专题 5.1 分式及其基本性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 分式及其基本性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的概念 1 【题型 1】分式的判断 1 【知识点二】分式的意义 2 【题型 2】分式有意义条件 2 【题型 3】分式的值为零条件 3 【知识点三】分式的基本性质 3 【题型 4】利用分式的基本性质辨析分式的变形 3 【题型 5】求分式的值为正负数时未知数的值取值范围 4 【题型 6】求分式的值为整数时未知数的整数值 4 【知识点四】分式的约分、最简分式 5 【题型 7】分式的约分与最简分式 5 【培优篇】 5 【题型 8】分式的意义与分式的值综合 5 【题型 9】分式规律性问题 6 二.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的概念 一般地，用，表示两个整式，可以表示成的形式。如果中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分式，称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 【题型 1】分式的判断 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·月考）代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【知识点二】分式的意义 分式的意义及分式值为零的条件： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 2】分式有意义条件 【例题2】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【变式1】（25-26八年级下·河北衡水·月考）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（2025·广东广州·一模）关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）解答下列各题： （1）下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． （2）当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． （3）当满足 时，在实数范围内有意义． 【题型 3】分式的值为零条件 【例题3】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【知识点三】分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 【题型 4】利用分式的基本性质辨析分式的变形 【例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【题型 5】求分式的值为正负数时未知数的值取值范围 【例题5】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当______时，分式的值为正； （2）当为______时，分式的值为负； （3）当为______时，分式的值为正整数． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【题型 6】求分式的值为整数时未知数的整数值 【例题6】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【变式1】（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【知识点四】分式的约分、最简分式 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。 【特别提示】化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。 【题型 7】分式的约分与最简分式 【例题7】（25-26八年级上·全国·单元复习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【变式1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏·单元复习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． （1） （2） （3） 【培优篇】 【题型 8】分式的意义与分式的值综合 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【变式2】（2025·山东临沂·模拟预测）若，则=_____，______． 【变式3】（25-26九年级下·全国·开学考试）已知，求代数式的值． 【题型 9】分式规律性问题 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列分式：，，，，…．其中． （1）试写出第5个分式 ． （2）试写出第（为正整数）个分式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）已知，则的值为_____________． 【变式2】（25-26八年级下·四川内江·月考）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． （1） ；（用含的代数式表示） （2） ．（用含的代数式表示） 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·一模）使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 3．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 6．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使分式无意义，则的取值应满足________． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期末）写出使分式的值为正数的的一个值_____． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，且，则代表的整式是______． 13．（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 15．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，且，为实数，试求的平方根． 18．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知分式，． （1）化简A； （2）当x为何值时，A与B的值相等？ （3）当x为何值时，A的值为零？ 19．（24-25八年级上·全国·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 20．（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． （1）____________（用含t的式子表示）； （2）求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 分式及其基本性质（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点一】分式的概念 1 【题型 1】分式的判断 1 【知识点二】分式的意义 3 【题型 2】分式有意义条件 3 【题型 3】分式的值为零条件 5 【知识点三】分式的基本性质 7 【题型 4】利用分式的基本性质辨析分式的变形 7 【题型 5】求分式的值为正负数时未知数的值取值范围 9 【题型 6】求分式的值为整数时未知数的整数值 11 【知识点四】分式的约分、最简分式 13 【题型 7】分式的约分与最简分式 13 【培优篇】 15 【题型 8】分式的意义与分式的值综合 15 【题型 9】分式规律性问题 17 二.同步检测 20 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 24 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 27 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点一】分式的概念 一般地，用，表示两个整式，可以表示成的形式。如果中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分式，称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 【题型 1】分式的判断 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【答案】，，，是整式，，，是分式 【分析】本题考查整式与分式，根据整式和分式的定义判断：整式是分母中不含字母的式子，包括单项式和多项式；分式是分母中含有字母的式子． 解：是多项式，是整式； 的分母不含字母，是多项式，是整式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 综上，，，，是整式，，，是分式． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·月考）代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】若A，B为整式，且B中含有字母，则是分式，据此逐一判断即可． 解：是整式，是整式，是分式，是整式，是分式，是分式 ∴分式共有个． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】整式是，；分式是；； 【分析】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式． 根据分式和整式的定义逐一判断即可得． 解：整式是，；分式是；；． 【知识点二】分式的意义 分式的意义及分式值为零的条件： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 2】分式有意义条件 【例题2】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据式子有意义的条件，构建不等式求解． 解：， 则且． 【变式1】（25-26八年级下·河北衡水·月考）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】用二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质列不等式求解． 解：要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0， ∴， 解得：且. 【变式2】（2025·广东广州·一模）关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出的取值范围即可． 解：由数轴可知关于的不等式解集为， ∵中， ∴分段讨论： ①当时，， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是或． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）解答下列各题： （1）下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． （2）当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． （3）当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 解：（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 【题型 3】分式的值为零条件 【例题3】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可． 解：， 且， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 解：由题意，得， 解得 ． 【知识点三】分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 【题型 4】利用分式的基本性质辨析分式的变形 【例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）分子、分母同时乘c；（2）分子、分母同时除以x；（3）分子、分母同时除以 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 解：（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D． 解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意； B、由于，则变形正确，符合题意； C、当时，，原式变形错误，不符合题意； D、当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 【变式3】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 【题型 5】求分式的值为正负数时未知数的值取值范围 【例题5】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当______时，分式的值为正； （2）当为______时，分式的值为负； （3）当为______时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 解：代数式的值是正数， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【题型 6】求分式的值为整数时未知数的整数值 【例题6】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 【变式1】（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）直接写出的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1），；（2），， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 解：（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 【知识点四】分式的约分、最简分式 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。 【特别提示】化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。 【题型 7】分式的约分与最简分式 【例题7】（25-26八年级上·全国·单元复习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 【变式2】（25-26八年级下·江苏·单元复习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． （1） （2） （3） 【答案】（1）是；（2）不是，；（3）不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 解：（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 【培优篇】 【题型 8】分式的意义与分式的值综合 【例题8】（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 【变式2】（2025·山东临沂·模拟预测）若，则=_____，______． 【答案】 8 【分析】利用完全平方公式的变形求解，先将已知等式两边平方，得到的值，再计算，代入后开平方得到的值． 解：∵， ∴， ∴， 化简得； ， 对等式两边开平方得． 【变式3】（25-26九年级下·全国·开学考试）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知求出，再将所求代数式整理为，进而代值求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 【题型 9】分式规律性问题 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列分式：，，，，…．其中． （1）试写出第5个分式 ． （2）试写出第（为正整数）个分式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的规律探究，掌握分别观察符号、分子、分母的变化规律，再整合得到通式是解题的关键． （1）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，分别推导第项的规律，再组合； （2）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，用含的代数式表示规律，再组合． 解：（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为； 分母中的指数：， 第个指数为， 所以第个分式为． （2）解：符号：； 分子的指数：； 分母的指数：， 故第个分式为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）已知，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】利用分别用含的代数式表示从而探索规律即可求解． 解：， ． ． ． 当是奇数时， ． 当是偶数时， ． ． ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的运算，探索出规律是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·四川内江·月考）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，…．当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，． （1） ；（用含的代数式表示） （2） ．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】该题主要考查代数式的规律探索，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意代入计算即可； （2）根据题意，找出规律，求解即可． 解：（1）解：因为， 所以． 所以； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ， ， ， ， ， …， 所以每6项为一循环． 因为， 所以． 故答案为：． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 解：A． 的分母是常数3，不含字母，属于整式； B．分母是含字母x的整式，符合分式定义； C． 的分母是常数，不含字母，属于整式； D． 是多项式，属于整式， 故选项B符合题意． 2．（2026·河北张家口·一模）使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到的取值范围． 解：∵有意义， ∴，且， ∴且． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求分式拆分为差的形式，代入已知比值计算． 解：∵ ， ∴ ． 故选：A． 4．（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 6．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 7．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用二次根式的性质化简，去绝对值后得到最简结果． 解：∵二次根式的被开方数非负，分母不为0， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴，， ∴． 8．（24-25八年级下·河北保定·月考）某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 解：∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期末）写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，且，则代表的整式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质，分子分母同乘一个不为0的数，分式的值不变，求解即可． 解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 解：分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，且，为实数，试求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方根为． 18．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知分式，． （1）化简A； （2）当x为何值时，A与B的值相等？ （3）当x为何值时，A的值为零？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查分式的值、约分及分式有意义的条件，熟练掌握分式的值、约分及分式有意义的条件是解题的关键； （1）根据分式的性质可进行求解； （2）由（1）及分式有意义的条件可进行求解； （3）根据分式的值为0的条件可进行求解． 解：（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴恒成立， ∵分式有意义，即， ∴当时，A与B的值相等． （3）解：当时，则且． 解得， ∴当时，A的值为零． 19．（24-25八年级上·全国·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见分析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点拨】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 20．（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． （1）____________（用含t的式子表示）； （2）求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】（1）；（2）证明见分析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $