精品解析：河南省信阳市潢川县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度下期期中质量监测试卷 八年级数学 一、选择题（本题共10 小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 2. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的概念，勾股定理的概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，据此判断即可． 【详解】中，不确定谁是直角边和斜边， 所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误； 在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误， ∴两人都错， 故选：C． 3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练地掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 4. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. -或 【答案】A 【解析】 【分析】将“”、“”、“”、“”代入计算，即可求解． 【详解】解：，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， ，是有理数，符合题意； ，是无理数，不符合题意， 故“□”中的运算符号可能是：或， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 5. 如图，菱形中，为边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求线段，涉及菱形性质、勾股定理及菱形面积求法，先由菱形性质及勾股定理得到菱形边长，再由等面积法得到，代值求解即可得到答案．熟练掌握菱形性质、勾股定理及菱形面积公式求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则，，且， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 则，解得， 故选：B． 6. 探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（ ） A. 从特殊到一般思想 B. 从一般到特殊思想 C. 方程思想 D. 归纳思想 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了探究勾股定理的思路，掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质． ∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般． 故选：A． 7. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 8. 如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（　　） A. 12 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10÷2﹣4=1，虚线②为斜边，据勾股定理可得虚线②为，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到，展开后的等腰三角形的底边为2，故得到等腰三角形的周长． 【详解】根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10， ∴等腰三角形的腰为； ∴等腰三角形的周长为：． 故选D． 9. 如图所示，点是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，．则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正方形性质得到相关边及角的关系，再由两个三角形全等的判定得到，然后利用勾股定理求出，进而数形结合得到即可确定答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ， 正方形的边长为3，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ，即点表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数，涉及正方形性质、直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 10. 如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（　　） A. 6 B. 6π C. 10π D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案． 【详解】在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB= ==5， 所以阴影部分的面积S=×π×（）2+×π×（）2+×3×4-×π×（）2=6， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由n为正整数，也是正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：n为正整数，也是正整数， 则3n是一个完全平方数， 所以n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数． 12. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点，当添加一个条件______ 时，四边形是平行四边形（填上你认为正确的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的周长为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的画法，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据作图得平分，根据平行四边形的性质得出线段之间的关系，即可求得三角形的周长． 【详解】解：由作图得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长为 故答案为：． 14. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，点E为边的中点，点P在边上运动，F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长为________． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，再分两种情况：当时，连接；当时，如图，连接、；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形 ∴当时，连接，如图： ， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，连接、， ， ∵F为的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； 综上所述，的长为或4， 故答案为：或4． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）已知求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，计算乘法及零次幂，然后计算加减法即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出，然后代入求解计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 根据题意得：， ∴， ∴． 17. 如图，在中，E，F分别是的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 解：四边形为平行四边形． 理由：四边形为平行四边形， ，， ，F分别是的中点， ，，， ， 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，先根据平行四边形的性质得到一组对边直线平行且相等，再根据一组对边平行且相等得到该四边形为平行四边形． 【详解】略 18. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作，使，，． （2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使． 【答案】（1）如图1所示：即为所求作； （2）如图2，点G即为所求， 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理与网格，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意，利用网格作三角形即可； （2）利用网格作出等腰直角三角形即可 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 19. 课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 【答案】 （1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴； （2）13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式； （1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积. 20. 阅读与思考： 先阅读下列材料的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数，，使得，，，， 那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于，， ，． 仿照上例，计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题属于阅读理解类型题，考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，理解化简的方法是解本题的关键； （1）根据阅读部分的提示进行化简即可； （2）根据阅读部分的提示逐一进行化简，再合并即可． 【小问1详解】 解：这里，．由于，． ，， ； 【小问2详解】 ． 21. 如图①是一款婴儿推车，图②是其调整后的侧面示意图．已知，支架，，，且点D是的中点，求两轮圆心A，B之间的距离． 【答案】两轮圆心A，B之间的距离为10 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的特点，勾股定理的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据线段中点的特点得到，利用勾股定理求出，进而求出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得． 答：两轮圆心A，B之间的距离为10． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 23. 已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接 （1）如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系； （2）如图2，点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）若点P在直线上，，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2） 解：如图，点P在线段上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 过P点作于G，于H， 又， ∴四边形是矩形， ∵正方形中，平分， ， ， ， 又， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∵F是中点， ， ∵Rt中，F是中点， ， ， ； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，因此可得； （2）过点作于，于，先根据AAS证明，则可得，再根据ASA证明，则可得是等腰直角三角形，因此可得，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，因此． （3）分两种情况，分点在线段上和P点在的延长线上．作于点，先求出的长，则可知的长，再求出的长，则可求出的长，再根据求出的长即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ， P是线段的中点， ， ∵F是中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，P点在线段上时，作于Q， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， ； ②如图，若P点的延长线， 过P点作于G，于H， 又， ∴四边形是矩形， ∵正方形中，平分， ， ， ， 又， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∵F是中点， ， ∵Rt中，F是中点， ， ， ， 延长，作于Q点， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的画出图形，并且正确的作出辅助线是解题的关键．注意分类讨论，不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期期中质量监测试卷 八年级数学 一、选择题（本题共10 小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. 5 C. D. 2. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. -或 5. 如图，菱形中，为边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（ ） A. 从特殊到一般思想 B. 从一般到特殊思想 C. 方程思想 D. 归纳思想 7. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 8. 如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（　　） A. 12 B. 18 C. D. 9. 如图所示，点是数轴上四个点，与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，．则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（　　） A. 6 B. 6π C. 10π D. 12 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 12. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点，当添加一个条件______ 时，四边形是平行四边形（填上你认为正确的一个答案即可） 13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的周长为________． 14. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 15. 如图，矩形中，，，点E为边的中点，点P在边上运动，F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）已知求的值． 17. 如图，在中，E，F分别是的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 18. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作，使，，． （2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使． 19. 课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积． 20. 阅读与思考： 先阅读下列材料的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数，，使得，，，， 那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于，， ，． 仿照上例，计算： （1）； （2）． 21. 如图①是一款婴儿推车，图②是其调整后的侧面示意图．已知，支架，，，且点D是的中点，求两轮圆心A，B之间的距离． 22. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 23. 已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接 （1）如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系； （2）如图2，点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）若点P在直线上，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $