5.2分式的运算 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“分式的运算”核心知识点，系统梳理分式乘除（乘法法则、除法转化为乘法）、乘方（分子分母分别乘方）、加减（同分母直接加减、异分母先通分）运算法则，明确最简公分母确定方法及混合运算顺序（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号），构建从基础到综合的学习支架。 该资料以“5知识点+15题型+过关检测”为框架，题型分层设计（典例配变式），解题技巧强调分步操作（如分式乘法先分解再约分），培养学生运算能力与严谨思维。实际应用题（如工程问题、糖水浓度）渗透模型意识，引导用数学语言表达现实问题。课中辅助教师系统教学，课后通过检测帮助学生查漏补缺，巩固知识。

5.2分式的运算 （5知识点+15题型+过关检测） 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 5 【题型3 分式乘除混合运算】 7 【题型4 分式乘方】 9 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 13 【题型6同分母分式加减法】 15 【题型7 最简公分母】 17 【题型8 通分】 19 【题型9 异分母分式加减法】 21 【题型10 整式与分式相加减】 22 【题型11 已知分式恒等式，确定分子或分母】 25 【题型12 分式加减混合运算】 29 【题型13 分式加减的实际应用】 34 【题型14 分式加减乘除混合运算】 36 【题型15 分式化简求值】 39 1. 知识目标：熟练掌握分式的乘、除、乘方运算法则，掌握同分母、异分母分式加减法法则；理解最简公分母、通分的概念，明确分式混合运算的运算顺序。 2. 能力目标：能独立完成分式基础运算、混合运算，熟练进行分式通分、化简；掌握分式化简求值的常规方法，能解决分式恒等式求解、分式运算实际应用等拓展题型。 3. 思维目标：类比分数运算规则推导分式运算规则，培养类比迁移、有序运算、严谨化简的数学思维，规避分式运算中符号错误、运算顺序错误、约分不彻底等常见问题。 03 知识•梳理 知识点1：分式的乘除运算法则 1. 分式乘法：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。公式：（B≠0，D≠0） 2. 分式除法：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。公式：（B≠0，C≠0，D≠0） 核心要点：分式除法统一转化为乘法运算，核心是“变除为乘，除式颠倒”。 知识点2：分式的乘方运算法则 分式的乘方是把分子、分母分别乘方。公式：（B≠0，n为正整数） 核心要点：乘方时符号跟随整体，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；分子、分母整体分别乘方，不可单独乘方单项。 知识点3：分式加减运算法则 1. 同分母分式加减法：分母不变，只把分子相加减。公式：（B≠0） 2. 异分母分式加减法：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则计算。公式：（B≠0，D≠0） 知识点4：最简公分母与通分 1. 最简公分母定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 2. 通分定义：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分，通分的依据是分式的基本性质。 3. 最简公分母求解规则：分母为单项式，取系数最小公倍数+相同字母最高次幂；分母为多项式，先因式分解，再取所有不同因式最高次幂。 知识点5：分式混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 有括号先算括号内的运算； 3. 同级运算从左到右依次进行； 4. 运算全程遵循“先化简、后计算”，结果必须化为最简分式或整式。 04 题型•汇总 【题型1 分式乘法】 解题技巧： 1. 先分解：分子、分母为多项式时，优先因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式）； 2. 再相乘：分子乘分子、分母乘分母，不急于展开； 3. 提前约分：相乘前可交叉约分，简化计算，避免大数运算； 4. 结果化简：最终必须化为最简分式，注意符号统一，首项为正。 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型2 分式除法】 解题技巧： 1. 统一转化：所有分式除法全部变乘法，除式分子分母彻底颠倒； 2. 0值规避：先观察除式，保证除式不为0，无意义式子直接排除； 3. 因式分解+约分：转化为乘法后，沿用分式乘法步骤，先分解、后约分、再计算； 4. 易错点：仅颠倒除式，被除式保持不变，切勿同时颠倒。 【典例2】．化简． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】先将异分母分式通分，除法转化为乘法，再算小括号里的同分母分式减法，最后算乘法． 【详解】解：， ， ， ． 【变式2】．化简：． 【答案】1 【详解】解：原式． 【变式3】．化简下列分式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题技巧： 1. 统一运算：将所有除法全部转化为乘法，整体变为连乘形式； 2. 顺序规则：同级运算从左到右依次转化，不可跳步运算； 3. 整体约分：全部化为乘法后，统一交叉约分，一次性化简； 4. 符号优先：提前判断整体符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 【典例3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除混合运算，原式先计算，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，利用分式的乘除法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式3】．计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 分式乘方】 解题技巧： 1. 整体乘方：分子、分母作为整体分别乘方，不可拆分单项乘方； 2. 符号判断：底数为负，看指数奇偶，奇负偶正； 3. 先化简后乘方：可先对分式约分化简，再进行乘方运算，减少计算量； 4. 指数规则：字母、常数、因式分别遵循幂的运算规则，准确计算次数。 【典例4】．计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方运算法则求解即可； （2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘方运算法则求解即可； （4）根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)（n为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的计算和分式乘方法则，对分子、分母分别进行乘方，即可得到结果． （1）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （2）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案； （3）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用分式乘方的法则进行计算． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式 ． （3）解：原式= ． 【点睛】本题考查了分式的乘方运算，解题关键是熟练掌握分式乘方的法则，即把分子、分母分别乘方后再计算． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题技巧： 1. 严格遵循顺序：先乘方→再乘除，绝对不能颠倒顺序； 2. 分步计算：先逐一计算所有分式乘方，化为整式或最简分式； 3. 统一乘除：将剩余除法全部转为乘法，整体连乘约分； 4. 双重检查：检查乘方符号、约分完整性，规避符号错误、漏乘方问题。 【典例5】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 【题型6同分母分式加减法】 解题技巧： 1. 分母不变：全程保留原有公分母，不做变动； 2. 分子加减：多项式分子相加减必须加括号，避免符号出错； 3. 合并化简：合并分子同类项，因式分解后约分，化为最简； 4. 易错重点：减法运算时，括号内每一项都要变号，切勿漏变号。 【典例6】．计算的结果是（   ） A．x B． C． D． 【答案】B 【分析】按照同分母分式减法法则计算，整理分子后因式分解，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母分式加法法则计算后，约分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 【变式2】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型7 最简公分母】 解题技巧： 1. 单项式分母：系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母全部保留； 2. 多项式分母：先彻底因式分解，再取所有不同因式的最高次幂； 3. 符号处理：互为相反数的因式（a-b与b-a）统一化为同一种因式； 4. 最简原则：无多余因式、无多余次数，保证公分母最小最简。 【典例7】．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定最简公分母的步骤为：1，取各分母系数的最小公倍数；2，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 【变式1】．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定方法，先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义计算即可． 【详解】解： 分式与的最简公分母是． 【变式2】．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母为． 故答案为：． 【变式3】．分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键． 【详解】解：分式中，分母为， 分式，分母为， 分式，分母为， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 【题型8 通分】 解题技巧： 1. 先定公分母：准确求出所有异分母分式的最简公分母； 2. 匹配变形：观察原分母到公分母的缩放倍数，分子同步乘相同倍数； 3. 逐项通分：多个分式通分，逐个变形，保证分式值不变； 4. 检查核对：通分后所有分母统一为最简公分母，分子变形无遗漏、无错乘。 【典例8】．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先对异分母分式通分，再根据同分母分式加法法则计算，得到结果后匹配选项即可． 【详解】解：． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分合并化简即可得到结果． 【详解】原式 ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型9 异分母分式加减法】 解题技巧： 1. 步骤固定：找最简公分母→通分→同分母加减→化简最简； 2. 通分关键：杜绝直接分子分母分别相加减，必须先统一分母； 3. 分子运算：通分后分子为多项式，加减全程注意括号与符号； 4. 收尾化简：结果必须约分，去除公因式，化为最简分式或整式。 【典例9】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式1】．计算：____． 【答案】 【详解】解： 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 【详解】 【变式3】．（1）计算： （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）根据分式的加减进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法然后计算加减即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【题型10 整式与分式相加减】 解题技巧： 1. 统一形式：将整式看成分母为1的分式，实现全员分式统一； 2. 整体通分：以分式分母为最简公分母，对整式进行通分变形； 3. 合并计算：通分后按照同分母分式加减法计算； 4. 易错规避：整式加减分式时，切勿直接加减分子，必须统一分母。 【典例10】．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 【变式1】．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 【变式2】．已知，则______， ______． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 【详解】（1）解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； （2）解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； （3）解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 【题型11 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题技巧： 1. 恒等原理：等式左右分式完全相等，对应分母、分子成比例； 2. 通分对比：对已知一侧分式通分化简，对比等式两边分母结构； 3. 待定系数：根据对应项系数相等，列方程求解未知系数或因式； 4. 验证结果：代入原式验证恒等成立，排除增根、错解。 【典例11】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式2】．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型12 分式加减混合运算】 解题技巧： 1. 运算顺序：从左到右依次计算，有括号先算括号内； 2. 分步通分：多项加减不一次性通分，两两计算、逐步化简，降低难度； 3. 随时约分：每一步计算完成后，可约分先约分，简化后续运算； 4. 符号严控：连续加减运算中，重点关注负号、括号变号，杜绝符号错误。 【典例12】．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 【变式1】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 【变式2】．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 【变式3】．综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明：，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 【题型13 分式加减的实际应用】 解题技巧： 1. 审题建模：根据工程、行程、浓度、面积等实际场景，列出分式关系式； 2. 列式规范：找准总量、分量、速率关系，准确列出分式加减算式； 3. 精准运算：按照分式加减规则化简计算，结果化为最简； 4. 实际检验：结果符合实际意义，舍去负数、无意义取值。 【典例13】．化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果． 【详解】解：原式= ． 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式的加减法法则计算即可． （2）根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】（1）解：（1）原式      ； （2）解：原式 ． 【变式3】．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 【题型14 分式加减乘除混合运算】 解题技巧： 1. 严守顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内部； 2. 分块运算：将式子划分为乘除块、加减块，先算所有乘除并化简； 3. 再算加减：乘除运算全部完成后，统一通分进行加减运算； 4. 彻底化简：最终结果必须为最简分式，无公因式、无多余括号。 【典例14】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】．已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】利用完全平方公式分解因式，再约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 代数式的值为5． 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，值为5 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算以及二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 先根据分式的四则运算法则对式子进行化简，再将，代入求解即可． 【详解】解：， , ， ； ∵ 则原式． 【变式3】．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，可得，，， 得，，， 因此，能取， 将代入得，原式． 【题型15 分式化简求值】 解题技巧： 1. 先化后代：必须先完整化简分式，再代入数值，严禁直接代入硬算； 2. 定义域优先：代入前验证取值，保证原式所有分母不为0，排除无效值； 3. 整体代入：若未知数无法单独求解，采用整体代换法简化运算； 4. 规范步骤：化简、验证、代入、计算、最简，步骤完整不跳步。 【典例15】．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题设，利用第一个方程得到的表达式，代入两个不等式化简，即可得到的取值范围，进而计算最大值与最小值的和． 【详解】解：， 设， ，都是正数， ， 由①得： ④， 将④代入②得： ， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴，即， 再将④代入③得：， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴， ，两边同除以得：，即， 的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为． 【变式1】．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 【变式2】．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式3】．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的基本运算，根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，分式的乘方法则，对各选项分别计算即可判断． 【详解】解：对选项A，∵合并同类项时，系数相加减，字母及指数不变， ，A错误； 对选项B，∵积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数，，B错误； 对选项C，∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂底数不变指数相减，，C正确； 对选项D，∵负数的奇次幂为负数，分式乘方需分子分母分别乘方，，D错误． 2．已知直线（）与直线（）的交点在y轴上，则的值是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】交点在y轴上，可知交点横坐标为0，将分别代入两条直线方程，利用交点纵坐标相等得到m与n的关系，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵两直线的交点在y轴上， ∴交点的横坐标， 将代入，得， 将代入，得， ∵交点是同一个点，纵坐标相等， ∴， 又，， 将代入得：． 3．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 4．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式进行变形，分离常数，再根据 为正整数确定的取值范围，进而求出代数式的取值范围，最后对照数轴选项即可得出答案． 【详解】解： 为正整数 即 观察选项可知，C选项表示的区间符合题意． 5．如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 6．若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由变形得，代入整理得到，再整体代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 7．下列说法正确的是（　　） A．如果一个正多边形的边数增加1，内角和与外角和均增加 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．三角形的外角可能小于它的内角 【答案】D 【详解】解：对于选项A，任意多边形的外角和恒为，不随边数增加而改变，故A错误； 对于选项B，与的分母分别为和，最简公分母取系数最小公倍数，相同字母取最高次幂，可得最简公分母为，故B错误； 对于选项C，分式值为需满足分子为且分母不为，则得，当时，分母，分式无意义，仅时分式值为，故C错误； 对于选项D，钝角三角形中，钝角的外角是锐角，锐角小于原钝角，因此三角形的外角可能小于它的内角，故D正确． 8．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 9．从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【分析】分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果． 【详解】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为， ∴走第一条路花费的时间为； ∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为， ∴走第二条路花费的时间为， ∵， ∴走第一条路花费时间比第二条少． 10．有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对等式右边进行通分，求出和之后，再根据倒数的性质求出R的表达式． 【详解】解：∵， ． 11．已知实数，满足，则的值为______． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 【详解】解： ， 原式． 12．对于正数，规定，例如，．则_______ 【答案】 【分析】首先确定，然后依次化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 13．分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 14．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 15．将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 【答案】 【分析】把分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，再用最简公分母除以第二个分式的分母，即可得到所求单项式． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， 最简公分母为， 计算得． 16．若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当E为整数且取最大值时，则________． 【答案】 1133 【分析】易得最大的“创新数”C，即可求得；依题意可确定“创新数”A、B的各位数字，因而可计算出，根据题意可求得a与b的值，即可求解． 【详解】解：“创新数”C最大，则千位为9，从而百位为8，十位数字为6，个位数字为7，即“创新数”C最大为9867，则； ∵A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b， ∴A的千位数字为，十位数字为8，B的百位数字为6，十位数字为， ∴，， 则， ∴， ∵为偶数， ∴为整数， ∴当E为整数且取最大值时，必须，且要最大， ∴，即， ∴， ∵“创新数”各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴，不能取6或7或8， ∴， ∵， ∴不能取4或5或6， ∴， 当，则， 此时，，E为整数且取得最大值， ∴． 17．化简：． 【答案】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 18．先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴， 则原式． 19．已知，，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）求出的值，整体代入法进行计算即可； （2）逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； (3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可； （2）由化简解答即可； （3）先将分式化为，根据为正整数，且分式值为整数，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”； （2）解：． （3）解：， ∵为正整数，且分式值为整数， ∴是整数， ∴， ∴． 21．数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【详解】（1）解∶， ∴，； （2）解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； （3）解∶， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)____________，式子的最小值为____________；（用或填空） (2)求分式的最小值； (3)应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？ 【答案】(1)， (2) (3)厘米 【分析】（）根据阅读材料解答即可求解； （）把分式转化为，根据阅读材料解答即可求解； （）根据四边形的面积可得 ，再根据阅读材料解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴式子的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ∴分式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要厘米长． 23．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）先观察已知等式的结构，猜想的结果，再通过计算验证猜想的正确性． （2）通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式． （3）先利用（2）的规律将每个根式化简，再结合裂项相消的规律，对式子进行求和计算． 【详解】（1）解：猜想：． 验证： . （2）解：通过观察等式①②③，可得规律： .（为正整数） （3）解： ． 24．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； (2)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，分式的基本性质 (2)见解析 【分析】（1）根据通分的定义进行解答即可； （2）根据分式混合运算的法则，进行计算得出正确答案即可． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． （2）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2分式的运算 （5知识点+15题型+过关检测） 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 3 【题型3 分式乘除混合运算】 4 【题型4 分式乘方】 4 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 5 【题型6同分母分式加减法】 6 【题型7 最简公分母】 7 【题型8 通分】 7 【题型9 异分母分式加减法】 8 【题型10 整式与分式相加减】 8 【题型11 已知分式恒等式，确定分子或分母】 9 【题型12 分式加减混合运算】 10 【题型13 分式加减的实际应用】 12 【题型14 分式加减乘除混合运算】 12 【题型15 分式化简求值】 13 1. 知识目标：熟练掌握分式的乘、除、乘方运算法则，掌握同分母、异分母分式加减法法则；理解最简公分母、通分的概念，明确分式混合运算的运算顺序。 2. 能力目标：能独立完成分式基础运算、混合运算，熟练进行分式通分、化简；掌握分式化简求值的常规方法，能解决分式恒等式求解、分式运算实际应用等拓展题型。 3. 思维目标：类比分数运算规则推导分式运算规则，培养类比迁移、有序运算、严谨化简的数学思维，规避分式运算中符号错误、运算顺序错误、约分不彻底等常见问题。 03 知识•梳理 知识点1：分式的乘除运算法则 1. 分式乘法：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。公式：（B≠0，D≠0） 2. 分式除法：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。公式：（B≠0，C≠0，D≠0） 核心要点：分式除法统一转化为乘法运算，核心是“变除为乘，除式颠倒”。 知识点2：分式的乘方运算法则 分式的乘方是把分子、分母分别乘方。公式：（B≠0，n为正整数） 核心要点：乘方时符号跟随整体，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；分子、分母整体分别乘方，不可单独乘方单项。 知识点3：分式加减运算法则 1. 同分母分式加减法：分母不变，只把分子相加减。公式：（B≠0） 2. 异分母分式加减法：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则计算。公式：（B≠0，D≠0） 知识点4：最简公分母与通分 1. 最简公分母定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 2. 通分定义：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分，通分的依据是分式的基本性质。 3. 最简公分母求解规则：分母为单项式，取系数最小公倍数+相同字母最高次幂；分母为多项式，先因式分解，再取所有不同因式最高次幂。 知识点5：分式混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 有括号先算括号内的运算； 3. 同级运算从左到右依次进行； 4. 运算全程遵循“先化简、后计算”，结果必须化为最简分式或整式。 04 题型•汇总 【题型1 分式乘法】 解题技巧： 1. 先分解：分子、分母为多项式时，优先因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式）； 2. 再相乘：分子乘分子、分母乘分母，不急于展开； 3. 提前约分：相乘前可交叉约分，简化计算，避免大数运算； 4. 结果化简：最终必须化为最简分式，注意符号统一，首项为正。 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： 【题型2 分式除法】 解题技巧： 1. 统一转化：所有分式除法全部变乘法，除式分子分母彻底颠倒； 2. 0值规避：先观察除式，保证除式不为0，无意义式子直接排除； 3. 因式分解+约分：转化为乘法后，沿用分式乘法步骤，先分解、后约分、再计算； 4. 易错点：仅颠倒除式，被除式保持不变，切勿同时颠倒。 【典例2】．化简． (1)； (2) 【变式1】．化简：． 【变式2】．化简：． 【变式3】．化简下列分式． (1)； (2)． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题技巧： 1. 统一运算：将所有除法全部转化为乘法，整体变为连乘形式； 2. 顺序规则：同级运算从左到右依次转化，不可跳步运算； 3. 整体约分：全部化为乘法后，统一交叉约分，一次性化简； 4. 符号优先：提前判断整体符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 【典例3】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算下列各式： (1) (2) 【题型4 分式乘方】 解题技巧： 1. 整体乘方：分子、分母作为整体分别乘方，不可拆分单项乘方； 2. 符号判断：底数为负，看指数奇偶，奇负偶正； 3. 先化简后乘方：可先对分式约分化简，再进行乘方运算，减少计算量； 4. 指数规则：字母、常数、因式分别遵循幂的运算规则，准确计算次数。 【典例4】．计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 【变式1】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)（n为正整数）． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)． (2)． (3)． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题技巧： 1. 严格遵循顺序：先乘方→再乘除，绝对不能颠倒顺序； 2. 分步计算：先逐一计算所有分式乘方，化为整式或最简分式； 3. 统一乘除：将剩余除法全部转为乘法，整体连乘约分； 4. 双重检查：检查乘方符号、约分完整性，规避符号错误、漏乘方问题。 【典例5】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 【题型6同分母分式加减法】 解题技巧： 1. 分母不变：全程保留原有公分母，不做变动； 2. 分子加减：多项式分子相加减必须加括号，避免符号出错； 3. 合并化简：合并分子同类项，因式分解后约分，化为最简； 4. 易错重点：减法运算时，括号内每一项都要变号，切勿漏变号。 【典例6】．计算的结果是（   ） A．x B． C． D． 【变式1】．计算：______． 【变式2】．计算： (1) (2) 【变式3】．计算： (1) (2) 【题型7 最简公分母】 解题技巧： 1. 单项式分母：系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母全部保留； 2. 多项式分母：先彻底因式分解，再取所有不同因式的最高次幂； 3. 符号处理：互为相反数的因式（a-b与b-a）统一化为同一种因式； 4. 最简原则：无多余因式、无多余次数，保证公分母最小最简。 【典例7】．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．分式与的最简公分母是______． 【变式3】．分式，，的最简公分母是______． 【题型8 通分】 解题技巧： 1. 先定公分母：准确求出所有异分母分式的最简公分母； 2. 匹配变形：观察原分母到公分母的缩放倍数，分子同步乘相同倍数； 3. 逐项通分：多个分式通分，逐个变形，保证分式值不变； 4. 检查核对：通分后所有分母统一为最简公分母，分子变形无遗漏、无错乘。 【典例8】．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算：． 【题型9 异分母分式加减法】 解题技巧： 1. 步骤固定：找最简公分母→通分→同分母加减→化简最简； 2. 通分关键：杜绝直接分子分母分别相加减，必须先统一分母； 3. 分子运算：通分后分子为多项式，加减全程注意括号与符号； 4. 收尾化简：结果必须约分，去除公因式，化为最简分式或整式。 【典例9】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：____． 【变式2】．计算：． 【变式3】．（1）计算： （2）计算：． 【题型10 整式与分式相加减】 解题技巧： 1. 统一形式：将整式看成分母为1的分式，实现全员分式统一； 2. 整体通分：以分式分母为最简公分母，对整式进行通分变形； 3. 合并计算：通分后按照同分母分式加减法计算； 4. 易错规避：整式加减分式时，切勿直接加减分子，必须统一分母。 【典例10】．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式1】．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式2】．已知，则______， ______． 【变式3】．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【题型11 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题技巧： 1. 恒等原理：等式左右分式完全相等，对应分母、分子成比例； 2. 通分对比：对已知一侧分式通分化简，对比等式两边分母结构； 3. 待定系数：根据对应项系数相等，列方程求解未知系数或因式； 4. 验证结果：代入原式验证恒等成立，排除增根、错解。 【典例11】．计算： (1)． (2)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．化简：． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型12 分式加减混合运算】 解题技巧： 1. 运算顺序：从左到右依次计算，有括号先算括号内； 2. 分步通分：多项加减不一次性通分，两两计算、逐步化简，降低难度； 3. 随时约分：每一步计算完成后，可约分先约分，简化后续运算； 4. 符号严控：连续加减运算中，重点关注负号、括号变号，杜绝符号错误。 【典例12】．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式1】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【变式2】．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【变式3】．综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【题型13 分式加减的实际应用】 解题技巧： 1. 审题建模：根据工程、行程、浓度、面积等实际场景，列出分式关系式； 2. 列式规范：找准总量、分量、速率关系，准确列出分式加减算式； 3. 精准运算：按照分式加减规则化简计算，结果化为最简； 4. 实际检验：结果符合实际意义，舍去负数、无意义取值。 【典例13】．化简：． 【变式1】．化简：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．化简：． 【题型14 分式加减乘除混合运算】 解题技巧： 1. 严守顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号内部； 2. 分块运算：将式子划分为乘除块、加减块，先算所有乘除并化简； 3. 再算加减：乘除运算全部完成后，统一通分进行加减运算； 4. 彻底化简：最终结果必须为最简分式，无公因式、无多余括号。 【典例14】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．已知，求代数式的值． 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 【变式3】．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 【题型15 分式化简求值】 解题技巧： 1. 先化后代：必须先完整化简分式，再代入数值，严禁直接代入硬算； 2. 定义域优先：代入前验证取值，保证原式所有分母不为0，排除无效值； 3. 整体代入：若未知数无法单独求解，采用整体代换法简化运算； 4. 规范步骤：化简、验证、代入、计算、最简，步骤完整不跳步。 【典例15】．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式3】．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线（）与直线（）的交点在y轴上，则的值是（   ） A．0 B． C． D． 3．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（    ） A． B． C． D． 5．如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 6．若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（　　） A．如果一个正多边形的边数增加1，内角和与外角和均增加 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．三角形的外角可能小于它的内角 8．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 9．从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 10．有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知，，则用．、表示R是（   ） A． B． C． D． 11．已知实数，满足，则的值为______． 12．对于正数，规定，例如，．则_______ 13．分式，，的最简公分母是____________． 14．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 15．将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 16．若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当E为整数且取最大值时，则________． 17．化简：． 18．先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 19．已知，，求值： (1)； (2)． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； (3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 21．数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 22．【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)____________，式子的最小值为____________；（用或填空） (2)求分式的最小值； (3)应用：小明同学要做一个面积为平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（）的竹条至少要多长？ 23．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试直接写出用含的式子表示的等式（为正整数）； (3)请利用你在（2）中发现的规律，直接写出结果，直接写出的结果． 24．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； (2)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $