精品解析：河南信阳市潢川县2025—2026学年度下学期期中教学质量监测 八年级数学

2025—2026学年度下学期期中教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式即可求解． 【详解】解：根据题意可列不等式组为， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于或等于0，分母不得0． 3. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 周长的最小值为6 D. 四边形面积的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示， 延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示， 设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时， 此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接， ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形， 在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于 ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 4. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ） A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两个角互余的三角形是等腰三角形 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 5. 李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 6. 已知，，，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意得，把溱成两个数的差的平方形式即可求解；灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 则 ， 故选：D． 7. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 点B与点E是对应点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程无解可求出，方程去分母后将代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程无解， ∴， 去分母，得， 将代入，得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 9. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、根据不等式组的解集情况确定参数等知识点，正确确定a的取值范围成为解题的关键． 先分别求得两个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数a的范围即可． 【详解】解： 解不等式可得：； 解不等式可得：． 所以不等式组的解集为． ∵该解集恰好有3个整数解， ∴，即． 故选D． 10. 如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，设平移后为，分别过点作轴的垂线段，在中，由勾股定理得，由已知平移知：，在中，由勾股定理得，从而得到，证明，得到：，从而得到，再根据平移的规律可得，得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设平移后为，分别过点作轴的垂线段，如图： 则，，，， 在中，由勾股定理，得 ∵将沿射线方向平移，平移的距离为的长， ， 在中，由勾股定理，得 ， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点向左平移个单位长度、再向上平移3个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度得到点， ∴，即平移后点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 在正比例函数中，的值随着的值增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式_________． 【答案】 【解析】 【分析】因为在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，所以k＜0，于是得到结论． 【详解】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小， ∴k＜0， ∴函数表达式为y＝−2x． 故答案为：y＝−2x（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 13. 某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 14. 如图，直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P．若OP=，则k的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】已知直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P，设点P的坐标为(m,m+2)，根据OP=，列出关于m的等式，即可求出m，得出点P坐标，且点P在反比例函数图象上，所以点P满足反比例函数解析式，即可求出k值． 【详解】∵直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P ∴设点P的坐标为(m,m+2) ∵OP= ∴ 解得m1=1，m2=-3 ∵点P在第一象限 ∴m=1 ∴点P的坐标为(1,3) ∵点P在反比例函数y=图象上 ∴ 解得k=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，根据直角坐标系中点坐标的性质，可利用勾股定理求解． 15. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为6的菱形，， ，是等边三角形， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算． （1）直接利用二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. （1）已知与互为相反数，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，算术平方根的非负性，因式分解，代数式求值等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据相反数的定义得到，然后根据算术平方根和平方式的非负性求出，即可代入求值； （2）先计算，再对因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：（1）与互为相反数， ， ． ， ． ； （2），， ，， ． 18. 已知点A，B，C，D的坐标分别为． （1）请你在平面直角坐标系中分别描出点A，B，C，D，并顺次连接． （2）在（1）的作图下，求四边形的面积． 【答案】（1） 画图如下： ． （2）16 【解析】 【分析】（1）根据点坐标描点确定位置，连接解答即可． （2）利用分割法求面积解答即可． 本题考查了坐标与位置，图形的面积，熟练掌握坐标与位置，分割法求面积是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据点A，B，C，D的坐标分别为； 【小问2详解】 解：根据题意，得． 19. 王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ （1）上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） （2）从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； （3）请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 【答案】（1）① （2）否；错用去括号法则 （3） 原式 ； ， 原式． 原式的值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误； （2）去括号时，出现错误； （3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可． 【小问1详解】 解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，丹丹同学第①步先算的减法， ∴从第①步开始出现错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，丹丹同学括号里的第二项没有变号，出现错误， ∴从①到②不正确，错用去括号法则； 故答案为：否，错用去括号法则； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，的平分线交于，． （1）求、的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得对角相等，，得同旁内角互补，即可求出、的度数； （2）根据平行四边形的性质，得，内错角相等，等量代换，再根据等角对等边，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵的平分线交于， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵的平分线交于 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的知识、平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质． 21. 某中学为弘扬中国传统文化，深度开展“读名著，诵经典”活动，计划采购A，B两类图书．通过市场调研，每套A种图书的价格是每套B种图书价格的1.5倍，用2400元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多5套． （1）A，B两种图书每套价格分别为多少元？ （2）现学校计划采购A，B两类图书共90套，且A种图书数量不低于B种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）A种图书每套120元，B种图书每套800元 （2）学校购买A种图书30套，则购买B种图书60套时，总费用最低，最低费用为8400元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式． （1）设B种图书每套x元，则A种图书每套元，根据用2400元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多5套列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设学校购买A种图书a套，则购买B种图书套，购买图书的总费用为y元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于B种图书数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：A种图书每套120元，B种图书每套800元； 【小问2详解】 解：设学校购买A种图书a套，购买B种图书套，购买图书的总费用y元， 由题意得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半， ∴， 解得， ∴当时，y最小，最小值为8400， 此时（套）， 答：学校购买A种图书30套，则购买B种图书60套时，总费用最低，最低费用为8400元． 22. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发． （1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边的四边形是平行四边形？ （2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边的四边形是矩形？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（2）根据，构建方程求解即可； （3）根据，构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为， 由题意得：，， ∵，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． ∴运动时，四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：设运动时间为， 由题意得：，， ∵，， ∴， 当时，四边形是矩形， ∴ 解得， ∴运动时，四边形是矩形． 23. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 【答案】 （1）①证明：如图1中， 在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°， ∴∠DCB＝∠ECF＝90° ∴∠DCE＝∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE＝PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE＝CF， ∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE＝PF． （2）3． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，再证明∠DCE＝∠BCF即可解决问题． （2）证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM＝FM，CE＝CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH＝∠A＝90°， ∴EH∥AF，DE＝EH＝2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF＝2， ∴EH＝BF， ∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM＝FM， ∵CE＝CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2＝42+（6﹣x）2， ∴x＝3， ∴PB＝3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 周长的最小值为6 D. 四边形面积的最小值为 4. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ） A. 在同一个三角形中，等边对等角 B. 两个角互余的三角形是等腰三角形 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D. 如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 5. 李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 6. 已知，，，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 点B与点E是对应点 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式_________________． 12. 在正比例函数中，的值随着的值增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式_________． 13. 某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是________． 14. 如图，直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P．若OP=，则k的值为________． 15. 如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为___________． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. （1）已知与互为相反数，求的值． （2）已知，求的值． 18. 已知点A，B，C，D的坐标分别为． （1）请你在平面直角坐标系中分别描出点A，B，C，D，并顺次连接． （2）在（1）的作图下，求四边形的面积． 19. 王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ （1）上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） （2）从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； （3）请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 20. 如图，在中，的平分线交于，． （1）求、的度数； （2）若，，求的长． 21. 某中学为弘扬中国传统文化，深度开展“读名著，诵经典”活动，计划采购A，B两类图书．通过市场调研，每套A种图书的价格是每套B种图书价格的1.5倍，用2400元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多5套． （1）A，B两种图书每套价格分别为多少元？ （2）现学校计划采购A，B两类图书共90套，且A种图书数量不低于B种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低？并求出最低费用． 22. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．点P与点Q同时出发． （1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边的四边形是平行四边形？ （2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边的四边形是矩形？ 23. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $