专题8.2整式乘法（高效培优讲义，3知识&4题型8类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题8.2整式乘法 教学目标 1.理解并掌握单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式的运算法则，能准确口述法则内容。 2.熟练进行三类整式乘法运算，正确处理系数符号、同底数幂运算、漏项、合并同类项等关键环节。 3.能进行整式加、减、乘、乘方的简单混合运算，会化简求值并解决简单实际问题。 4.明确整式乘法的算理，理解运算依据（乘法交换律、结合律、分配律） 教学重难点 教学重点 1. 1.单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 2. 2.单项式与多项式相乘：利用分配律转化为单项式乘法，再相加。 3. 3.多项式与多项式相乘：“逐项相乘、再相加”，不漏项、正确定符号、合并同类项。 4. 4.三类乘法的法则应用与规范运算。 教学难点 1. 1.符号处理：负系数相乘、多项式含负项时符号易出错。 2. 2.多项式乘法漏项：项数较多时易漏乘、重复乘。 3. 3.运算顺序与混合运算：乘方→乘法→加减，正确合并同类项。 4. 4.法则灵活运用：逆用、变形、化简求值中整体代入。 5. 5.理解算理：从分配律、幂运算过渡到多项式乘法的逻辑关联。 知识点01 单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【即学即练】计算： 知识点02 单项式与多项式相乘 1.单项式与多项式的乘法法则  单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc． 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 知识点03 多项式与多项式相乘 1. 多项式与多项式的乘法法则  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 题型01 整式的化简求值 【例1-1】利用整式乘法化简、求值 （24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 【例1-2】利用整式除法化简、求值 （24-25七年级下·安徽宿州·期中）先化简，再求值：，其中． 【例1-3】运用整体思想求代数式的值 已知，，那么的值为 __． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1-2】“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是______； （2）若，则的值是______． 题型02 整式乘法的应用 【例2-1】单项式与单项式相乘的应用 （24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算：________． （2）的值为________． 【例2-2】单项式与多项式相乘的应用 （23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【例2-3】多项式与多项式相乘的应用 （24-25七年级下·安徽宿州·月考）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1）_____（用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则_____． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）用一根细长的铁丝，编成甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，其面积分别为，． (1)求； (2)若将这根铁丝围成一个正方形，其面积为，求． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 题型03 利用整式乘法进行说理 【例3】（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同，面积分别为和，其中纸片甲的两边长分别为和． (1)正方形纸片乙的边长用代数式可以表示为______； (2)分别用代数式表示两个纸片的面积：______，______； (3)小方同学发现甲、乙两纸片的面积差与的取值无关，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某数学兴趣小组开展研究：如果有两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律．观察下列算式，回答相关问题： 算式①：． 算式②：． 算式③：． 算式④：． …… (1)探索以上算式规律，请写出________________． (2)若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数分别为b和c，且． ①上述规律可用等式表示为________； ②试说明①中等式的正确性． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 题型04 多项式乘法中的规律性问题 【例4-1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例4-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）下列整式的运算，正确的有多少个（    ） ①        ② ③    ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级下·安徽六安·月考）若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若多项式的展开式中不含关于的一次项，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 10．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 11．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则______． 13．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如果可分解为，则________． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）多项式，，若的展开式中不含项，则________． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该长方形农场长30米，宽20米，要求在农场内修筑同样宽的三条道路(图中阴影部分)，余下部分作为试验田，若设道路的宽为x米，则试验田的面积用代数式表示为____________米．(按x的降幂排列) 16．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，若的值与的取值无关，则的值为______． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 18.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 19.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 20．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，．    （1）比较．与的大小：________．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2整式乘法 教学目标 1.理解并掌握单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式的运算法则，能准确口述法则内容。 2.熟练进行三类整式乘法运算，正确处理系数符号、同底数幂运算、漏项、合并同类项等关键环节。 3.能进行整式加、减、乘、乘方的简单混合运算，会化简求值并解决简单实际问题。 4.明确整式乘法的算理，理解运算依据（乘法交换律、结合律、分配律） 教学重难点 教学重点 1. 1.单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 2. 2.单项式与多项式相乘：利用分配律转化为单项式乘法，再相加。 3. 3.多项式与多项式相乘：“逐项相乘、再相加”，不漏项、正确定符号、合并同类项。 4. 4.三类乘法的法则应用与规范运算。 教学难点 1. 1.符号处理：负系数相乘、多项式含负项时符号易出错。 2. 2.多项式乘法漏项：项数较多时易漏乘、重复乘。 3. 3.运算顺序与混合运算：乘方→乘法→加减，正确合并同类项。 4. 4.法则灵活运用：逆用、变形、化简求值中整体代入。 5. 5.理解算理：从分配律、幂运算过渡到多项式乘法的逻辑关联。 知识点01 单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【即学即练】计算： 【答案】 【详解】解： ． 知识点02 单项式与多项式相乘 1.单项式与多项式的乘法法则  单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc． 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 知识点03 多项式与多项式相乘 1. 多项式与多项式的乘法法则  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型01 整式的化简求值 【例1-1】利用整式乘法化简、求值 （24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 【详解】解：原式 当时，原式． 【例1-2】利用整式除法化简、求值 （24-25七年级下·安徽宿州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式， 当时，原式． 【例1-3】运用整体思想求代数式的值 已知，，那么的值为 __． 【答案】9 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式 【变式1-2】“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是______； （2）若，则的值是______． 【答案】 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 题型02 整式乘法的应用 【例2-1】单项式与单项式相乘的应用 （24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算：________． （2）的值为________． 【答案】 3 7 【详解】解：（1）根据定义，即， ∵， ∴， 解得：， 因此，． 故答案为：3； （2） ， 根据定义，，即，解得：． 故答案为：7． 【例2-2】单项式与多项式相乘的应用 （23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【详解】（1）解：∵①②③三个长方形区域的面积相等， ∴， ∴，， ∴米， ∴米； （2）解：长方形的面积为： 平方米． 【例2-3】多项式与多项式相乘的应用 （24-25七年级下·安徽宿州·月考）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【详解】（1）解：绿化部分的面积 平方米， 答：绿化部分的面积为平方米． （2）解：当，时，原式平方米， 答：绿化部分的面积为平方米． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1）_____（用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则_____． 【答案】 32 （1）由即可求解； （2）利用即可求解． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：32． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）用一根细长的铁丝，编成甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，其面积分别为，． (1)求； (2)若将这根铁丝围成一个正方形，其面积为，求． 【详解】（1）解：由题意得，， 则 ； （2）由题意可得甲的周长为， 乙的周长为， 则铁丝的长度为， 那么编成的正方形的边长为， 则， ． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 【详解】（1）解：由题意得 （平方米）； （2）解：当，时， （平方米）． 题型03 利用整式乘法进行说理 【例3】（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同，面积分别为和，其中纸片甲的两边长分别为和． (1)正方形纸片乙的边长用代数式可以表示为______； (2)分别用代数式表示两个纸片的面积：______，______； (3)小方同学发现甲、乙两纸片的面积差与的取值无关，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【详解】（1）解：∵长方形纸片甲的两边长分别为和， ∴长方形纸片甲的周长为 ∵长方形纸片甲和正方形纸片乙的周长相同， ∴正方形纸片乙的周长为 ∴正方形纸片乙的边长为 故答案为：． （2）解：∵长方形纸片甲的两边长分别为和， ∴， ∵正方形纸片乙的边长为， ∴， 故，． （3）解：小方同学的发现正确． 理由如下： ∵，， ∴，与的取值无关， ∴甲、乙两纸片的面积差与的取值无关， 答：小方同学的发现正确． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：． 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； (1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________． (2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请 【详解】（1）解：由题意可得第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为：； （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：， 证明： 右边． ∴等式成立． 故答案为：，， 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）某数学兴趣小组开展研究：如果有两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律．观察下列算式，回答相关问题： 算式①：． 算式②：． 算式③：． 算式④：． …… (1)探索以上算式规律，请写出________________． (2)若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数分别为b和c，且． ①上述规律可用等式表示为________； ②试说明①中等式的正确性． 【详解】（1）解：． 故答案为：；3021． （2）解：①根据题意可得 ， 故答案为：． ②∵， 所以等式左边 右边， 所以等式成立． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； （2）解：； ， 长方形落在边上的长为； ∴长方形的周长为； （3）解：，理由如下： 依题意， ，则 ， 即． 题型04 多项式乘法中的规律性问题 【例4-1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为， 故选：D． 【例4-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)直接写出：________；________． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：________，________； ②求的值． 【详解】（1）解：∵， 将用替代可得 由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴， 故答案为：，； （2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴系数为， ∴中系数， 故答案为：1，6； ②当时，， 即． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． 1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）下列整式的运算，正确的有多少个（    ） ①        ② ③    ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； ④，符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·安徽六安·月考）若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 与右边 对比，系数相等可得： ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴D选项结论不正确，符合题意； 故选：D. 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【答案】B 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为， ∴，． 因此，和的值分别为1和， 故选：B． 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若多项式的展开式中不含关于的一次项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 的展开式中不含有x的一次项， ， 解得， 故选：B． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“”的地方被墨水弄污了，则“”内应填写的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故“”内应填写的式子是， 故选：A． 8．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：， ，， 又，，是整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故可能的值为个， 故选：C． 9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 10．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【答案】D 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D． 11．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若，则______． 【答案】 【详解】解：， 又， ，， ， 故答案为：8． 13．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如果可分解为，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）多项式，，若的展开式中不含项，则________． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该长方形农场长30米，宽20米，要求在农场内修筑同样宽的三条道路(图中阴影部分)，余下部分作为试验田，若设道路的宽为x米，则试验田的面积用代数式表示为____________米．(按x的降幂排列) 【答案】 【详解】解：设道路的宽为x米， ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，若的值与的取值无关，则的值为______． 【答案】0 【详解】解：，，， ， 的值与的取值无关， ， 故答案为：0． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 18.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【详解】解： ， 当，时，原式． 19.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 20．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，．    （1）比较．与的大小：________．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为________． 【详解】解：（1）因为，，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：<； （2）由（1），得． 因为的整数n有且只有3个， 所以这3个整数解为2024，2023，2022， 所以， 解得． 因为m为整数， 所以． 故答案为：2023． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $