浙江北斗星盟2026届高三下学期二模数学试题

高三数学学科试题 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C D A A C B B BC AD ABD 12.2 13.（-1,1) 4 (26+8√2)π 3 15.(13分)解：(1)由正弦定理，sin AcosC=sinB+一sinC, 2分 因为B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC, 代入上式：sin AcosC=sin AcosC+cos Asin C+-sinC 2 整理得， cos4+nC=0,因为sinC0,所以cosA=-月 5分 2π 又A∈(0，π)，所以A= .6分 3 (2)因为D为BC中点，所以D=(aB+4C), 两边平方，AD-aB+ac+2484 cleos, 已知40=3，cos4=-2代入整理得：2+c2-bc=360, 8分 在△ABC中，根据余弦定理，a2=b2+c2-2 bccosA, 已知a=8cosA=-子代入整理得：6+c2+bc=64② 10分 由①②知，b2+c2=50,bc=14,又(b+c)2=b2+c2+2bc=78, 所以b+c=√78，△ABC的周长为a+b+c=8+√78 13分 16.(15分)解：(1)极差为174，第75百分位数为418： 2分 (2)设事件A表示：其中一个数据不小于400（千辆），事件B表示：另一个数据不小于400（千辆） 则P(a)=Cg+CC-9 P(AB)1 SPMB)=是-5，P(BA=P0 6分 (3)x=1+2+3+4+5+6 3.5,y= 276+312+354+386+418+450=366, 6 6 6.2-g ∑xy-6 610 ≈34.86，a=y-bx=366-34.86×3.5≈243.99， ∑年- 17.5 高三数学学科试题答案第1页（共5页） y关于x的经验回归方程为y=34.86x+243.99，,… 12分 将x=8代入回归方程，y=522.87,故预测第8年新能源车的年销量为522.87千辆.…15分 (若保留分式形式计算，以下结果也正确：方：2华，Q=24,第8年销售量5286万辆 17.(15分)解：(1)因为DE=AD=BC,AD‖BC,所以四边形BCDE为平行四边形， 3 那么BE=CD=2AE=号4B=25,满足AB+BE=AE,所以4BLBE,∠BMD=∠CDE=子 4 由余弦定理计算得：BD=O,CE=V2,CE上BC, 3分 由题意AD=√4，AB=2,满足AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD, 又AB⊥BE,BE⊥BD=B,所以AB⊥平面ABCD, .5分 而CEC平面ABCD,所以CE⊥AB,又CE⊥BC,BC∩AB=B,所以CE⊥平面ABC.7分 (2)以点B为原点，以BE,AB为x轴，y轴的正方向，以平面ABCD的一个法向量为z轴正方向， 建立空间直角坐标系0xy,其中B(0,0,0),C(1l,0),D1,3,0),E(0,2,0)8分 设点A(2cosa,0,2sina)，a∈[0,2π]，平面A,BE的法向量为n,=(x,片，)， BE=(0,2,0),B4=(2cosa,0,2sina), '2 cosa+25sna=0'令x=sina,得m=(6na,0-cosa）,…10分 BE.n,=02y1=0 BA,·n=0 设平面ACD的法向量为n2=(x2,2,2)，CD=(0,2,0),CA=(2cosa-1,-1,2sina) CD.n=0 2y2=0 令x2=2sina,得n=(2sina,0,1-2cosa),12分 CA·n2=0 (2cosa-1)x2+2=2 sina=0 n1·n2 2-cosa 2-cosa cos0= 网 V4sin2a+(1-2cosa月 5-4cosa 2-5 2+ 令1=5-4cosa∈[l,3,cos0=4=+3≥5 (当且仅当1=√5时取等) t 41 2 所以cosB的最小值为5 15分 高三数学学科试题答案第2页（共5页） A E D 小 C 17(1)图示 17(2)图示 1817分)解：1)因为双曲线C离心率为2，故e=6+ =4,解得b2=3a2, 3 联立 01,可知xw= B(a2+ .2分 y=1 由题意MN= 2V3(a2+_45 ，解得：a=1,故双曲线C方程为x2-上 =1; 3 3 4分 （2)(D不纺设Da)(.25m<25且m±3-5)，H, 3 3 3 krakpn=-1 yo=3 由椭圆第三定义知， m+1x0-1 g4i8=b=3 ,解得x0=m,y0=3(m2-),9分 m-1x0+1 即Hmm2-》(25<m<25且m≠士3-5)，此时DH⊥B, <m< 3 3 3 四边形ADBH的面积S=2M卧DH=4-3m=4-3m2≤4，当且仅当m=0时取等， 所以四边形ADBH的面积最大值为4. 12分 (i)先证以下推论：过抛物线x2=2py(y>0)的焦点F作倾斜角为a的直线1交抛物线于A,B两 点，此时，以AF为直径的圆与x轴相切， 证明：不妨设线段AF的中点为N,原点O,y轴与准线的交点K,以AF为直径的⊙W半径为R, 过A作直线AA,⊥x轴于A,交准线于A,过N作直线NN。⊥x轴于N。,交准线于N,, NNOF+AA二+AF-之三R,而N上抽，故ON与r轴相场 …14分 2 2 由（2)得，点Hm3m2-1》在抛物线x2=0+3)上，其中-25<x<25 <X< 3 3 结合推论可知，其焦点T0,准线为y名，以7H为直径的圆恒与直线T:y三—3相切 12 高三数学学科试题答案第3页（共5页） 即所求定点为焦点T0,-35,定直线为直线'：y=-3. 17分 12 18(3)图示 18(2)图示 19.（17分)解：(1)①是“上域函数”，②③是“下域函数”；…3分 (2)由题意知，当x∈[0，+o)时，n(x+1)之 r+2 整理得：=0时，加(：+)年2，符合题意：当x≠0时，应有5+2nK+ 5分 构造函数f)-区+2)n+D,xe(0,+o) f-+2到-2x+9n+,令g国=+2)-2x+hx+,xe(0,+o, (x+1)x2 当x∈(0，+o)时，g'(x)=2x-2In(x+1)≥0，所以g(x)在(0，+o)上递增， 因为8(0)=0，所以当x∈(0，+∞)时，8(0)>0，f'(x)>0, 故f(x)在(0，+oo）上单调递增，而x一→0*时，f(x)→2*… 8分 综上，若要满足k≤f(x),k的取值范围为(0,2] 9分 (3)构造函数f(x)=x-ln(1+x),x∈[0，+o), 代入x22)2-h}2-6x+2-n-明， 累加得： 2)-2-+2)-h]-交h+ 高三数学学科试题答案第4页（共5页） 故仅需证： /(}号-2n2eN. 12分 构造函数86)=f)-=x--n0+xxe0,+四)，其中g0)=0, g'(x)= ≤0，g(x)在0，+∞)上单调递减，8()≤8(0)=0 1+x ()=x-In(l+)s xe[0+), 当1≥2时， 品)品-司 15分 })品昼引》】 h4+引非司）-号-2h222号-21n2,原命题得证17分 高三数学学科试题答案第5页（共5页）绝密★考试结束前 高三数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名：考场号、座位号写在指定位置： 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|0≤1nx≤1}，则A∩B=（ A.01} B.1,2} C.{0,1,2} D.{1,2,3} 2.已知函数f)=sinx,则f(受)=（ B月 D. 5 2 2 3.已知圆0：x2+y2=4, 过点P(0,-4)作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为() A. 2π 3 B c D.3 4.已知a,b是两个不共线的向量，且AB=2ā+5b,BC=a+2b,CD=-a-3b,则四边形ABCD的 形状是（ A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.无法构成四边形 5.AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换 为二进制形式存储和处理.设正整数n=a。2°+a2+…+ak-12+a4·2*,其中a,∈{0，}， i=0,1,2,…,k.记p(n)=a。+a,+…+ak.则p(26)=（) A.3 B.2 C.1 D.26 6.已知a,beR且a,b>0,若函数f)-。+e_bc0sx有唯一零点，则2a+b的最小值为() a A.2W2 B.3√2 C.42 D.5√2 7.已知椭圆C:兰+二=1，R,乃为椭圆C的左、右焦点，点P为椭圆C上在第一象限内的一点， 4 3 且△FPF的面积为)，则∠P的角平分线所在的直线方程为(） A.2x-2y+1=0 B.4x-2y-1=0 C.8x-2y-5=0D.3x-2y=0 8.如图所示，由4个边长为1的小正方形拼成一个边长为2的大正方形网格，质点从顶点A出发， 沿着网格线运动至顶点B停止，规定运动过程中任意顶点（含起点和终点）均不可重复经过.设随 机变量X表示质点从A到B经过的路径总长度，若质点所有可能的运动路径是等可能的，则E(X)= ) A. 16 26 B C. D 2 3 5 第8题图 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.若经过点P(2,4)的直线与抛物线C:y2=2x(p>0)恒有公共点，则C的准线可能是( A.x=-1 B.x=-4 C.x=-2 D.x=-√2 10.已知函数f(x)=sin @x+COS @x(w>0),则下列说法正确的是( ) A.若=1，则f(在(-乏0)上单调递增 B.若（受）=1，则0的最小值为1 C.若将函数∫()的图象向右平移牙个单位，所得图象与f()关于y轴对称，则@的最小值为3 D.若f()在（号，）上无零点，则o的取值范围为 [ 11.“杨辉三角”由南宋数学家杨辉在所著《详解九章算法》中首次提出，它揭示了二项式系数在 三角形数表中的几何排列规律.如图所示，记“杨辉三角”第i行第j个数为(i,),并由此构造新 的P数表，记P数表的第i行第j个数为P(,),满足P(,)=(U-1)·a(,),P数表第n行所有 数字之和记为4n,则下列说法正确的是（ A.P(4,4)=12 第1行 11 B.当i≥2，j≥2时，P(i,j)=ia(i-1,j-1) 第2行 121 第3行 1331 C.a5除以7的余数为1 第4行 14641 1 1 1 第5行 1510105:1 D. II sin au tan1 tan 2 i+1 第11题图杨辉三角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知aeR,若复数十a是纯虚数，则实数a的值为 2-i 13.若函数∫(x)=x3-3x在区间(m,m+2)上存在最小值-2，则实数m的取值范围是 14.已知正四面体A-BCD的棱长为2√6，点E为△BCD的重心，点P在正四面体表面上的动点， 且满足点P到点E的距离恒为26 ，则点P的运动轨迹的总长度为 非选择题部分 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC=b+三c. (1)求角A的大小： (2)已知BC=8,D为BC的中点，且AD=3,求△ABC的周长， 16.(15分)近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了 连续6年的年度销售数据，设年份编码为x(第1年、第2年…第6年)，年度总销量为y(单位： 千辆)，对应数据如下： 年份编码X 1 2 3 4 5 6 销售量y 276 312 354 386 418 450 (1)求这6年销售量数据的极差与第75百分位数； (2)从这6年销售量数据中随机抽取2个数据，已知其中一个数据不小于400（千辆），求另一个 数据也不小于400（千辆)的概率： (3)销售量y与年份编码x具有较强的线性相关关系，试求y关于x的经验回归方程，并预测第8 年该市新能源汽车的年度销售量（单位：千辆，结果保留小数后两位)· 参书公式及数据：《1立以=296()6-北- 2- ，a=y-bx】 17.（15分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD=3BC=3√2，AB=2,点E是边AD上靠近点D的 三等分点，将△ABE沿直线BE翻折至△ABE的位置. (1)若AD=V14,求证：CE⊥平面ABC: (2)记平面ABE与平面ACD的夹角为0，求cos0的最小值. 第17题图 1817分)已知双击线C若茶-1(a>0,b>0的离心率为2，直线1：71与双线C交于MN 两点，且=45 3 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A,B是双曲线C的左右顶点，点D是线段MN上一点（异于M,N两点），直线AD与双曲 线C交于点P,直线BD与双曲线C交于点，直线AQ与直线BP交于点H. (i)求四边形ADBH面积的最大值； ()是否存在定点T,使得以TH为直径的圆始终与某条定直线1'相切？若存在，求出该定点T的 坐标；若不存在，请说明理由. 19.(17分)对于定义在区间1上的函数f(x),8(x),若对x∈1，都有f()≤g(x),则称g(x)为 f(x)在区间I上的“上域函数”；若对x∈1，都有f(x)之(x),则称g(x)为f()在区间1上的 “下域函数”. (1)试判断以下函数中，哪些是y=l血(x+1)在[0，+∞)上的“上域函数”？哪些是y=l血(x+1)在 [0,+∞)上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） :国y=+x: ①y=x;②y=x (2)已知实数k>0,y=位是y=h(x+1)在区间[0，+)上的“下域函数”，求实数k的取值范围： x+2 (3)求证：】 3品-+列<号-22eN).