到，分式方程无解需考虑整式方程无解和解为增根两种情况，据此讨论求解即可． 解： 方程两边同时乘以，得 ， 整理得， 当时，方程无解，此时； 当时，则， ∵原方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是方程的解； 综上所述，a的值为3或6， 故答案为：3或6． 14．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点C的坐标为，且，则m的值为________． 【答案】0或4 【分析】根据定义可得，解方程即可得到答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 经检验，或均是方程的解． 15．（2026·黑龙江佳木斯·一模）一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个 【答案】5 【分析】本题考查概率公式的应用，思路是设出黑球的个数，根据摸到白球的概率结合概率公式列出方程，求解方程得到黑球个数． 解：设黑球有个，则袋子中球的总个数为个． 根据概率公式可得 解得 经检验是原方程的解． 16．（22-23九年级下·重庆大渡口·月考）如果关于x的不等式组的解集为x＞3，且关于y的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的值的和是______． 【答案】2 【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及分式方程的解，熟练掌握运算法则，求得的取值范围以及解分式方程是解本题的关键．先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有正整数解确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和即可． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 移项合并得， 系数化为得， 不等式组的解集为，根据同大取大，可得； 解分式方程， 方程两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 分式方程有正整数解， ，为正整数，且即， 且， 解得：且， 结合，得的取值范围为且， 又是正整数，为整数， 符合条件的整数为，， 符合条件的整数的值的和为． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式方程的解法，求解检验即可； （2）根据分式方程的解法，求解检验即可． 解：（1）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 18．（24-25八年级下·吉林长春·月考）已知关于的分式方程 （1）若该方程有增根，求的值； （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 解：（1）解： 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， 解得， 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴且． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）在解方程时，小亮的解法如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得． （1）小亮的解法正确吗？ （2）你认为是原方程的根吗？与同学交流． （3）你对这种情况有何认识？请说出你的想法． 【答案】（1）不正确；（2）不是；（3）不是原方程的根，原分式方程无解． 【分析】本题主要考查了解分式方程的步骤，解决本题的关键是根据解分式方程的步骤判断小明的解法是否正确． 小亮没有进行检验，所以小亮的解法不正确； 当时，原分式方程的分母，分母为时，分式没有意义，所以是原分式方程的增根； 解分式方程时要把求出的解代入分式方程的最简公分母，检验求出的解是否原分式方程的增根． 解：（1）解：小亮的解法错误， 解分式方程应检验是否原方程的增根； （2）解：当时，原分式方程的分母， 分母为时，分式没有意义， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解； （3）解：解分式方程时要把求出的解代入分式方程的最简公分母， 检验求出的解是否原分式方程的增根． 20．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： （1）________； （2）若，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 解：（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 分式方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】分式方程 1 【题型 1】分式方程的判断 1 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 2 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 2 【题型 3】分式方程的增根问题 3 【题型 4】分式方程的无解问题 3 二.培优题型精析 4 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 4 【题型 6】一元一次不等式与分式方程综合 4 【题型 7】分式方程与规律问题 5 【题型 8】分式方程与探究性问题 6 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】分式方程 分母中含有未知数，像这样的方程叫作分式方程。 【要点提示】（1）核心判定条件：方程的分母中含有未知数，这是分式方程最关键特征；（2） 区分对比分母不含未知数的是整式方程；分母含未知数才是分式方程；（3）隐含限制分式分母不能为0，因此分式方程自带取值限制，这就是后面要学习必须检验的原因。 【题型 1】分式方程的判断 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了．设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？ 【知识点二】解可化为一元一次方程的分式方程 1、解可化为一元一次方程的分式方程步骤： （1）去分母：找出所有分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程解法：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，求出未知数的值； （3）检验：把求得的解代入最简公分母（若最简公分母不等于0，是原方程的解；若最简公分母等于0，是增根，必须舍去，原方程无解； （4）写出结论。 2、增根与无解： 增根：解分式方程时，去分母转化为整式方程的过程中，未知数取值范围被扩大；求出的整式方程的根，使原分式方程的分母为0，分式无意义，不能作为原方程的根，这种根叫做增根。 无解：分式方程经过求解后：整式方程有解，但解全是增根，全部要舍去；或化简后的整式方程本身无解；以上两种情况，都称原分式方程无解。 【题型 2】解可化为一元一次方程的分式方程 【例题2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）解方程： （1） （2） 【变式1】（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）若代数式与的值相等，则_______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·月考）解方程： （1）； （2）． 【题型 3】分式方程的增根问题 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的分式方程有增根，求该分式方程的增根． 【变式1】（2024·甘肃武威·三模）若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）若方程有增根，则增根为________，________． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）对于分式方程：． （1）若该分式方程有增根，则增根为____________． （2）在（1）的条件下，求出m的值， 【题型 4】分式方程的无解问题 【例题4】（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【变式1】（2026七年级下·山西太原·专题练习）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）若解关于x的方程无解，求代数式的值． 二.培优题型精析 【题型 5】已知分式方程的解的情况，求参数取值范围 【例题5】（2026·山东淄博·一模）已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）已知关于x的分式方程， （1）当时，解此方程； （2）若该方程的解是非负数，则m的取值范围为_______． 【题型 6】一元一次不等式与分式方程综合 【例题6】（25-26八年级下·全国·周测）若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 【变式1】（24-25九年级下·重庆江北·期中）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，求所有满足条件的整数的值之和． 【题型 7】分式方程与规律问题 【例题7】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【变式2】  （24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为_______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）【探索规律】 观察下面的式子，探索它们的规律． 用含正整数n的等式表示这个规律： ； （2）【问题解决】 一容器装有水，按照如下方式把水倒出：第一次倒出水，第二次倒出的水量是水的，第三次倒出的水量是水的，第四次倒出的水量是水的，……，第n次倒出的水量是水的．这水能否倒完？请说明理由； （3）【拓展探究】 解方程：． 【题型 8】分式方程与探究性问题 【例题8】（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： （1）如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； （2）求代数式的最大值． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【变式2】  （25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 【变式3】（24-25八年级下·山东·月考）已知，且，求的最小值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江衢州·一模）解方程时，在方程的两边同乘以，得（   ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（2026·浙江温州·一模）研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025九年级·重庆北碚·专题练习）若实数a 使关于x 的分式方程 有正整数解，且使关于y 的一元一次不等式组至少有4 个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A．12 B．15 C．19 D．22 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 10．（25-26九年级下·浙江金华·期中）方程的解为_______． 11．（25-26九年级下·福建泉州·月考）若方程有增根，则增根为_____ ． 12．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 13．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 14．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点C的坐标为，且，则m的值为________． 15．（2026·黑龙江佳木斯·一模）一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个 16．（22-23九年级下·重庆大渡口·月考）如果关于x的不等式组的解集为x＞3，且关于y的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的值的和是______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 18．（24-25八年级下·吉林长春·月考）已知关于的分式方程 （1）若该方程有增根，求的值； （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）在解方程时，小亮的解法如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得． （1）小亮的解法正确吗？ （2）你认为是原方程的根吗？与同学交流． （3）你对这种情况有何认识？请说出你的想法． 20．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： （1）________； （2）若，求的值； （3）求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $