精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高一下学期期中数学试卷

2026南模中学高一下期中数学试卷 数学 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】代入两角差的正切公式计算即可. 【详解】. 2. 在等差数列中，若，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设公差为，依题意得， 即解得，所以， 故答案为：2. 3. 函数的对称轴方程是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数图像性质，使用整体代入法即可求解. 【详解】令，解得， 故答案为：. 4. 函数的严格增区间为________. 【答案】 【解析】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 5. 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】用余弦定理求出边的值，再用面积公式求面积即可． 【详解】解：据题设条件由余弦定理得， 即， 即解得， 故的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题． 6. 音叉是呈“”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音，敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点离开平衡位置的位移与时间的函数关系为，图2是该函数在一个周期内的图象. 根据图中数据可确定的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先结合正弦型函数图像最值位置，利用正弦函数取最值的条件列式，再根据正弦函数最大值对应角度为，代入已知条件构造方程，最后解方程求出即可. 【详解】由图象可知，当时，函数取得最大值， 因为函数在时过原点，且随增大先向上运动， 所以第一次取得最大值时，， 代入，得， 解得. 7. 若实数、、构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则cosα=_____. 【答案】 【解析】 【详解】设，. 由 或1. 若，则（舍去）. 从而，. 8. 已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 9. 有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下“在中，角所对的边分别为，已知，__________. 求角”.经推断破损处的条件为三角形的一边的长度，且答案提示，试将条件补充完整. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，利用和差公式展开得到答案. 【详解】利用正弦定理得到： 即 故答案为： 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 10. 定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为____________ 【答案】2/3 【解析】 【详解】由6cosx＝5tanx,6cos2x＝5sinx,6sin2x＋5sinx－6＝0，得sinx＝．由题意知线段P1P2的长即为垂线P1P2与y＝sinx图象交点的纵坐标，故P1P2的长为． 11. 古语云：“积善之家，必有余庆”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此块玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，.（图1中破碎边缘呈锯齿形状），另一块玉佩碎片如图2所示. 其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，考古队员通过复原该扇形玉佩求得其面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图一，利用余弦定理求出，利用，，三点共线得出半径，再结合图二，利用余弦定理求出圆心角即可计算扇形面积. 【详解】设原扇形的圆心为，半径为，圆心角为. 由图1可知，是原扇形一条半径边界的一部分，所以，，三点共线，且在弧上. 在中，由余弦定理得. 所以. 又因为，，三点共线，所以. 在中，，故，从而. 于是，在直角等腰三角形中，，所以. 再看图2.该碎片是三角形碎片，而扇形的弧边不是线段，所以其中属于原扇形边界的两边只能是两条半径边界的一部分.因而边长分别为，的两边所夹的角，就是原扇形的圆心角. 在该三角形中，由余弦定理得. 即，所以，得. 因为三角形内角满足，所以. 则原扇形即玉佩面积为. 12. 用表示函数在闭区间上的最大值，已知.若，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，求出、，根据可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由的单调性知，它在上递增，在上递减，在上递增. 当时，则，则，， 由可得， 整理可得，因为，则，矛盾； 当时，则，则，， 由可得，无解； 当时，，则， 若，则，此时，函数在上单调递减， 则， 由可得，可得，解得； 若，则， 此时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 由可得，可得， 可得，解得； 若，则，由，可得，矛盾. 综上所述，实数的取值范围是. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 只需要把函数的图象（ ），即可得到函数的图象. A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】要得到函数的图象，需要把函数的图象各点的横坐标缩短到原来的， 再向左平移个单位长度得到. 14. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S=a×，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S． 由余弦定理得cosA＝==<0，即A为钝角． 所以能作出一个钝角三角形． 15. 对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足． A. 有一个内角为 B. 有一个内角为 C. 有一个内角为 D. 有一个内角为 【答案】B 【解析】 【分析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可． 【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B， 所以：+＝π﹣（A+B）＝C， 于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°， 故选B． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题． 16. 在订正数学测验卷时，小张同学回想考试的题目“若实数，且满足，则称，是‘余弦相关’的.”，并做进一步的研究，得到了如下两个结论：①若，是“余弦相关”的，则；②若，是“余弦相关”的，则存在实数，使得与，都是“余弦相关”的，则下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】先设，，把条件化为，结合判断的范围，再设第三个数为，由两组“余弦相关”方程相减求出的唯一候选值，最后构造反例否定②. 【详解】设，， 则，， 由题意得， 若，则或，此时上式左边为0，右边为，矛盾， 所以，从而， ①：若，则，且由，， 得，所以， 但由（1）得矛盾， 若，则，且，所以， 但由（1）仍有矛盾，所以，所以①是真命题； ②：若存在，使得与，都“余弦相关”，则按定义，且，， 同时，， 两式相减得， 化为积得， 注意到且，若，则，即， 此时，而，与“余弦相关”定义矛盾.故， 两边约去，得， 解得或，， 结合与，只可能，，， 当或时，，不可能， 因此唯一可能的是， 下面构造反例：取，， 则，，， 又因为，所以， 于是， ， 故，是“余弦相关”的， 但由（2）知，此时唯一可能的为， 而按定义，“余弦相关”要求两数不相等，时，与不能构成“余弦相关”， 所以不存在满足条件的，所以②是假命题. 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知角的终边经过点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义得，进一步结合诱导公式化简求值即可； （2）由商数关系化成关于的齐次式即可求解. 【小问1详解】 由条件知， ； 【小问2详解】 . 18. 已知是数列的前项和，若是等差数列，且，. （1）求的值； （2）为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2）当或时，取得最小值20. 【解析】 【分析】（1）设出的公差，根据题目条件得到方程组，求出公差，得到，得到答案； （2）在（1）的基础上得到，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 设的公差为， 则，， 又，故，解得， 所以， 故； 【小问2详解】 由题意得， 故， 所以， 因为，所以当或时，取得最小值，最小值为. 19. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设 （1）求灯柱的高（用表示）； （2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到米） 【答案】（1） （2），最小值米 【解析】 【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出； （2）在中利用正弦定理表示出，从而得到的表达式，利用三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 中，，由正弦定理：，得，中，，由正弦定理：，得 【小问2详解】 中，由正弦定理：，得，所以 因为，所以，根据三角函数性质，在上递增,即当时，取得最小值，因而制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值约为米. 20. 已知函数. （1）求的对称中心坐标； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 【答案】（1）对称中心为，其中. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差公式和倍角公式、辅助角公式化简求出解析式，再结合正弦函数的性质可得； （2）代入后化为恒成立，分离参数，设，利用单调递减、单调递增，证明该函数在区间上单调递减，求出最大值即可； （3）令，结合的图象与的交点即可求出. 【小问1详解】 因为 ， 所以， 令，得，故对称中心为，其中. 【小问2详解】 由（1）知，， . 则原不等式化为， 当时，所以对任意的恒成立， 设， 任取，在此区间上单调递减、单调递增， 故，， 从而. 所以在上单调递减，故. 故，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，. 令，当时. 画出的图象如图： 由图可知，其图象与共有个交点， 且，，， 则，，， 故. 21. 已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. （1）求函数与的解析式； （2）求证：存在，使得、、按照某种顺序成等差数列； （3）当时，判断在内的零点个数，并说明理由. 【答案】（1），； （2） 由（1）得，. 设. 则在上连续，且， . 所以存在，使得. 即， 这说明是与的等差中项， 因而，，按此顺序成等差数列. （3）在内的零点个数为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先由周期与对称中心确定，再由图像变换求出； （2）构造，用端点异号说明存在性； （3）把化为关于的二次方程，再按根是否落在内分类计数. 【小问1详解】 由题意，函数的周期为，所以，解得， 对函数，图像的对称中心满足（为整数）， 所以，即，解得， 由于，所以得. 因此. 将的图像横坐标伸长为原来的2倍后，所得函数为. 再向右平移个单位长度，得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 令，则， 令，则，即， 解得，. 因为，所以，且. 由于恒成立，所以. 又，，. 区间的长度为，即恰有1013个完整周期. 对任意，方程在每个长度为的周期内有2个解， 所以在内共有2026个解. 当时，方程在每个周期内有1个解，所以在内共有1013个解. 所以，当时，，函数零点个数为个， 当时，，函数零点个数为个， 当时，，函数零点个数为个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026南模中学高一下期中数学试卷 数学 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 已知，，则______. 2. 在等差数列中，若，且，则_____． 3. 函数的对称轴方程是_____________． 4. 函数的严格增区间为________. 5. 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝_____． 6. 音叉是呈“”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音，敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点离开平衡位置的位移与时间的函数关系为，图2是该函数在一个周期内的图象. 根据图中数据可确定的值为________. 7. 若实数、、构成以2为公比的等比数列，sinα、sinβ、sinγ构成等比数列，则cosα=_____. 8. 已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则_______． 9. 有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下“在中，角所对的边分别为，已知，__________. 求角”.经推断破损处的条件为三角形的一边的长度，且答案提示，试将条件补充完整. 10. 定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为____________ 11. 古语云：“积善之家，必有余庆”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此块玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，.（图1中破碎边缘呈锯齿形状），另一块玉佩碎片如图2所示. 其三边长分别为，，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，考古队员通过复原该扇形玉佩求得其面积为________. 12. 用表示函数在闭区间上的最大值，已知.若，则的取值范围是________. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 只需要把函数的图象（ ），即可得到函数的图象. A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 14. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 15. 对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足． A. 有一个内角为 B. 有一个内角为 C. 有一个内角为 D. 有一个内角为 16. 在订正数学测验卷时，小张同学回想考试的题目“若实数，且满足，则称，是‘余弦相关’的.”，并做进一步的研究，得到了如下两个结论：①若，是“余弦相关”的，则；②若，是“余弦相关”的，则存在实数，使得与，都是“余弦相关”的，则下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知角的终边经过点. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知是数列的前项和，若是等差数列，且，. （1）求的值； （2）为何值时，的值最小？ 19. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设 （1）求灯柱的高（用表示）； （2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到米） 20. 已知函数. （1）求的对称中心坐标； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 21. 已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. （1）求函数与的解析式； （2）求证：存在，使得、、按照某种顺序成等差数列； （3）当时，判断在内的零点个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $