专题08 计数原理与概率统计7个考点（浙江专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题08 计数原理与概率统计 7大考点概览 考点01计数原理 考点02统计与线性回归方程 考点03古典型概率与条件概率 考点04二项分布与超几何的均值与方差 考点05离散型随机变量的均值与方差 考点06正态分布 考点07概率统计综合题型 计数原理 运算 考点1 1．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解． 【详解】解： ①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种； 若①②同色，③④同色，则有种； 若①④同色，②③同色，则有种； 此时共有种； 综上，共有种． 2．（2026·浙江温州·二模）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（   ） A．24 B．54 C．72 D．120 【答案】B 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 3．（2026·浙江台州·二模）（多选）设，为常数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D. 【详解】由， 对于，展开式通项为，， 对于，展开式通项为，， 所以，A对， ，B对， 令，则， 令，则， 所以，则，C错， ，D对. 4．（2026·浙江温州·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 令，得到，所以. 5．（2026·浙江嘉兴·二模）的展开式中的系数为______. 【答案】 【详解】的展开式通项为. 令，得，所以. 所以的展开式中的系数为. 6．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 统计与线性回归方程 考点2 7．（2026·浙江杭州·二模）数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 8．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 【答案】BC 【分析】利用百分位数定义计算可得A；利用对立事件概率公式与相互独立事件定义计算可得B；利用平均数、极差与中位数的性质计算可得C；利用相关系数定义可得D. 【详解】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则， 故事件A与B相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为， 中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 9．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案. 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 10．（2026·浙江·二模）已知三组数据：①4，4，4，5，5，5，6，6，6；②3，3，4，4，5，6，6，7，7；③2，2，2，2，5，8，8，8，8的方差分别是，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方差计算公式计算求解即可. 【详解】， ， ， 故. 11．（2026·浙江杭州·二模）某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2)（i）证明见解析（ii）元 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【详解】（1）平均时间. （2）（i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 12．（2026·浙江金华·二模）一组样本数据依次为，，0，2，4，5．关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（   ） A．极差为 B．平均数小于0 C．方差小于1 D．中位数为1 【答案】D 【详解】已知样本升序排列为：，，0，2，4，5， 极差为：，故A错误； 平均数为：，故B错误； 方差为： ，故C错误； 因这组数据有6个，故其中位数为中间两个数的平均值，即中位数为，故D正确． 13．（2026·浙江温州·二模）（多选）有一组样本数据，且，平均数为，中位数为M，现对这组数据做如下变换：，得到一组新数据，则下列说法正确的是（   ） A．新数据的极差等于原数据的极差 B．新数据的平均数等于 C．新数据的方差大于原数据的方差 D．新数据的中位数等于 【答案】BCD 【详解】的极差为：.由题意知， 的极差为：，故A错误； 新数据的平均数等于： ，故B正确； 的方差为： ， 因为，故， 所以，故C 正确； 的中位数为，故D正确. 14．（2026·浙江台州·二模）2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，. (1)证明：； (2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 附：一元线性回归方程，其中. 【答案】(1)证明见解析 (2)；3.07（万亿元） 【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证； （2）由条件求出，即可得一元线性回归方程，将代入回归方程求出预测值，预测值与实际值差的绝对值即为误差. 【详解】（1）左边 =右边，故等式成立； （2）设一元线性回归方程为， 则， 将代入回归方程可得，解得， 所以一元线性回归方程为. 当时，求得，即2025年的GDP预测值为143.26万亿元， 而2025年GDP的实际值为140.19万亿元， 故误差为（万亿元）. 15．（2026·浙江宁波·二模）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BD 【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5， 第百分位数是第5个数5，故A错误； 选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确； 选项C：独立性检验中，在的显著水平下， 无法判断与有关联，故C错误； 选项D：正态分布关于均值对称，， 已知，则， 由对称性可知， ，故D正确． 16．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．若随机变量X服从正态分布，则 D．样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系 【答案】ABD 【详解】将已知数据排序得12，14，15，17，19，23，27，30， 由，第六个数为23，即第70百分位数是23，故A正确； 由于，所以变量y与x成负相关，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 当越小时，相关性越弱，所以当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故D正确. 古典型概率与条件概率 考点3 17．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点4 18．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【详解】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 离散型随机变量的均值与方差 考点5 19．（2026·浙江台州·二模）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 【答案】/ 【详解】由题设可取， 又，， ， 故. 20．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先明确 “甲第一轮获胜” 和 “乙获得第 3 名” 的比赛路径，计算联合概率，再用条件概率公式求解即可. （2）先确定的所有可能取值，再逐一分析每种名次对应的比赛路径，计算概率，最后列出分布列并求期望即可. 【详解】（1）设事件M：乙队获得第3名，事件N：第一轮比赛中甲队获胜，则， ， 所以， 所以在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第三名的概率为. （2）随机变量的可能取值为1，2，3，4， ； ； ； . 所以的分布列为： 1 2 3 4 P 故的数学期望. 21．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证 与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【详解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. 22．（2026·浙江·模拟预测）有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记为标有数字的球被取出的次数，，则__________. 【答案】 【分析】列出随机变量的所有取值为1、2、3，再计算所有取值的概率，最后再由期望公式求解即可. 【详解】依题意，的可能取值为1､2､3，总的选取可能数为， ，，， 所以， 故答案为：. 29．（2026·浙江宁波·二模）已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 【答案】6 【分析】由题意得到随机变量的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8， 其概率为，， 所以期望 . 正态分布 考点6 23．（2026·浙江·二模）（多选）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 24．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，则，则，即，故B正确； 对于C，因为，而， 故 ，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：BC. 概率统计综合题型 考点7 25．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率． (1)求和的值； (2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）法一列出符合题意的事件，进而递推出事件总数，最后得到概率，法二利用对立事件与组合数的性质求解概率即可. （2）法一结合题意得到，再利用递推关系求和，法二对为奇数和偶数分类讨论，再逆用二项式定理求解即可. 【详解】（1）法一：将n次摸到的小球的编号依次排列， 记为，且，即； 当时，； 当时，；……，当时，， 共有种，故， 而，即，且； 当时，，有种， 当时，，有种， 以此类推可得种， 因此. 法二：由题意得的含义：摸球2次后停止，其反面为， 而的含义是前2次未能停止，即前两次小球编号依次增大，有种可能， 因此， 而的含义：摸球3次后停止，其反面包含两种可能或者， 其中，的含义是前3次未能停止，即前三次小球的编号依次增大，有种可能， 因此. （2）法一：记为“摸到k号球时，后续还需抽取奇数次游戏才停止”的概率, 则, 设摸到k号球的下一次摸到的是m号球， 若，游戏停止；若，则游戏继续， ， 记，则， 又，故， ， ， 因此，. 法二：共n个小球，则最多次必停止， 且， 若，则说明前n次小球的编号依次增加，第次编号任意， 因此，若，则类似（1）的讨论， 可得， 其中，的含义是前次未能停止， 即前次编号依次增加，共种可能，因此， ， ①若n为偶数，则 ， ②若n为奇数，则 ， 综上所述，. 26．（2026·浙江·二模）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即． (1)甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算，，，的值； （ⅱ）记，求； (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ） (2)答案见解析 【分析】（1）（ⅰ） 根据古典概型计算求解；（ⅱ）分为两种情况应用得出通项公式结合错位相减法计算求解； （2）先应用数学期望公式计算，再构造函数，结合组合数的性质计算求解. 【详解】（1）（ⅰ），，，． （ⅱ）分为两种情况： ①第一种情况：甲得2分，乙得0分．此时由乙得0分可知：“反面向上”是成对出现的，所以n必须为偶数，设． 此时第次是“正”，前次可以看成组“反+反”与1次“正”的组合，共k种情况，则； ②第二种情况：甲得2分，乙得1分．此时最后一次是“正”，乙得1分必须有“反+正+反”的组合，若干组“反+反”组合，还有1次“正”，所以n必须是奇数，设． 此时前次可看成1次“正”，1次“反+正+反”，组“反+反”的组合，共种， 则且； 综上：． ， ， 故， 故． （2） 记150种不同质地的铜币1，2，…，150数量为，，…，， 记，则， 故 ， 只需求的最小值即可，记． 假设 铜币 1 2 3 … 150 备注 数量 … 调整 … 由得， 令，可知单调递减，而，即， 故． 综上：只要，，…，中有两个数之差大于等于2，一定能找到，，…，， 使得，故，，…任意两数之差不超过1． 考虑， 故2026个不同种类铜币中分布：其中76种铜币各有14枚，74种铜币各有13枚时，最大， 此时． 27．（2026·浙江金华·二模）某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据条件，利用二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式得，从而可得，进而可得，再由，即可求解； （3）根据条件，由（2）可得， ，进而可得，再由极限思想，即可求解；法二，直接利用极限思想得，即可求解. 【详解】（1）因为，则，，. （2）若，则，，所以， 由题知，即， 则， 又，， ， 所以，又，所以， 所以． （3）由题知，，，则， 又因为，则恒成立， 又，则， 所以， 则，所以 则，则， 所以. 法二，，，， 所以，解得. 28．（2026·浙江宁波·二模）某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态的概率，若，且. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； (2)记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当时，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)证明见解析 【分析】（1）（i）利用条件概率的乘法公式求解； （ii）根据题意，的可能取值有，再分别求出对应概率并计算期望即可； （2）由题可知，再根据，且进行计算求解． 【详解】（1）记事件：前次操作后处于状态1，则事件：前次操作后处于状态2， 由已知得. （i）即求； （ii）的可能取值有， ， ， ， 所以； （2）事件表示发生且第次操作后处于状态1，事件表示发生且第次操 作后处于状态2，显然，且， 当时，由， 得， 又 ， ， 而 ， 得 ， 所以. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 7大考点概览 考点01计数原理 考点02统计与线性回归方程 考点03古典型概率与条件概率 考点04二项分布与超几何的均值与方差 考点05离散型随机变量的均值与方差 考点06正态分布 考点07概率统计综合题型 计数原理 运算 考点1 2．（2026·浙江温州·二模）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（   ） A．24 B．54 C．72 D．120 3．（2026·浙江台州·二模）（多选）设，为常数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江嘉兴·二模）的展开式中的系数为______. 6．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 统计与线性回归方程 考点2 7．（2026·浙江杭州·二模）数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 8．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 9．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 10．（2026·浙江·二模）已知三组数据：①4，4，4，5，5，5，6，6，6；②3，3，4，4，5，6，6，7，7；③2，2，2，2，5，8，8，8，8的方差分别是，，，则（    ）． A． B． C． D． 11．（2026·浙江杭州·二模）某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 12．（2026·浙江金华·二模）一组样本数据依次为，，0，2，4，5．关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（   ） A．极差为 B．平均数小于0 C．方差小于1 D．中位数为1 13．（2026·浙江温州·二模）（多选）有一组样本数据，且，平均数为，中位数为M，现对这组数据做如下变换：，得到一组新数据，则下列说法正确的是（   ） A．新数据的极差等于原数据的极差 B．新数据的平均数等于 C．新数据的方差大于原数据的方差 D．新数据的中位数等于 14．（2026·浙江台州·二模）2016-2024年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下： 年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 GDP/万亿元（y） 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 由以上数据，得到x与y的9对样本数据为，，…，，有关计算结果如下：，，. (1)证明：； (2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出2025年的GDP预测值与实际值的误差.（注：从《中国统计年鉴-2025》中查得2025年的GDP为140.19万亿元.） 附：一元线性回归方程，其中. 15．（2026·浙江宁波·二模）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D．若随机变量服从正态分布，且，则 16．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．若随机变量X服从正态分布，则 D．样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系 古典型概率与条件概率 考点3 17．（2026·浙江台州·二模）设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点4 18．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 离散型随机变量的均值与方差 考点5 19．（2026·浙江台州·二模）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 20．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响. (1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率； (2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望. 21．（2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 22．（2026·浙江·模拟预测）有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记为标有数字的球被取出的次数，，则__________. 29．（2026·浙江宁波·二模）已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 正态分布 考点6 23．（2026·浙江·二模）（多选）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 24．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 概率统计综合题型 考点7 25．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率． (1)求和的值； (2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）． 26．（2026·浙江·二模）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即． (1)甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算，，，的值； （ⅱ）记，求； (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由． 27．（2026·浙江金华·二模）某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 28．（2026·浙江宁波·二模）某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态的概率，若，且. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； (2)记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当时，证明：. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $