期末专项训练01 平面向量12大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末真题专项训练01 平面向量 【考点一】向量概念 【考点七】已知数量积求模 【考点二】向量的加减法 【考点八】已知向量共线（平行）求参数 【考点三】向量的线性运算的几何应用 【考点九】平面向量基本定理的应用 【考点四】平面向量数量积的几何意义 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 【考点五】用定义求向量的数量积 【考点十一】向量与几何最值 【考点六】数量积的运算律 【考点十二】向量在物理中的应用 【考点一】向量概念 1.（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】对于A，正确理解相等向量和相反向量的含义即可判断；对于B，由单位向量方向不确定即得；对于C，根据相反向量的定义易得；对于D，由共线向量的定义即可判断. 【详解】对于A，由只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，因单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确； 对于D，因平面向量是自由向量，故两条共线向量既可以在一条直线上， 也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误. 故真命题的个数是0个. 故选：A 3.（多选）（24-25高一下·安徽淮北·期末）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 4．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 5.（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量满足，则__________. 【答案】1 【分析】根据向量的平方等于该向量的模长的平方以及单位向量的模长是1求解即可. 【详解】依题意，，解得，因此，即. 故答案为：1. 【考点二】向量的加减法 6.（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 7．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，根据向量的线性运算得，进一步得到，求比值运算即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 8.（23-24高一下·河南驻马店·期末）设为所在平面内一点，，为的中点，与交于点，设，则___________． 【答案】 【分析】据已知可得，并进一步得到，最后根据点在直线上得到，解之即可. 【详解】由可知. 由于为的中点，故. 故，所以. 而根据题意，点在直线上，故，从而. 故答案为：. 9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【答案】1 【分析】根据菱形的几何性质，由向量线性运算以及模长的概念，可得答案. 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 【考点三】向量的线性运算的几何应用 10.（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则， 故选：B. 11．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 12.（多选）（24-25高一下·河北唐山·期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 13．（多选）（23-24高一上·辽宁丹东·期末）在中，D在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误; 对于选项B：,故B正确; 对于选项C：, 而，所以， 故C正确; 对于选项D：,故D正确. 故选：BCD. 14.（23-24高一下·江苏南京·期末）若M是内一点，且满足，则与的面积之比为_______． 【答案】/ 【分析】设为的中点，连接，则由题意可得为的中点，从而可求得结果. 【详解】设为的中点，连接，则 ， 因为，所以， 所以为的中点， 所以， 所以, 故答案为： 15．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据向量运算得，进而得，再根据向量模的关系求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以 故答案为： 【考点四】平面向量数量积的几何意义 16.（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意作图，再利用数量积的几何意义求解. 【详解】由题，作图如下： 设为正六边形的中心，则，故 由正六边形的边长为2，可得， 因为P是正六边形内部一点（包含边界）， 显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线， 又因为，所以. 故选：D. 17．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】依题意，， 因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大， 由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影向量的模最大， 此时在向量方向上的投影向量的模为4，所以的最大值为. 故选：C 18．（23-24高一下·辽宁·期末）已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数量积的几何意义得到，再利用求解. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以，，， 又，则， 所以圆的半径为， 故选：C 19.在圆中，已知弦，则的值为_________． 【答案】2 【分析】设圆心，为半径，为弦，可得在上的投影为，再根据，计算求得结果． 【详解】如图，设圆心，为半径，为弦，   故在上的投影为， ， 故答案为：. 20．已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则______. 【答案】 【分析】根据题意结合投影向量的定义列方程求解即可 【详解】因为，在上的投影向量为， 所以，解得， 故答案为： 【考点五】用定义求向量的数量积 21.（24-25高一下·河北雄安·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题可知为直角三角形，然后结合直角三角形和数量积的定义即可得到. 【详解】，为中点，则，， 又，所以，，， 所以. 故选：D. 22．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，，是上的两点，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的概念求值. 【详解】因为， 所以. 故选：B 23.（多选）（24-25高一下·河北·期末）下列关于非零向量的说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．若，则共线 C．若，则的夹角为锐角 D．若的夹角为锐角，则 【答案】BD 【分析】由向量共线的意义、数量积的几何意义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A，当方向相反时，，故选项A错误； 对于选项B，若，则方向相同，即共线，故选项B正确； 对于选项C，若的夹角为锐角或的方向相同，故选项C错误； 对于选项D，若的夹角为锐角，故选项D正确. 故选：BD. 24.（24-25高一下·湖南湘潭·期末）已知边长为4的菱形的一个内角为，则_____． 【答案】或 【分析】由平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】由题可知，或， 若，则， 若，则， 故答案为：或． 25．（24-25高一下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】为定值，所以在方向射影最大时，最大. 【详解】， 最大时，的值最大，即在方向射影最大时，的值最大 所以于同向共线时最大， 在所有于同向共线的位置中，当M位于A、D两点时最大. 此时， . 故答案为：. 【考点六】数量积的运算律 26.（24-25高一下·辽宁·期末）在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 27．（24-25高一下·河北雄安·期末）在中，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用向量数量积的运算律，将已知条件化为，再由即可得. 【详解】由题设，展开并整理得， 由. 故选：C 28.（24-25高一下·河南濮阳·期末）在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 【答案】13 【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式，可得，又在以为圆心，2为半径的圆上，进而求得的最大值，可得结论. 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点，所以， 所以在以为圆心，2为半径的圆上，又， 故，即， 所以的最大值为5，即三点共线，且在两点之间取得最大值， 所以. 故答案为：. 29．（24-25高一下·江西新余·期末）已知四边形是边长为的正方形，若，则的值为______. 【答案】 【分析】用和作基底表示向量和，由平面向量数量积的运算法则计算． 【详解】，， 又，， ， ， ， 故答案为：． 30.（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）∵，，∴； （2）∵， ∴. 【考点七】已知数量积求模 31.（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先计算得到，然后计算即可. 【详解】由题可知：， . 故选：B 32．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 33.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 34．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知，，，则________． 【答案】5 【分析】由题意可求得再结合，从而可求解. 【详解】由已知，，由，可得， 解得，由，所以， 解得. 故答案为：. 35.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. (1)求； (2)若， （i）求； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)4 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由题意可知，再根据向量数量积的定义计算即可； （2）（i）根据圆的性质和向量的垂直关系求解即可； （ii）先求得，再结合圆的性质和行了模的计算公式求解即可． 【详解】（1）解：因为为弦的中点，所以且， 所以 ， 所以； （2）（i）因为，，， 所以，所以. （ii）由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 由， ， 所以 所以． 【考点八】已知向量共线（平行）求参数 36.（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 37.（24-25高一下·河南郑州·期末）已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用共线向量、垂直关系的向量表示求出，南结合向量的模及数量积求解. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，，由，得，解得，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABD 38.（23-24高一下·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 39．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________． 【答案】12 【分析】先求，由A，B，D三点共线，利用共线向量定理得存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有，， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以， 所以． 故答案为：. 40.（24-25高一下·湖北武汉·期末）设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可; （2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）是两个不共线的向量，， ， ， ，解得. （2）， ， . 【考点九】平面向量基本定理的应用 41.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 42．（24-25高一下·甘肃武威·期末）在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量的线性运算及三点共线性质计算求解. 【详解】因为，所以，则. 因为是线段的中点，所以. 因为三点共线，所以， 所以解得. 故选：D. 43.（24-25高一下·陕西汉中·期末）在平行四边形ABCD中，为BC的中点，，则______________. 【答案】1 【分析】应用平行四边形法则及加减法运算化简，结合平面向量基本定理得参数值. 【详解】在平行四边形中，为的中点，， ，又因为， 且因为不共线，所以. 故答案为：1. 44．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知梯形ABCD，点P是梯形内一点，且满足，则三角形面积为________． 【答案】/ 【分析】先确定梯形ABCD的具体形状，再确定的准确位置，即可求面积. 【详解】如图： 在梯形中，因为，所以. 取中点为，中点为， 则，. 由得. 所以为中点. 如图： 因为， 所以，，， 所以. 故答案为： 45.（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）由已知条件，结合向量的线性运算与平面向量基本定理求解. 【详解】（1）由已知，即， 所以； （2）为线段的中点，， 又， ， 又，且不共线，所以， 所以． 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 46.（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 47．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法、数乘向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故选：. 48.（多选）（23-24高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 49.（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知向量，，若，则实数__________. 【答案】 【分析】先根据向量线性运算求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】∵，，∴. 由得， ∴，解得. 故答案为：. 50．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，，若，则_____. 【答案】 【分析】先求出，进而根据，由平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴， ∵，∴,得. 故答案为：. 51.（24-25高一下·河南·期末）已知向量，． (1)若，求x的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加减法和数量积的坐标运算可得结果； （2）由向量的坐标运算可得，再由夹角的坐标公式可得结果. 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）因为， 所以，解得，， 所以， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． 【考点十一】向量与几何最值 52.（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离最小值求解. 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 53.（多选）（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D. 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 54.（23-24高一下·河南周口·期末）已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据向量线性运算，结合数量积的运算律可得，即可利用二次函数的性质求解最值. 【详解】设，其中，则 ，所以当时，取得最大值. 故答案为： 55．（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则__________. 【答案】4 【分析】利用向量的加法可得和向量的模为点到直线上任意点的两点间距离，从而可得最小值为；也可用平方法，利用数量积来计算和向量的模，再结合二次函数求最小值即可. 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 故答案为：. 56.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解， （2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值. 【详解】（1）当时，则为的中点， 由于,所以, 所以    （2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系， 则, 取中点为，连接,则, 设 ， ， 故当时，取最小值， 【考点十二】向量在物理中的应用 57.（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 58．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 59.（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间____________． 【答案】 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短． 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要． 故答案为：. 60.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求： (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出船只沿AB方向的速度为，，利用向量的数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度夹角. 【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2， 所以船只沿AB方向的速度为. 由，，根据勾股定理可得：,所以，即 由，得：， 所以. （2）因为，所以， 即，解得：. 即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练01 平面向量 【考点一】向量概念 【考点七】已知数量积求模 【考点二】向量的加减法 【考点八】已知向量共线（平行）求参数 【考点三】向量的线性运算的几何应用 【考点九】平面向量基本定理的应用 【考点四】平面向量数量积的几何意义 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 【考点五】用定义求向量的数量积 【考点十一】向量与几何最值 【考点六】数量积的运算律 【考点十二】向量在物理中的应用 【考点一】向量概念 1.（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（多选）（24-25高一下·安徽淮北·期末）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 5.（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量满足，则__________. 【考点二】向量的加减法 6.（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 8.（23-24高一下·河南驻马店·期末）设为所在平面内一点，，为的中点，与交于点，设，则___________． 9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则______． 【考点三】向量的线性运算的几何应用 10.（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 12.（多选）（24-25高一下·河北唐山·期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（23-24高一上·辽宁丹东·期末）在中，D在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 14.（23-24高一下·江苏南京·期末）若M是内一点，且满足，则与的面积之比为_______． 15．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则__________． 【考点四】平面向量数量积的几何意义 16.（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 17．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 18．（23-24高一下·辽宁·期末）已知圆是的内切圆，与，，分别切于点，，，，，则圆的半径为（    ） A．1 B． C． D． 19.在圆中，已知弦，则的值为_________． 20．已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则______. 【考点五】用定义求向量的数量积 21.（24-25高一下·河北雄安·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 22．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，，是上的两点，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 23.（多选）（24-25高一下·河北·期末）下列关于非零向量的说法正确的是（    ） A．若共线，则 B．若，则共线 C．若，则的夹角为锐角 D．若的夹角为锐角，则 24.（24-25高一下·湖南湘潭·期末）已知边长为4的菱形的一个内角为，则_____． 25．（24-25高一下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为__________. 【考点六】数量积的运算律 26.（24-25高一下·辽宁·期末）在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 27．（24-25高一下·河北雄安·期末）在中，若，，则（   ） A． B． C． D．2 28.（24-25高一下·河南濮阳·期末）在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 29．（24-25高一下·江西新余·期末）已知四边形是边长为的正方形，若，则的值为______. 30.（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. 【考点七】已知数量积求模 31.（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 32．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 33.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 34．（24-25高一下·云南昆明·期末）已知，，，则________． 35.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，为上的两个动点，为弦的中点，点的坐标为，. (1)求； (2)若， （i）求； （ii）求的取值范围. 【考点八】已知向量共线（平行）求参数 36.（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 37.（24-25高一下·河南郑州·期末）已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则（   ） A． B． C． D． 38.（23-24高一下·广东广州·期中）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 39．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________． 40.（24-25高一下·湖北武汉·期末）设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 【考点九】平面向量基本定理的应用 41.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 42．（24-25高一下·甘肃武威·期末）在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 43.（24-25高一下·陕西汉中·期末）在平行四边形ABCD中，为BC的中点，，则______________. 44．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知梯形ABCD，点P是梯形内一点，且满足，则三角形面积为________． 45.（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在中，，为线段的中点，且，为实数，记． (1)请用和表示； (2)求． 【考点十】平面向量线性运算的坐标表示 46.（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 48.（多选）（23-24高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 49.（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知向量，，若，则实数__________. 50．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，，若，则_____. 51.（24-25高一下·河南·期末）已知向量，． (1)若，求x的值； (2)若，求向量与夹角的余弦值． 【考点十一】向量与几何最值 52.（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 53.（多选）（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 54.（23-24高一下·河南周口·期末）已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________. 55．（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则__________. 56.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 【考点十二】向量在物理中的应用 57.（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 59.（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间____________． 60.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求： (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $