北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科

北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期 期中考试 高一年级数学学科 1.本试卷共6页,分为两部分:第一部分为选择题,共60分:第二部分为非选择 题,共90分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效第一部分必须用2B 铅笔作答,第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分(选择题共60分】 一、选择题共12小题,每小题5分,共60分在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1.cos12 cos42+sin12sin42的值为 A.-3 D. 2 2.已知向量A瓜=(1,2),AC=(3,5),则BC的坐标为 A.(4,7) B.(-4-7) C.(2,3) D.(-2,-3) 3.在复平面内,复数兰 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知向量a,b不共线,c=3a-tb,d=-2a+6b,若c与d同向,则实数t的值为 3 B.-1 C.-3或3 D.-3 5.若向量a,b满足(a-2b)b=2,且Ib=2,则a在b上的投影向量的模为 A.2 B.4 c.5 D.8 6.若复数z满足z(1-)1-i,则z= A.1+i B.-1+i c.1-i D.-1-i 1 7.在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=() A恋+而 B.3B+而 3, C.14B+3AD D. B+A而 4 4 4 2 4 4 2 8.已知圆锥的母线长为5,侧面展开图扇形的弧长为6元,则该圆锥的体积为 A.12 B.15 C.36 D.45 9在 ABC中,a=3,6=4,cosB=写则∠A= A号 B (严或 D.或3r 4 6 6 4 10.已知a,b是非零向量,则“aLb”是“对于任意元∈R,都有a+1b=k-b成立”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 I山.如图,么B是两个形状相同的杯子,且B杯高度是A杯高度的 4 则 B杯容积与A杯容积之比最接近的是 A.2:5 B.1:3 C.3:5 D.3:4 12.定义域为[a,b)]的函数y=fx)的图象的两个端点分别为4(a,f(a》,B6,b》.点M(xy)是 y=f(x)的图象上的任意一点,其中x=a+1-2)b0≤≤1),点N满足向量 ON=1OA+I-)OB,点0为坐标原点.若不等式瓜长k恒成立,则称函数y=f(x)在[a,] 上为k函数.已知函数∫(x)=-x2+2x在[0,1】上为k函数,则实数k的取值范围是 A.(0,+oo) B.号o c.+o) D.[l,+o) 第二部分(非选择题共90分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分 13.已知复数z满足z+1-i=0,则川z=z= 14.若非零向量a与b满足14=(=a-,则4与b角的大小为 15,已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,分别以两条直角边和斜边所在直线为轴,其余 各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,则这三个几何体中,体积的最大值是一 表面积 的最小值是一 16在 BC中,A=营a-子,若 Mc存在且唯,则bbe3的-个取值为 17.如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点 (与B、C不重合),连结AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分 线于F.设BE=x,记∫(x)=EC.C丽,则函数f(x)的值域 是 一:当 ECF面积最大时,E羽= 三、解答题 18.(12分)已知向量a=(1,2),b=(x,4),c=(4,-x),且a⊥c. (1)证明:向量a∥b:(4分) (2)求a与c-b夹角大小;(4分) (3)求a-t(b+c(eR)的最小值.(4分) 19.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=3, CD=5,A=号LAD8=号 (1)求BD的长:(6分) (2)求ABCD的面积.(6分) 20.((1B分)在 ABC中,若coae8=66sinC,A=君 (1)求B:(6分) (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使 ABC存在且唯一确 定,求 ABC的面积.(7分) 条件①b=a: 条件② ABC的周长为2+√:条件③BC边的中线的长度为√万, 21.(14分)已知函数f(x)=2N3 sinxcosx-+2cos2x+m的最小值为-2. ()求m的值;(4分) 2)求f(x)的单调递增区间:(4分) (3)若锐角 ABC满足(4)=1,求-C的取值范围.(6分) 22.(14分)已知n维向量a=(4,a2,…,a,),给定k∈{L,2,,n-1},定义变换:选取 i∈{0,1,.n-1},再选取一个实数x,对a的坐标进行如下改变: 若此时i+k≤n,则将a1,442,“,44k同时加上x,其余坐标不变: 若此时i+k>n,则将441442,,an及a,42,…,a4k-n同时加上x,其余坐标不变。 若向量 经过有限次变换(每次变换所取的,x的值可能不同)后,最终得到的向量 传,2,…,)满足马=2=…=t,则称a为k阶可等向量。 例如,向量(1,3,2)经过两次变换%2可得: 0,3,2)2,2,33)包=-12,22),所以1,32)是2阶可等向量. (I)判断(1,2,3)是否是2阶可等向量?说明理由:(3分) ( )若取1,2,3,4的一个排序得到的向量(4,42,马,a4)是2阶可等向量,求a+4;(5分) (I)若任取a,a2,,an的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量,则称(a,42,,a,) 为k阶强可等向量,求证:向量(1,2,3,4,5,6,7)是5阶强可等向量、(6分)