专题22：长方体和正方体（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第七章：立体图形 专题22：长方体和正方体 （7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 考点02：长方体、正方体的展开图 考点03：长方体的表面积 考点04：正方体的表面积 考点05：长方体的体积 考点06：正方体的体积 考点07：长方体、正方体的容积 知识点01：长方体 1.长方体的认识 （1）面：长方体有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。 （2）棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，相对的棱长度相等。 （3）顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。 2.长方体表面积 （1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。 3.长方体的体积 （1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）长方体体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面）。 （2）占地面积：只求底面积（长×宽），不是表面积。 （3）切割长方体：每切一刀增加2个面，拼接则减少2个面。 知识点02：正方体 1.正方体的认识 正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面完全相同，12 条棱的长度都相等。 2.正方体的表面积 （1）正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。 3.长方体和正方体的体积 （1）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。 （2）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖正方体：表面积= 5a2。 （2）正方体涂色问题： 3面涂色：8个顶点； 2面涂色：棱中间部分； 1面涂色：面中间部分； 0面涂色：内部。 （3）切割小正方体：大正方体体积÷小正方体体积=个数 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 【典型例题】木工技艺传承人李叔叔现场制作了一个方凳，方法是先制作一个木框架（如图），然后在上面固定一块木块。请你帮他算一算，一个木框架要用多长的木条？（接口处忽略不计） 【变式训练1】王老师用一根48厘米长的铁丝做一个高6厘米的长方体模型，能做成（     ）种不同的长方体。（长、宽均为整厘米数） A．2 B．3 C．4 【变式训练2】杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 考点02：长方体、正方体的展开图 【典型例题】“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（     ）。 A．义 B．礼 C．智 D．信 【变式训练】如图，一个底面是正方形的长方体，侧面展开后是一个正方形。这个长方体的侧面积是（ ）平方分米。 考点03：长方体的表面积 【典型例题】在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【变式训练1】《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少（ ）平方厘米。 【变式训练2】两个完全一样的长方体拼成一个更大的长方体，原长方体的长6分米，宽4分米，高3分米，则拼成的长方体的表面积最大是（ ）平方分米。 考点04：正方体的表面积 【典型例题】“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 【变式训练1】一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是（     ）平方厘米。 A．27 B．54 C．36 D．64 【变式训练2】一个横截面是正方形的长方体，其表面积是250平方厘米，它刚好分成两个同样大小的正方体，这两个正方体的表面积都是（ ）平方厘米。 考点05：长方体的体积 【典型例题】一根2米长的长方体木料，沿长把它锯成3段，表面积增加了12平方分米，这根木料原来的体积是（     ）立方分米。 A．6 B．40 C．60 D．80 【变式训练1】一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（     ）盒香皂。 A．336 B．352 C．368 D．384 【变式训练2】把一个底面直径是4dm，高10dm的圆柱体容器装满水，倒入一个长8dm，宽5dm，高4dm的长方体容器中，水面高（ ）dm。 考点06：正方体的体积 【典型例题】泥塑艺术是我国的民间艺术。聪聪在泥塑课上，把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长8厘米、宽2厘米的长方体。捏成的长方体的高是多少厘米？ 【变式训练1】一个长方体木块长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。如果用它锯成一个最大的正方体，那么体积要比原来减少百分之几？ 【变式训练2】一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 考点07：长方体、正方体的容积 【典型例题】一个长方体水箱，从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，装满水后倒入一个棱长为6分米的正方体水箱中，水深是（ ）分米。 【变式训练1】木桶理论又称“短板理论”，是一个经典的管理学理论。盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由组成木板最短的那块木板决定的。一个底面是正方形的长方体，木桶底面边长为1.7dm。它最长的一块木板的长度为2.1dm，最短的一块木板的长度为1.7dm，（木板厚度忽略不计），这个木桶最多能盛水（ ）立方分米。 【变式训练2】计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 一、选择题 1．如图5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？（     ） A．①号2张，③号4张 B．①号2张，⑤号4张 C．①号2张，②号2张，③号2张 D．①号2张，③号2张，④号2张 2．下面的四个展开图经过折叠，能围成如图所示正方体的是（     ）。 A． B． C． D． 3．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（     ）厘米。 A．48 B．64 C．96 D．32 4．一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（     ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 5．一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大（     ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 6．一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，高是4厘米，它的体积是（     ）立方厘米。 A．125 B．100 C．75 D．50 7．用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少（     ）平方厘米。 A．4 B．6 C．12 D．1 8．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（     ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 9．如图是两个无盖长方体包装盒展开图，底面都是正方形。比较它们的容积，结果是（     ）。 A．甲的容积大 B．乙的容积大 C．容积相等 D．无法比较 二、填空题 10．妙妙把下面的展开图折成了一个长方体（字母在长方体的内侧），如果A面在底部，则（ ）面在上面，与C面相对的是（ ）面。 11．如图是一个长方体盒子的3条棱（数据从里面量得），这个盒子的容积是（ ）mL。根据相关数据和生活经验，我觉得它可能是一个装（ ）的盒子。 12．一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的（ ）。 13．一个长方体的棱长总和是40dm，长、宽、高的比是5∶3∶2，这个长方体的表面积是（ ），体积是（ ）。 14．如图长方体的棱长为整厘米，其三个不同面的面积分别为30平方厘米、35平方厘米、42平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 15．李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是（ ）立方分米。 16．一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是（ ）平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是（ ）立方厘米。 17．一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 18．用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是（ ）cm3。 19．如图，用厚度为的玻璃做一个长、宽、深的无盖长方体容器，如果向这个容器注入水，水的深度是（ ）。 20．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是（ ）cm3。 21．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 22．一个棱长为3dm的正方体可以分成（ ）个棱长为1dm的小正方体，表面积会增加（ ）；把这些小正方体排成一行，长（ ）。 23．如图，用丝带捆扎一个长方体礼品盒，接头处长厘米，需要准备（ ）厘米长的丝带。 24．将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的（ ）倍；体积扩大到原来的（ ）倍。 25．一个长方体的棱长之和是720分米，长、宽、高的比是9∶4∶5，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 26．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 27．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。 28．一个长、宽、高分别是4dm、1dm、2dm的长方体密封容器（相关数据从里面量得），水深1.5dm（如图），水与容器接触的面积是（ ）dm2。如果把这个容器的左侧面平放在桌面上，这时水深（ ）dm。 三、解答题 29．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 30．两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 31．如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 32．一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 33．环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架。宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作过程中接头处共损耗铁丝15厘米，制作一个宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？ 34．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 35．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 36．从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章：立体图形 专题22：长方体和正方体 （7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 考点02：长方体、正方体的展开图 考点03：长方体的表面积 考点04：正方体的表面积 考点05：长方体的体积 考点06：正方体的体积 考点07：长方体、正方体的容积 知识点01：长方体 1.长方体的认识 （1）面：长方体有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。相对的面完全相同。 （2）棱：两个面相交的边叫做棱，长方体有12条棱，相对的棱长度相等。 （3）顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体有8个顶点。 2.长方体表面积 （1）长方体6个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。 3.长方体的体积 （1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）长方体体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面）。 （2）占地面积：只求底面积（长×宽），不是表面积。 （3）切割长方体：每切一刀增加2个面，拼接则减少2个面。 知识点02：正方体 1.正方体的认识 正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面完全相同，12 条棱的长度都相等。 2.正方体的表面积 （1）正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。 （2）计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。 3.长方体和正方体的体积 （1）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。 （2）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖正方体：表面积= 5a2。 （2）正方体涂色问题： 3面涂色：8个顶点； 2面涂色：棱中间部分； 1面涂色：面中间部分； 0面涂色：内部。 （3）切割小正方体：大正方体体积÷小正方体体积=个数 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 【典型例题】木工技艺传承人李叔叔现场制作了一个方凳，方法是先制作一个木框架（如图），然后在上面固定一块木块。请你帮他算一算，一个木框架要用多长的木条？（接口处忽略不计） 【答案】440厘米 【分析】把木框架看作一个长方体，长方体的长是35厘米，宽是25厘米，高是50厘米，求需要木条的长度就是求长方体的棱长之和，根据“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”求出需要木条的长度。 【详解】（35＋25＋50）×4 ＝110×4 ＝440（厘米） 答：一个木框架要用440厘米的木条。 【变式训练1】王老师用一根48厘米长的铁丝做一个高6厘米的长方体模型，能做成（     ）种不同的长方体。（长、宽均为整厘米数） A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，长宽高的和－高＝长＋宽，据此列举出所有可能的长和宽即可。 【详解】48÷4＝12（厘米） 12－6＝6（厘米） 6＝5＋1＝4＋2＝3＋3 ①长5厘米，宽1厘米，②长4厘米，宽2厘米，③长和宽都是3厘米。 能做成3种不同的长方体。 【变式训练2】杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 【答案】90厘米 【分析】用总长度减去打结部分的长度算出捆扎正方体（不含打结部分）的丝带长度。用捆扎的丝带长度除以丝带经过正方体棱长的数量，算出正方体的棱长。再根据正方体的棱长总和＝棱长×12解决。 【详解】76－16＝60（厘米） 60÷8＝7.5（厘米） 7.5×12＝90（厘米）   答：正方体礼品盒棱长总和是90厘米。 考点02：长方体、正方体的展开图 【典型例题】“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（     ）。 A．义 B．礼 C．智 D．信 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特征：正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻，且在展开图中遵循“隔一相对”的规律，在同一行或同一列中，相隔一个正方形的两个面是相对面。异行“Z”字两端相对：不同行的面，呈“Z”字形两端的两个面，折叠后是相对面。 【详解】观察展开图，以“仁”为中心，先找它的相邻面，“仁”的右边是义（第一行相邻），仁的下方是礼（第二行相邻），因此义、礼都是相邻面，绝对不是相对面，直接排除A、B 选项。以“仁”为起点，沿展开图的结构画“Z”字：仁→义→礼→智，“仁”的Z字另一端，对应第二行的智，因此仁的相对面是智，对应选项为：C。 【变式训练】如图，一个底面是正方形的长方体，侧面展开后是一个正方形。这个长方体的侧面积是（ ）平方分米。 【答案】10.24 【分析】据图可知：长方体的高是3.2分米，因为长方体的侧面展开后是一个正方形，所以正方形的边长等于长方体的高3.2分米，再根据正方形的面积＝边长×边长列式计算即可。 【详解】3.2×3.2＝10.24（平方分米） 一个底面是正方形的长方体，侧面展开后是一个正方形。这个长方体的侧面积是10.24平方分米。 考点03：长方体的表面积 【典型例题】在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】250平方分米 【分析】垃圾桶是无盖的长方体，因此计算所需铁皮面积时，只需要计算5个面的面积，即1个底面加上4个侧面。无盖的长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入进行计算即可。 【详解】6×5＋（6×10＋5×10）×2 ＝30＋（60＋50）×2 ＝30＋110×2 ＝30＋220 ＝250（平方分米） 答：制作一个垃圾桶至少需要250平方分米的铁皮。 【变式训练1】《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少（ ）平方厘米。 【答案】536 【分析】要使包装纸最少，就要让面积最大的两个面重叠在一起，包装成一个长是10厘米，宽是13厘米，高是3×2＝6厘米的长方体。要求包装纸的面积就是求这个长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】3×2＝6（厘米） （10×13＋10×6＋13×6）×2 ＝（130＋60＋78）×2 ＝（190＋78）×2 ＝268×2 ＝536（平方厘米） 【变式训练2】两个完全一样的长方体拼成一个更大的长方体，原长方体的长6分米，宽4分米，高3分米，则拼成的长方体的表面积最大是（ ）平方分米。 【答案】192 【分析】要使拼成的长方体表面积最大，那么这两个长方体重合面的面积要最小。先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个长方体的表面积，然后乘2，就是两个长方体的表面积之和，再减去2个最小重合面的面积，即是拼成长方体的最大表面积。 【详解】（6×4＋6×3＋4×3）×2 ＝（24＋18＋12）×2 ＝54×2 ＝108（平方分米） 108×2＝216（平方分米） 4×3＜6×3＜6×4 表面积最大是： 216－4×3×2 ＝216－24 ＝192（平方分米） 考点04：正方体的表面积 【典型例题】“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 【答案】432平方厘米 【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据“”求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。 【详解】（1＋2）×2 ＝3×2 ＝6（个） 6×6×6＋6×6×6 ＝216＋216 ＝432（平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 【变式训练1】一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是（     ）平方厘米。 A．27 B．54 C．36 D．64 【答案】B 【分析】正方体的12条棱的长度都相等，所以用棱长总和除以12即可求出它的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2求出表面积即可。 【详解】36÷12＝3（厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 【变式训练2】一个横截面是正方形的长方体，其表面积是250平方厘米，它刚好分成两个同样大小的正方体，这两个正方体的表面积都是（ ）平方厘米。 【答案】150 【分析】一个长方体刚好能分成两个同样大小的正方体，说明这个长方体是由两个完全相同的正方体拼接而成的。且有两个相对的面是正方形。一个正方体有6个面，两个独立的正方体一共有12个面。当它们拼接成一个长方体时，中间重合了两个面，这两个面在长方体内部，不属于表面积。因此，这个长方体的表面积相当于两个正方体表面积之和减去2个面的面积，也就是相当于10个正方体面的面积。 即可以先根据长方体的表面积求出正方体一个面的面积，再根据正方体表面积公式（一个面的面积×6）求出其中一个正方体的表面积。 【详解】250÷10＝25（平方厘米） 25×6＝150（平方厘米） 则这两个正方体的表面积都是150平方厘米。 考点05：长方体的体积 【典型例题】一根2米长的长方体木料，沿长把它锯成3段，表面积增加了12平方分米，这根木料原来的体积是（     ）立方分米。 A．6 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【分析】把长方体木料沿长锯成3段，需要锯2次，每锯一次增加2个横截面，共增加2×2＝4个横截面。用增加的表面积除以4求出横截面面积（即底面积），注意将木料长度单位换算成分米，最后根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”计算即可。 【详解】2×2＝4（个） 12÷4＝3（平方分米） 2米＝20分米 3×20＝60（立方分米） 所以这根木料原来的体积是60立方分米。 【变式训练1】一种香皂的包装盒如图所示，把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里，这个纸箱里最多能放（     ）盒香皂。 A．336 B．352 C．368 D．384 【答案】D 【分析】要计算纸箱最多能放多少盒香皂，需要分别计算纸箱的长、宽、高方向各能容纳多少个香皂的长、宽、高，再将三个方向的数量相乘。 【详解】80÷10＝8（盒） 48÷6＝8（盒） 30÷5＝6（盒） 8×8×6＝384（盒） 这个纸箱里最多能放384盒香皂。 【变式训练2】把一个底面直径是4dm，高10dm的圆柱体容器装满水，倒入一个长8dm，宽5dm，高4dm的长方体容器中，水面高（ ）dm。 【答案】3.14 【分析】圆柱体积＝πr2h（π取3.14），长方体高＝体积÷底面积，据此列式先求出圆柱的体积，即水的体积，再将水的体积除以长方体容器的底面积，求出长方体容器里的水面高度。 【详解】3.14×（4÷2）2×10÷（8×5） ＝3.14×22×10÷40 ＝3.14×4×10÷40 ＝3.14×（4×10÷40） ＝3.14×1 ＝3.14（dm） 考点06：正方体的体积 【典型例题】泥塑艺术是我国的民间艺术。聪聪在泥塑课上，把一个棱长为4厘米的正方体彩泥捏成了一个长8厘米、宽2厘米的长方体。捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】 厘米 【分析】解题的关键是抓住“捏成”这一条件，明确彩泥的形状改变但体积不变。首先根据正方体的棱长公式计算出正方体的体积，也就是长方体的体积；然后根据长方体的体积公式“体积＝长×宽×高”，已知体积、长和宽，利用除法求出高。 【详解】4×4×4 =16×4 =64（立方厘米） 64÷(8×2) =64÷16 =4（厘米） 答：捏成的长方体的高是厘米。 【变式训练1】一个长方体木块长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。如果用它锯成一个最大的正方体，那么体积要比原来减少百分之几？ 【答案】55% 【分析】若想把长方体木块锯成一个最大的正方体，那么只能以长方体木块的长、宽、高中最短的长度作为正方体的棱长。然后根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，分别计算出长方体和正方体的体积，求出体积差，最后用体积差除以长方体的体积求出减少的百分比。 【详解】长方体体积：5×4×3＝60（立方厘米） 正方体体积：3×3×3＝27（立方厘米） 体积差：60－27＝33（立方厘米） 33÷60×100% ＝0.55×100% ＝55% 答：体积要比原来减少55%。 【变式训练2】一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】 5 125 【分析】当正方体的长增加3分米时，增加的表面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的宽为3分米，长为原正方体的棱长。 增加的表面积÷4＝长方形的面积 长方形的面积÷宽＝长（正方体的棱长） 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 【详解】正方体的棱长：60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 正方体的体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 考点07：长方体、正方体的容积 【典型例题】一个长方体水箱，从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，装满水后倒入一个棱长为6分米的正方体水箱中，水深是（ ）分米。 【答案】 【分析】根据长方体体积公式求出水的体积，再将长方体水箱里的水全部倒入一个正方体水箱，由于水的体积不变，求水深即水的高度，水的高度＝长方体体积÷棱长÷棱长，根据公式解答即可。 【详解】6×5×4=120（立方分米） 120÷6÷6 =20÷6 （分米） 因此，水深是分米。 【变式训练1】木桶理论又称“短板理论”，是一个经典的管理学理论。盛水的木桶是由许多块木板箍成的，盛水量也是由组成木板最短的那块木板决定的。一个底面是正方形的长方体，木桶底面边长为1.7dm。它最长的一块木板的长度为2.1dm，最短的一块木板的长度为1.7dm，（木板厚度忽略不计），这个木桶最多能盛水（ ）立方分米。 【答案】4.913 【分析】根据“短板理论”，最多能盛水的高度就是最短边的长度。再根据长方体的体积公式计算，长方体的公式是：。 【详解】1.71.71.7 ＝2.891.7 ＝4.913（立方分米） 【变式训练2】计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【答案】不合理 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【详解】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 一、选择题 1．如图5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？（     ） A．①号2张，③号4张 B．①号2张，⑤号4张 C．①号2张，②号2张，③号2张 D．①号2张，③号2张，④号2张 【答案】D 【分析】依据长方体的特征，长方体有6个面，由3组完全相同的相对面组成， A．2张①号长6、宽3，4张③号长6、宽2，长×宽＝6×3，长×高＝6×2，宽×高应该是3×2，不可以围成一个长方体； B．2张①号长6、宽3，4张⑤号长6、宽6，长×宽＝6×3，长×高＝6×6，宽×高应该是6×3，不可以围成一个长方体； C．2张①号长6、宽3，2张②号长3、宽3，2张③号长6、宽2，长×宽＝6×3，长×高＝6×2，宽×高应该是2×3，不可以围成一个长方体； D．2张①号长6、宽3、2张③号长6、宽2、2张④号长3、宽2，长×宽＝6×3，长×高＝6×2，宽×高=3×2，围成的长方体的长6、宽3、高2； 【详解】A．①号长6、宽3，③号长6、宽2，不可以围成一个长方体； B．①号长6、宽3，⑤号长6、宽6，不可以围成一个长方体； C．①号长6、宽3，②号长3、宽3，③号长6、宽2，不可以围成一个长方体； D．①号长6、宽3、③号长6、宽2、④号长3、宽2，围成的长方体的长6、宽3、高2； 故答案为：D 2．下面的四个展开图经过折叠，能围成如图所示正方体的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，1、2、3是三个相邻的面，相邻的面不相对，据此分析即可。 【详解】A．3和2相对，不符合题意； B．3和1相对，不符合题意； C．3和2相对，不符合题意； D．1、2、3三个面相邻不相对，符合题意。 故答案为：D 3．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（     ）厘米。 A．48 B．64 C．96 D．32 【答案】A 【分析】由题意可知，求需要铁丝的长度就是求正方体的棱长之和，利用“正方体的棱长之和＝棱长×12”求出正方体的棱长之和即可。 【详解】4×12＝48（厘米） 所以，至少需要铁丝48厘米。 故答案为：A 4．一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（     ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 【答案】C 【分析】长方体的体积＝底面积×高，正方形的面积＝边长×边长。方木的横截面是边长为m分米的正方形，那么它的底面积是m×m＝m2（平方分米），锯掉8分米，那么锯掉的体积就等于底面积乘8。据此解答。 【详解】m×m＝m2（平方分米） m2×8＝8 m2（立方分米） 所以方木的体积比原来减少8 m2立方分米。 故答案为：C 5．一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大（     ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】正方体的表面积计算公式：棱长×棱长×6，据此分析。 【详解】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a， 原来的正方体的表面积：6a2， 扩大后的正方体的表面积： 所以一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大9倍。 故答案为：C 6．一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，高是4厘米，它的体积是（     ）立方厘米。 A．125 B．100 C．75 D．50 【答案】B 【分析】长方体底面是边长为5厘米的正方形，则说明长方体的长和宽均为5厘米，根据“长方体的体积＝长×宽×高”解答即可。 【详解】5×5×4＝100（立方厘米） 所以长方体体积为100立方厘米。 故答案为：B 7．用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少（     ）平方厘米。 A．4 B．6 C．12 D．1 【答案】C 【分析】根据图形拼组的方法，用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少长3厘米，宽2厘米的2个长方形的面积，据此解答即可。 【详解】3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方厘米） 表面积最多减少12平方厘米。 故答案为：C 8．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（     ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 【答案】A 【分析】本题求商鞅规定的“一升”相当于现在的多少升，关键是先算其容积再换算单位。已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升；最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数。 【详解】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝（201.25÷1000）立方分米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升≈0.2升 因此商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 9．如图是两个无盖长方体包装盒展开图，底面都是正方形。比较它们的容积，结果是（     ）。 A．甲的容积大 B．乙的容积大 C．容积相等 D．无法比较 【答案】A 【分析】通过观察图形可知，甲长方体的底面周长是200厘米，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出长方体的底面边长，底面边长与高的和是70厘米，据此可以求出长方体的高；乙长方体的底面周长是120厘米，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出底面边长，底面边长与高的和是80厘米，据此可以求出长方体的高；根据长方体的体积（容积）公式＝V＝Sh，把数据代入公式求出甲、乙的体积，然后进行比较即可。 【详解】甲：200÷4＝50（厘米） 70－50＝20（厘米） 50×50×20 ＝2500×20 ＝50000（立方厘米） 乙：120÷4＝30（厘米） 80－30＝50（厘米） 30×30×50 ＝900×50 ＝45000（立方厘米） 50000立方厘米＞45000立方厘米 甲的容积大。 故答案为：A 二、填空题 10．妙妙把下面的展开图折成了一个长方体（字母在长方体的内侧），如果A面在底部，则（ ）面在上面，与C面相对的是（ ）面。 【答案】 F E 【分析】属于长方体展开图的“3－2－1”结果，相对的面完全相同，折叠成长方体，A面与F面相对；B面与D面相对；C面与E面相对，据此解答。 【详解】根据分析可知，A面与F面相对；B面与D面相对；C面与E面相对； A面在底部，F面在上面，与C面相对的是E面。 11．如图是一个长方体盒子的3条棱（数据从里面量得），这个盒子的容积是（ ）mL。根据相关数据和生活经验，我觉得它可能是一个装（ ）的盒子。 【答案】 260 牛奶 【分析】相交于顶点的三条棱，分别是长方体的长、宽和高，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可；再根据根据相关数据和生活经验，推测出盒子的类型。 【详解】6.5×4×10 ＝26×10 ＝260（立方厘米） 260立方厘米＝260毫升 这个盒子的容积是260毫升，根据相关数据和生活经验，我觉得它可能是一个装牛奶的盒子。 12．一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的（ ）。 【答案】 【分析】一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，则变化后的长方体的长宽高分别为8×＝4分米，6×＝3分米，4×＝2分米，由此利用长方体的体积公式计算出变化前后的长方体的体积，再相除即可解答问题。长方体体积＝长×宽×高。 【详解】8×＝4（分米） 6×＝3（分米） 4×＝2（分米） 4×3×2÷（8×6×4） ＝12×2÷（48×4） ＝24÷192 ＝ 所以现在的长方体的体积是原来长方体体积的。 13．一个长方体的棱长总和是40dm，长、宽、高的比是5∶3∶2，这个长方体的表面积是（ ），体积是（ ）。 【答案】 62平方分米/62 30立方分米/30 【分析】解答这道题的关键是熟知长方体的表面积和体积的计算公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高。这道题已知长方体的棱长总和是40分米，需先用棱长总和除以4求出一条长、一条宽及一条高的总和，再利用长、宽、高的比是5∶3∶2，进行按比例分配，求出长方体的长、宽、高，最后利用公式求解即可，据此解答。 【详解】求长方体的长、宽、高： （分米） 长：（分米） 宽：（分米） 高：（分米） 求长方体的表面积： （平方分米） 求长方体的体积： （立方分米） 所以这个长方体的表面积是62平方分米，体积是30立方分米。 14．如图长方体的棱长为整厘米，其三个不同面的面积分别为30平方厘米、35平方厘米、42平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 214 210 【分析】设这个长方体的长、宽、高分别为a厘米、b厘米、h厘米，则由题可知ab＝42平方厘米，ah＝35平方厘米，bh＝30平方厘米，根据长方体的表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2代入数值即可计算长方体的表面积。求出42、35和30的因数，从因数中确定长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式V＝abh，把数据代入公式计算出长方体的体积。 【详解】根据分析可知： （42＋35＋30）×2 ＝107×2 ＝214（平方厘米） 设长宽高分别为a厘米、b厘米、h厘米。 所以ab＝42平方厘米，ah＝35平方厘米，bh＝30平方厘米，则： 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42； 35的因数有：1、5、7、35； 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30； 观察可知，42的因数6和7符合长方体的宽和长，35的因数5和7符合高和长，30的因数5和6符合高和宽； 所以a＝7厘米，b＝6厘米，h＝5厘米。 7×6×5 ＝42×5 ＝210（立方厘米） 即长方体的体积是210立方厘米。 这个长方体的表面积是214平方厘米，体积是210立方厘米。 15．李师傅将一根长方体木料沿着长截成相同的3段，每小段长1.5米，表面积之和比原来增加了28平方分米，这根木料的体积是（ ）立方分米。 【答案】315 【分析】把一根长方体木料锯成3段，需要锯（3－1）次，每锯1次增加2个截面，据此确定增加的截面个数，增加的表面积÷截面个数＝截面面积，木料长度＝段数×每段长度，根据长方体体积公式V＝Sh，用截面面积乘总长，即可求出它的体积，注意统一单位。 【详解】1.5米＝15分米 15×3＝45（分米） 28÷[（3－1）×2] ＝28÷[2×2] ＝28÷4 ＝7（平方分米） 7×45＝315（立方分米） 这根木料的体积是315立方分米。 16．一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是（ ）平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 108 864 【分析】根据题意可知，侧面展开也是正方形，说明长方体的高等于底面边长的4倍，由此可知，一个侧面积等于底面面积的4倍，已知一个底面积是6平方分米，则一个侧面积等于（6×4）平方分米，4个侧面积，再乘4，再加上两个底面积，即可求出这个长方体的表面积；如果底面正方形的边长是6厘米，则长方体的高是（6×4）厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可求出长方体的体积。 【详解】6×2＋6×4×4 ＝12＋96 ＝108（平方分米） 6×6×（6×4） ＝6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是108平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是864立方厘米。 17．一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】94 【分析】通过观察长方体展开图的可知，这个长方体的宽是4厘米，高是3厘米，涂色部分是长方体上面和后面，上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高，已知上面和后面的面积和是35平方厘米，据此可以求出长方体的长，再根据长方体的表面积表面积＝（长＋宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。 【详解】上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高， 上面的面积＋后面的面积＝长×（宽＋高） 所以长＝35÷（4＋3） ＝35÷7 ＝5（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×4 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是94平方厘米。 18．用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是（ ）cm3。 【答案】216000 【分析】根据长方体、正方体的特征可知，用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的棱长最小是长方体的长、宽、高的最小公倍数，根据求几个数的最小公倍数的方法求出这个正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。 【详解】 （cm） （cm3） 用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是216000cm3。 19．如图，用厚度为的玻璃做一个长、宽、深的无盖长方体容器，如果向这个容器注入水，水的深度是（ ）。 【答案】30 【分析】根据1＝1L，1＝1000把30L换算成用作单位；水在长方体容器中也是呈长方体的形状，用42减去1×2（因为左、右都要减去玻璃的厚度）算出容器内部的长，用27减去1×2（因为前、后都要减去玻璃的厚度）算出容器内部的宽。求水的深度就是求这个长方体的高，长方体的高＝长方体的体积÷（长×宽），代入数据计算即可。 【详解】30L＝30＝30000 42－1×2 ＝42－2 ＝40（cm） 27－1×2 ＝27－2 ＝25（cm） 30000÷（40×25） ＝30000÷1000 ＝30（cm） 如图，用厚度为的玻璃做一个长、宽、深的无盖长方体容器，如果向这个容器注入水，水的深度是30。 20．如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了80cm2，已知高是10cm，则长方体的体积是（ ）cm3。 【答案】502.4 【分析】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是2个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形的面积。已知表面积比原来增加了80cm2，那么一个这样的长方形面积是80÷2＝40cm2。高是10cm，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得宽（即底面半径）为40÷10＝4cm。因为长方体的体积等于圆柱的体积，根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径4cm，高10cm代入计算即可。 【详解】80÷2＝40（cm2） 40÷10＝4（cm） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 长方体的体积是502.4cm3。 21．一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 96 64 【分析】在正方体中，棱长和＝棱长×12，表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长，本题中，可先计算出棱长再计算表面积与体积。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 22．一个棱长为3dm的正方体可以分成（ ）个棱长为1dm的小正方体，表面积会增加（ ）；把这些小正方体排成一行，长（ ）。 【答案】 27 108 27 【分析】根据正方体体积公式V＝a×a×a（a为棱长），大正方体体积为3×3×3＝27（dm3），小正方体体积为1×1×1＝1（dm3）。则能分成小正方体的个数为27÷1＝27（个）。 正方体的表面积公式为：S＝6×a2（a为棱长），原来大正方体的表面积为6×32＝6×9＝54（dm2）。27个小正方体的表面积之和为27×6×12＝27×6×1＝162（dm2）。表面积增加了162－54＝108（dm2）。 每个小正方体棱长为1dm，27个排成一行的长度为1×27＝27（dm）。 【详解】3×3×3＝27（dm3） 1×1×1＝1（dm3） 27÷1＝27（个） 6×32 ＝6×9 ＝54（dm2） 27×6×12 ＝27×6×1 ＝162（dm2） 162－54＝108（dm2） 1×27＝27（dm） 一个棱长为3dm的正方体可以分成27个棱长为1dm的小正方体，表面积会增加108dm2；把这些小正方体排成一行，长27dm。 23．如图，用丝带捆扎一个长方体礼品盒，接头处长厘米，需要准备（ ）厘米长的丝带。 【答案】220 【分析】通过观察图形可知，丝带的组成部分：这个长方体的2条长、2条宽、4条高和接头处的20厘米，据此求解即可。 【详解】长方体的长有2条：（厘米） 长方体的宽有2条：（厘米） 长方体的高有4条：（厘米） 丝带的长：（厘米） 因此用丝带捆扎一个长方体礼品盒，接头处长厘米，需要准备厘米长的丝带。 24．将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的（ ）倍；体积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】 9 27 【分析】根据题意，将正方体的棱长扩大到原来的3倍，可以设原正方体的棱长为1，则扩大后的棱长为3； 根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出扩大前后正方体的表面积和体积，进而确定表面积扩大到原来的多少倍，体积扩大到原来的多少倍；据此解答。 【详解】设原正方体的棱长为1，则扩大后的棱长是1×3＝3； 原来正方体的表面积：1×1×6＝6 扩大后正方体的表面积：3×3×6＝54 54÷6＝9 原来正方体的体积：1×1×1＝1 扩大后正方体的体积：3×3×3＝27 27÷1＝27 综上可得：将正方体的棱长扩大到原来的3倍，则表面积扩大到原来的9倍；体积扩大到原来的27倍。 25．一个长方体的棱长之和是720分米，长、宽、高的比是9∶4∶5，这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】 20200 180000 【分析】根据“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”，已知棱长之和是720分米，用棱长之和除以4计算出长方体长、宽、高的和； 已知长、宽、高的比是9∶4∶5，则总份数是9＋4＋5＝18，则长占，宽占，高占，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别计算出长、宽、高； 根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出该长方体的表面积；根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和：720÷4＝180（分米） 长：180× ＝180× ＝90（分米） 宽：180× ＝180× ＝40（分米） 高：180× ＝180× ＝50（分米） 表面积： （90×40＋90×50＋40×50）×2 ＝（3600＋4500＋2000）×2 ＝10100×2 ＝20200（平方分米） 体积： 90×40×50 ＝3600×50 ＝180000（立方分米） 这个长方体的表面积是20200平方分米，体积是180000立方分米。 26．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数。这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】486 【分析】已知长方体前面和上面的面积之和是209平方厘米，可得：长×高＋长×宽＝209，即长×（高＋宽）＝209，因为长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，对209分解质因数为：209＝11×19，其中11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数，所以长是11厘米；而19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10中，只有2＋17的组合都是质数，所以长、宽、高分别为11厘米、2厘米、17厘米。 【详解】209＝11×19 19＝2＋17 所以长、宽、高分别为11厘米、2厘米、17厘米。 （11×2＋11×17＋17×2）×2 ＝（22＋187＋34）×2 ＝（209＋34）×2 ＝243×2 ＝486（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是486平方厘米。 27．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。 【答案】216 【分析】首先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长，再分别计算每个小正方体的体积（正方体体积＝棱长×棱长×棱长），再将它们相加得到大正方体的体积，最后根据大正方体的体积求出大正方体的棱长并计算表面积。 【详解】第一个：54÷6＝9，因为9＝3×3，所以棱长为3厘米； 第二个：96÷6＝16，因为16＝4×4，所以棱长为4厘米； 第三个：150÷6＝25，因为25＝5×5，所以棱长为5厘米。 第一个体积：3×3×3＝27（立方厘米）； 第二个体积：4×4×4＝64（立方厘米）； 第三个体积：5×5×5＝125（立方厘米）； 大正方体的体积： 27＋64＋125 ＝91＋125 ＝216（立方厘米） 因为216＝6×6×6，所以大正方体的棱长为6厘米。 大正方体的表面积： （6×6）×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 因此，将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为216平方厘米。 28．一个长、宽、高分别是4dm、1dm、2dm的长方体密封容器（相关数据从里面量得），水深1.5dm（如图），水与容器接触的面积是（ ）dm2。如果把这个容器的左侧面平放在桌面上，这时水深（ ）dm。 【答案】 19 3 【分析】根据题意，求水与容器接触的面积，就是求长是4dm，宽是1dm，高是1.5dm的长方体的下面、前后面、左右面共5个面积的面积和；根据“长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”，代入数据计算，求出水与容器接触的面积； 由于水的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；把这个容器的左侧面平放在桌面上，长方体的长是2dm，宽是1dm，求水深，也就是高，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出水深，据此解答。 【详解】4×1＋（4×1.5＋1×1.5）×2 ＝4×1＋（6＋1.5）×2 ＝4×1＋7.5×2 ＝4＋15 ＝19（dm2） 4×1×1.5＝6（dm3） 6÷（2×1） ＝6÷2 ＝3（dm） 水与容器接触的面积是（19）dm2。如果把这个容器的左侧面平放在桌面上，这时水深（3）dm。 三、解答题 29．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【分析】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 30．两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【答案】0.0304平方米 【分析】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积，最后把平方厘米换算成平方米即可解答。 【详解】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 31．如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 【答案】864毫升 【分析】根据题意，把一张正方形铁皮围成一个长方体的侧面，那么这个长方体的底面周长和高都等于正方形的边长24厘米；长方体的底面周长是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，求出长方体的底面边长，即长方体的长、宽；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方厘米＝1毫升”，求出它的容积。 【详解】长方体的长、宽：24÷4＝6（厘米） 长方体的容积： 6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 864立方厘米＝864毫升 答：这个长方体的容积是864毫升。 32．一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 【答案】（1）4.8平方米；（2）1.8立方米 【分析】（1）四周需要的木条面积是长方体四个侧面的总面积。由于底面是正方形，四个侧面为形状相同的长方形，每个侧面的面积为，总面积为。 （2）填泥土的体积等于长方体体积，计算公式为，底面积为，再乘高0.8。 【详解】（1） （平方米） 答：四周大约需要4.8平方米木条。 （2） （立方米） 答：大约需要1.8立方米泥土。 33．环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架。宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作过程中接头处共损耗铁丝15厘米，制作一个宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？ 【答案】1015厘米 【分析】计算长方体框架所需铁丝总长度，需先求出所有棱的长度之和，再加上接头损耗。长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，总棱长公式为：（长＋宽＋高）×4，再添加损耗的15厘米。 【详解】（80＋50＋120）×4＋15 ＝（130＋120）×4＋15 ＝250×4＋15 ＝1000＋15 ＝1015（厘米） 答：制作一个宣传箱框架至少需要铁丝1015厘米。 34．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【分析】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【详解】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 35．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 【答案】1024立方厘米 【分析】分析题目，剪去的正方形的边长可以为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，做成的无盖的长方体的长为24－正方形的边长×2、宽为24－正方形的边长×2和高为正方形的边长；再利用长方体的体积＝长×宽×高，分别计算求出四种情况的纸盒的体积，比较即可。 【详解】①当小正方形的边长为1厘米时， （24－1×2）×（24－1×2）×1 ＝（24－2）×（24－2）×1 ＝22×22×1 ＝484（立方厘米） ②当小正方形边长为2厘米时， （24－2×2）×（24－2×2）×2 ＝（24－4）×（24－4）×2 ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） ③当小正方形的边长为3厘米时， （24－3×2）×（24－3×2）×3 ＝（24－6）×（24－6）×3 ＝18×18×3 ＝972（立方厘米） ④当小正方形的边长为4厘米时， （24－4×2）×（24－4×2）×4 ＝（24－8）×（24－8）×4 ＝16×16×4 ＝1024（立方厘米） ⑤当小正方形的边长为5厘米时， （24－5×2）×（24－5×2）×5 ＝（24－10）×（24－10）×5 ＝14×14×5 ＝980（立方厘米） 1024＞980＞972＞800 答：这个长方体盒子的体积最大是1024立方厘米。 36．从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】1107立方厘米 【分析】已知长方体长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米。根据长方体体积公式：V＝a×b×h（a、b、h分别为长、宽、高）计算出原长方体的体积。 每次切割的正方体棱长由剩余长方体的最小棱长决定。第一次切下的正方体棱长是12厘米，剩余部分较大的长方体的长为21－12＝9厘米，宽为15厘米，高为12厘米。所以第二次切下的正方体棱长是9厘米，剩余部分较大的长方体的宽为15－9＝6厘米，长为9厘米，高为12厘米。所以第三次切下的正方体棱长是6厘米。根据正方体体积公式：V＝a×a×a（a为棱长），把数据代入公式计算三个正方体的体积。剩余体积为原长方体体积依次减去三次切割的正方体体积。 【详解】21×15×12＝3780（立方厘米） 21＞15＞12 第一次：12×12×12＝1728（立方厘米） 第二次：21－12＝9（厘米） 15＞12＞9 9×9×9＝729（立方厘米） 第三次：15－9＝6（厘米） 12＞9＞6 6×6×6＝216（立方厘米） 剩余体积：3780－1728－729－216＝1107（立方厘米） 答：剩下的体积是1107立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $