湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期数学测试六

襄阳四中2024级高二下学期数学测试六 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若函数在处的导数为，则     A. B. C. D. 2.已知函数，设，则，，的大小关系是    A. B. C. D. 3.函数的图象大致是    A. B. C. D. 4.以直线为渐近线且过点的双曲线方程为(    ) A. B. C. D. 5.若函数与图象在交点处有公切线，则     A. B. C. D. 6.若函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围为     A. B. C. D. 7.已知函数在上满足，则曲在点处的切线方程是     A. B. C. D. 8.已知函数在区间内存在单调递减区间，实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是(    ) A. 在上单调递减 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 在处的切线斜率为 10.已知圆：，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别是、，下列说法正确的有(    ) A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 四边形面积的最小值为 D. 直线恒过定点 11.将函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列说法中正确的有     A. B. 数列为等差数列 C. D. 恰有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是          ． 13.已知函数，为的导函数，则的值为          ． 14.已知函数，若恒成立，则的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在数列中，，且满足． 求数列的通项公式； 设，求． 16.本小题分 已知函数． 当时，证明：有且只有一个零点； 求函数的极值． 17.本小题分 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥． 证明：平面平面； 当二面角为时，求和平面所成角的正弦值． 18.本小题分 焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点． 若在抛物线上且满足，求直线的斜率； 是轴上一定点 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；     是曲线上另一动点，且满足，若的面积为 ，求线段的长． 19.本小题分 已知函数，， 讨论函数的单调性； 若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 若，函数，若存在，，使得，求证： 参考答案 1.【答案】  本题考查导数的基本概念，属于基础题． 利用导数的定义直接解答即可． 【解答】 解：因为 ． 2.【答案】  【解析】解：由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增， 因为， 所以， 所以． 故选D． 3.【答案】  【解析】解：函数的定义域为， 设，则，故为偶函数， 其图象关于轴对称，则中图象错误； 又当时，， 由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增，故A、C错误， 故选D． 4.【答案】  【解析】解：由双曲线的渐近线为直线， 设该双曲线方程为， 由该双曲线过点，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即． 5.【答案】  本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，属于一般题，其中根据已知分析出且是解答的关键． 曲线与曲线在交点处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率切点处的导函数值均相等，由此构造关于，的方程，解方程可得答案． 【解答】 解：，， ，， 曲线与曲线在交点处有公切线， ，且， 即，， ． 故选A． 6.【答案】  【解析】解：要使函数具有“凹凸趋向性”， 则在定义域上有两个极值点， 即有两个不同的正根， 已知，定义域为， 故方程在上有两个不同解， 即有两个不同正根， 设， ， 令，得，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，， 当时，，； 当时，增长慢于，， 要使有两个不同解，需． 7.【答案】  主要考查导数的几何意义和利用导数研究曲线上某点切线方程． 先利用已知条件求出函数的解析式，在利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程． 【解答】 解：因为将代入方程，解得， 将解析式中的换成可得： 求导可得： 所以曲线在点处的切线方程为 也即 故选A． 8.【答案】  【解析】解：， 由题意得，使得不等式成立， 即时，， 令，， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故满足条件的范围是， 故选． 9.【答案】  【解析】解：由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为，故D正确． 故选CD． 10.【答案】  【解析】解：对于，由圆：， 可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和， 由于， 圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值， 又，所以，故B正确； 对于，因为四边形面积为， 因为，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又， ， 即， 又圆：，即， 两式子相减得直线的方程为：， 即， 令，得， 即直线恒过定点，故D正确．  故选BCD． 11.【答案】  【解析】解：对求导得， 令， 得或． 所以在上，，单调递减， 在，上，，单调递增， 所以的所有极值点从小到大依次为，故A正确； 由上知所以， 所以数列不是等差数列，故B错误； 由上知数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列， 偶数项构成首项为，公差为的等差数列， 所以 ， 根据周期性可知 ，故C正确； 对于，法一当时，， 在上，由上面的单调性分析知在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 根据零点存在定理可知在，上各有一个零点， 所以恰有个零点，故D正确． 法二，即， 在同一平面直角坐标系中分别作出函数，在上的图象， 如图：当时，，，即， 当时，，， 即，所以两个函数图象在上有一个交点， 当时，，，即， 所以两个函数图象在上有一个交点， 由图知恰有个零点，故D正确． 故选ACD． 12.【答案】  【解析】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以， 故的取值范围是． 13.【答案】  【解析】解：因为函数， 所以 ， 所以． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：函数的定义域为，求导得， 则，解得，于是， 又，则，， 不等式， 令，依题意，恒成立， 当时，，函数在上单调递增， 而时，，不恒成立； 当时，恒成立，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此的最大值是，此时，而，故的最大值是． 15.【答案】解：因为，则 所以数列是等差数列，设其公差为． 由，，得  所以数列的通项公式为 由，得所以当时，；当时，． 当时，； 当时，    所以   【解析】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题． 根据数列递推关系式可得，所以是等差数列，运用等差数列通项公式求出通项即可； 根据数列特征，可得当时，；当时，，根据其特点求出前项和． 16.【答案】解：当时，，定义域为， ， 在上单调递增，至多有一个零点． 又，， 则，在上有且只有一个零点． 由题意得，， ， 当时，当时，， 当时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 极大值为， 极小值为； 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，当时，，当时，， 当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为． 17.【答案】解：由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，故． 又因为，，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，由知，， 又，所以即为二面角的平面角，即． 则，，，． ，，， 设平面的法向量， 则，即，取 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18.【答案】解：是抛物线上满足的点，过点作于， 由抛物线的定义可知，， 设，则，解得， 又因为点在抛物线上， 所以，得， 所以直线的斜率为． 由得 ， 设，则 ， 由题意最大，所以对称轴，． 即恒成立的范围是 是的圆心 设 若都位于上，则，舍    若都位于上，则    将式代入式，得：    或  代入得：或  舍    若分别位于与上， 则，得 ，      综上：．   19.【答案】解：，定义域为，， 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 综上，当时，函数单增区间是； 当时，函数单增区间是 ，单减区间是． 解：， 因为，当时，恒成立，所以，当时，恒成立，令，， ， 令， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立． 的上方． 解：，函数，， 因为存在，，使得， 所以，整理得， 所以 所以， 因为， 所以， 因为，，则， 故要证，只需证， 不妨设，令，故只需证 ，只需证， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即 成立， 所以  成立． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $