湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一下学期数学周考（7）

襄阳四中2025级高一下学期数学周考（7） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数为虚数单位为纯虚数，则(    ) A. B. C. D. 2.下列说法中，正确的是(    ) A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 3.记的内角，，所对边分别为，，，向量与满足，且，则边上的中线长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 5.如图，直线与的边分别相交于点角所对的边分别为，则(    ) A. B. C. D. 与的大小与取值有关 6.如图，底面半径为，母线长为的圆锥底面圆周上有两点，，为底面直径，上一点满足，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人的最小速度为(    ) A. B. C. D. 8.今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知都是复数，下列选项中正确的是(    ) A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 10.设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为(    ) A. B. C. D. 11.已知的面积为，若，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，则           ． 13.设平面向量，，满足，，则的取值范围是          ． 14.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． 求向量的坐标； 若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16.本小题分 北京年冬奥会中，运动员休息区本着环保舒适温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且． 求氢能源环保电动步道的长； 若___________；求花卉种植区域总面积． 从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 17.本小题分 如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． 设，，，求的范围； 若，求的最小值； 18.本小题分 如图，一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市且与海岸距离为的海上处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． 若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ 快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 19.本小题分 如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． 若，以为边作正三角形点在直线的上方，当四边形面积为时，求； 在中，记的对边分别为，的面积为，满足 求证：； 求的最小值． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：  ， 因为纯虚数，故， 得，其共轭复数， 故： 2.【答案】  【解析】解：选项A：棱台的定义要求用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分才是棱台。若截面不平行于底面，则不是棱台，故A错误。 选项B：棱柱的底面可以是平行四边形如长方体底面为矩形，属于平行四边形，故B错误。 选项C：棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等。例如底面为梯形的直棱柱，侧面矩形的边长可能不同，不全等，故C错误。 选项D：符合棱锥的定义：有一个面为多边形底面，其余各面是有一个公共顶点的三角形侧面，由这些面围成的几何体是棱锥，故D正确。 3.【答案】  【解析】解：由两边平方， 可得，化简得， 因为，， 所以，整理得， 所以是直角三角形，为斜边， 结合，可得边上的中线长等于． 故选：． 由两边平方，推导出，结合向量数量积的坐标运算法则推导出，可知是直角三角形，然后根据直角三角形的性质算出边上的中线长． 本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算法则、直角三角形的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：对于、，直观图为等腰梯形，已知，，， 所以， ， 则原图中，，，，故A、B错误； 对于，四边形的面积为：，即C错误． 对于，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：因为，所以，即． 又因为， ， ， 所以． 即． 所以。 6.【答案】  【解析】 底面半径为，底面圆的周长为，即扇形的弧长，所以圆心角为， 所以展开图如上， ，， 所以最短路径为 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正余弦定理解三角形的应用以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键． 在中由余弦定理求得，进而可得；然后在利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，即可得解． 【解答】 解：由已知得，，，， 可得，那么， 于是在中，， 在中，， 即，解得或舍去， 因此． 故此人在处距处还有， 若此人必须在分钟，即小时内从处到达处，则其最小速度为． 故选B． 8.【答案】  【解析】解：依题意圆形木板的直径为， 设截得的四边形木板为，设，，，，，， 如下图所示， 由，得． 在中，由正弦定理得，解得． 在中，由余弦定理，得， 所以，得，当且仅当时等号成立． 在中，， 由余弦定理可得， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积为． 故选C． 9.【答案】  【解析】解：若，则或，故A正确； 若，，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：设  、  的夹角为  ， 由  ，  为单位向量，满足      ， 所以          ，解得      又    ，    ，且  ，  的夹角为  ， 所以              ，            ，             则              ， ，， 所以，即的取值范围为 故选：． 11.【答案】  【解析】解：由得， 选项A正确． 下证，若，即． 在内，由， 可得． 易知，均为锐角． 结合式和的单调性可得． 即B.同理可得A. C. 这与选项A中得到的等式矛盾，故C不成立． 同理可得也不成立， 由可得，A. 在中，由正弦定理可得． 又 代入式中，得． ，亦即选项B错误． 故选项C错误． 由，，选项D正确． 12.【答案】  【解析】解：复数， 所以， ， 所以， 所以． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：作平行四边形，使，，． 则，． 由题设， 可知点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆． 又因为，， 所以四边形为菱形． 设，则，． 因为，所以等于在上的投影向量模长的倍． 如图，过点向直线作垂线，垂足为． 当为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值． 因此 ， 当时取等号． 同理， ， 当时取等号．所以． 14.【答案】  【解析】解：在锐角三角形 中，． ，，， 化简可得  ．  ， ，且， 则 ， 令，则， 故  ， 当且仅当 ，即时，取等号，此时，， 故的最小值是， 15.【答案】解：由已知条件知， 则由为实数，可得，． 则由为实数，可得，；  ， 的坐标为； ， 又在第四象限，  ， 或． 故实数的取值范围是   16.【答案】解：，， ， ，， 由余弦定理得， ； 若选：，在中，由正弦定理得， ，， 由知，代入上式可得，解得， ， ， ，， 故， 花卉种植区域总面积为． 若选：，在中，由余弦定理得， 解得或舍去， ．， ， ，， 故， 花卉种植区域总面积为．   17.【答案】解：由  ，  ，故  ，  ， 则  ，  ， 由  ，故  ； 如图所示，以  点为坐标原点，  为  轴，建立直角坐标系，    设  ，  ， 则  ，  ，    ， 当且仅当  ，即  时，等号成立， 即  的最小值为     18.【答案】解如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在处相遇． 在中，，，，． 由余弦定理，得 整理，得，解得或，而， 当时，，，，则． 故快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中，最快需要． 如图，设快艇以的速度从处出发，沿方向行驶，后与汽车在处相遇． 在中，，，，其中为边上的高，． 设，则，． 由余弦定理，得， 则 整理得 ． 当，即时，，， 即快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中．  19.【答案】解：设，，在中，，， 由余弦定理：， 即， 又， ， 又，，，， ． 由， ， 又， ，， 又由余弦定理：， ， ， ， ， 又， ， 又， 或， 即或舍去， 即． 不妨设，则，， 由正弦定理知：， ， 又，． ， 又， 原式， 当且仅当，即时取等号，成立， 的最小值为， 此时．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $