湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期数学测试七

襄阳四中2024级高二下学期数学测试七 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数的求导正确的是(    ) A. B. C. D. 2.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 3.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.已知，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，则等于(    ) A. B. C. 或 D. 6.已知抛物线的焦点为，过点作的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 7.如图，湖北省分别与湖南安徽陕西江西四省交界，且湘皖陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(    ) A. B. C. D. 8.定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是(    ) A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 10.下列说法正确的有(    ) A. 将封信投入个邮筒，不同的投法共有种 B. 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法 C. 用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位数 D. 用，，，，，这个数字，可以排成个无重复数字的四位偶数 11.已知椭圆的两个焦点分别为，其中，点在椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，的最小值为，则下列说法正确的是(    ) A. 椭圆的焦距为 B. 过作圆切线的斜率为 C. 若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则           ． 13.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是          ． 14.若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 若函数，当时，函数有极值． 求函数的极大值； 若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 设，数列的前项和为，求的取值范围． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，平面平面． 证明：； 若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，点在双曲线上； 求双曲线的标准方程； 设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； 如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 19.本小题分 已知函数． 讨论的单调性； 当时，存在不相等的、，满足，证明：； 对任意的，恒成立，求的取值范围． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：对于，，故A错误； 对于，，故B错误； 对于，，故C错误； 对于，，故D正确． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：当时，由的图象知函数减函数， 则导函数，排除，； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增， 则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，项符合． 3.【答案】  【解析】解：法一：直接分两类计算： 第一类：选出的人为名工程师和名专家的选法为种； 第二类：选出的人为名工程师和名专家的选法为种， 根据分类加法计数原理得共有种选法． 法二：总共有名候选人，任选人的总选法为组合数种； 不符合“至少有一名工程师”的情况是“全选专家”，从名专家中选人的选法为种． 因此至少有一名工程师的选法为 种． 故选：． 法一：用分类加法计数原理计算可得．法二：按间接法：用总的选法数减去不符合的选法可得． 本题考查计数原理的应用，是中档题． 4.【答案】  【解析】解：令，则， 所以当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 又，所以，即． 5.【答案】  【解析】解：由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选D． 6.【答案】  【解析】解：由题意可得，则， 即，准线方程为，则， 则点到直线的距离为． 7.【答案】  【解析】解：第一步涂陕西有种选择，第二步涂湖北有种选择，第三步涂安徽有种选择，第四步涂江西有种选择，第五步涂湖南有种选择，即共有种涂色方案． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：设，则， 因为，所以， 所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，， ，， 即，即，故． 即不等式的解集是． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数图像的应用以及平均变化率，瞬时变化率的定义和导数的几何意义，属于基础题． 根据题设条件以及函数图像运用平均变化率，瞬时变化率的定义和导数的几何意义对各选项逐一做出判定即可得到正确结论． 【解答】 解：图示为甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系． 所以，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同选项A正确 ，在时刻，甲乙二人在时刻的切线斜率不相等，所以在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相等，故选项B错误 ，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同均为选项C正确 ，在，两个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率分别为，显然不相等所以选项D错误． 故选AC． 10.【答案】  【解析】解：对于，将封信投入个邮筒，不同的投法共有种，故A正确； 对于，将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法，故B错误； 对于，百位数有种情况，十位数有种情况，个位数有种情况， 所以用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位数，故C正确； 对于，当个位数为时，千位数有种情况，百位数有种情况，十位数有种情况， 可以排成个无重复数字的四位偶数， 当个位数不为时，个位数有种可能，千位数有种情况，百位数有种情况，十位数有种情况， 可以排成个无重复数字的四位偶数， 所以用，，，，，这个数字，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误． 11.【答案】  【解析】解：圆的圆心，半径， 显然圆与椭圆相离，而点在椭圆上，点在圆上， 于是， 当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号， 因此，解得，则椭圆的焦距为， 且椭圆的方程为，A正确； 显然过的圆切线的斜率存在， 设此切线方程为， 于是，解得，B正确； 设，有， 且，即， 直线的斜率分别为， 因此，C错误； ， 当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确． 故选ABD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于中档题． 先利用导数求出在点处的切线方程为，设的切点为，由，得，即可得出、，从而得出的值． 【解答】 解：由得，则曲线在处的切线斜率， 则曲线在处的切线方程为，即． 设的切点为． 由，得，解得． 所以， 所以，解得． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用导数由函数的单调性求参和二次函数的最值，属于中档题．  先求出函数的导数，将原问题转化为存在，令，根据二次函数的性质即可求出的取值范围． 【解答】 解：函数，则， 若在区间内存在单调递增区间， 则在有解， 故存在， 令， 当时，，则， 故，即实数的取值范围是． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：因为，则易得， 且 ， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为． 故答案为： 15.【答案】解：函数， ； 由题意得，当时，函数有极值， ， 即， 解得， 故所求函数的解析式为， ， 令，得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 极大值 极小值 因此，当时，有极大值； 由知，当或时，为增函数， 当时，为减函数， 所以函数的图象如图所示：    由图可知当时，与有三个交点， 所以方程有三个零点， 所以实数的取值范围为．  【解析】本题考查了利用导数研究函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的极值与导数中的零点的应用问题，属于中档题． 求出函数的导数，利用时，函数有极值，列出方程组求出、的值即可，再列表即可求出极大值； 利用导数判断函数的单调性，求出的极值，结合函数的图象即可得出有三个零点时的取值范围． 16.【答案】解：由函数的图象经过点，得，解得， 所以，因此， 当时，， 当时，， 因为也满足， 所以数列的通项公式为． 由知， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，且．  17.【答案】解：证明：如图，过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 又平面，平面，， ，平面，， 平面， 又平面， ． 由知， 以点为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，，， ， 由得，，． 又为的重心，， ． 设平面的法向量为， ， 则，， 令，则 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值．  【解析】本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题． 过点作于点，由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； 以点为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案． 18.【答案】解：因为焦点到一条渐近线的距离为，即． 又点在双曲线上，所以，解得． 所以双曲线的方程为． 圆的圆心，半径为． 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，． 所以． 设，因为是双曲线上的动点，所以． 所以． 当时，取得最小值，此时． 所以． 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为． 联立，整理得：． 且． 设，则． 直线的方程为． 令，则，即． 同理可得，． 因为关于原点对称，所以， 即． 整理得． 即． 整理得，即． 所以或． 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意． 若，则直线方程为，恒过定点． 所以为定值，又，在中，为斜边， 所以当为中点时，． 因此存在点，使得为定值．   【解析】根据焦点到渐近线的距离为以及点在双曲线上，列出的方程，求解出，即可写出双曲线的标准方程． 根据切线的性质可得，将问题转化成求的最小值问题，结合两点间距离公式将表示成的函数表达式，求解出最小值即可． 设出坐标以及直线的方程，联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，再写出直线方程，可求得坐标，利用关于原点对称列出方程，找出之间的关系，从而可得直线所过定点，再借助直角三角形判断是否为定值即可． 19.【答案】解：的定义域为，． 当时，，此时在上单调递增． 当时，令，得． 当时，；当时，． 在单调递减，在单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 当时，由可得，在上单调递减，在上单调递增． 不妨设，要证，即证，即证． ，即证． 令， 在上单调递增，，． ，，，证毕． ，． 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值． 令，则． 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，． 令，，在上单调递增， ，，． 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． ，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $