精品解析：浙江省精诚联盟2026届高三下学期第二次模拟练习数学试题

高三数学学科练习 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数若，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（ ） A. 13个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 6. 已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 8. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 的图象关于点对称 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为，为的左顶点，过点且与直线垂直的直线与轴相交于点，且.，为双曲线上关于坐标原点对称的两点（点在第一象限），记直线，的倾斜角分别为，.则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 直线与双曲线有两个公共点 C. D. 11. 已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________. 13. 已知，则________. 14. 甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为的小球，则甲获胜.如果甲在第次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为，若，则正整数的最大值为________.（参考数据：取，.） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，，且对，. （1）求； （2）证明：. 16. 睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间（单位：h）对睡眠质量的影响，对100位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格： 轻度睡眠障碍人数 1 2 3 1 2 重度睡眠障碍人数 4 3 6 4 4 睡眠质量良好人数 25 25 11 5 4 总人数 30 30 20 10 10 （1）由表中的数据求这100人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）从这100人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率； （3）若平均每天使用电子产品的时间大于等于4小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关. 睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计 超标 不超标 良好 障碍（包括轻度和重度） 合计 100 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，且的外接圆半径为. （1）求的方程； （2）已知点，为上异于，的点，分别以，，为切点作的切线，，，且直线与交于点，直线与线段，分别交于点，，求面积的最大值. 19. 已知函数的导函数为. （1）求函数的单调区间； （2）试判断函数在上的极值点个数； （3）已知，，记，，若且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科练习 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由复数除法求，再由虚部概念确定答案. 【详解】，所以复数的虚部为，故选A. 2. 已知全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题，， 所以. 3. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 5. 从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（ ） A. 13个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 【答案】A 【解析】 【详解】满足条件的3位数可由或或或构成， 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个； 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个. 故共有个. 6. 已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求得的外接圆半径，结合三棱锥的高建立勾股关系，进而可求三棱锥的体积. 【详解】的外接圆半径，又三棱锥的外接球半径， 设该三棱锥的高为，所以，即，得， 所以三棱锥的体积. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 8. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，即， 因为，所以，A错误； 因为，所以，即， 解得，因为，所以，B正确； 因为的最小正周期为，所以，又 即，解得，，C正确； 由上可得，令， 得，所以的对称中心为， 取即得的图象关于点对称，D正确. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为，为的左顶点，过点且与直线垂直的直线与轴相交于点，且.，为双曲线上关于坐标原点对称的两点（点在第一象限），记直线，的倾斜角分别为，.则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 直线与双曲线有两个公共点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，由题可知，易得直线：，则， 设坐标原点为，则，即，又， 代入整理得，即，A正确； 对于选项B，因为，可得， 所以直线：，与的渐近线平行；所以直线与双曲线有且仅有一个公共点，B错误； 对于选项C，因为，设，则， 又， 当时，取得最小值，所以，C正确； 对于选项D，由双曲线的对称性得，则，， 因为，由，可得， 可知， 所以， 因为点在第一象限，所以，因为为左顶点，所以， 所以，故， 所以，即，D正确. 11. 已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过变量替换转化题干给出的两个恒成立关系式，结合赋值法、函数奇偶性与对称性判定规则、周期推导及数列求和方法逐一判断选项. 【详解】对于A，在和中，令得，， 联立解得，A正确； 对于B，由得，所以函数的图象关于点对称， 故函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，B正确； 对于C，由得，故， 则函数的图象关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，C错误； 对于D，因为，所以， 即， 所以，， 故，D正确. 【点睛】方法点睛：解决抽象函数性质问题的核心是通过合理的变量替换，将题干给出的恒等式转化为目标函数对应的性质关系，结合赋值法推导特殊点函数值，利用对称性、奇偶性、周期性的判定规则逐一验证结论. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】为单位向量，， 向量在向量方向上的投影向量为， . 13. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方和的关系，将转化为关于的式子，解出的值，进而求出的值. 【详解】解：由得， 分子分母同时除以得， 所以，故，且， 解得， 所以. 14. 甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为的小球，则甲获胜.如果甲在第次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为，若，则正整数的最大值为________.（参考数据：取，.） 【答案】4 【解析】 【分析】先求出时的通项公式，再令求的最大值即可. 【详解】对于，，满足条件， 当时，， 令，得，不等式两边取常用对数得， 即，解得，所以正整数的最大值为4. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，，且对，. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件化简递推公式，再根据累乘法求出通项公式； （2）由（1）可知数列为等差数列，前项和为，由裂项相消求和即可得出证明. 【小问1详解】 解：（1）由题意得①， 当时，②，联立①②，解得， 又， 当时，，，，， 由累乘可得，所以，又符合上式， 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）知数列为等差数列，则， 所以， 故， 因为，所以得证. 16. 睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间（单位：h）对睡眠质量的影响，对100位志愿者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格： 轻度睡眠障碍人数 1 2 3 1 2 重度睡眠障碍人数 4 3 6 4 4 睡眠质量良好人数 25 25 11 5 4 总人数 30 30 20 10 10 （1）由表中的数据求这100人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）从这100人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在内的概率； （3）若平均每天使用电子产品的时间大于等于4小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关. 睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计 超标 不超标 良好 障碍（包括轻度和重度） 合计 100 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）3.8小时 （2） （3）表格见解析，认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关. 【解析】 【小问1详解】 设这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为， 则， 所以这100人平均每天使用电子产品时间的估计值为3.8小时. 【小问2详解】 设：此人轻度睡眠障碍；：此人平均每天使用电子产品的时间在内， 则，， 所以. 【小问3详解】 由表中数据得列联表如下： 睡眠质量 平均每天使用电子产品的时间 合计 超标 不超标 良好 20 50 70 障碍（包括轻度和重度） 20 10 30 合计 40 60 100 零假设为：睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间无关， 根据列联表中的数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和平面的法向量，根据面面角的向量求法，求出面面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 因为和均是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，又因为为的中点，所以， 因为，所以，因为，， 且平面，所以平面， 因为平面，所以，因为， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，所以，所以， 因为，，，所以平面， 所以，取中点，连接，则三条直线，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，因为，故， 得到，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，且的外接圆半径为. （1）求的方程； （2）已知点，为上异于，的点，分别以，，为切点作的切线，，，且直线与交于点，直线与线段，分别交于点，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）8. 【解析】 【分析】(1) 由抛物线的标准形式先确定焦点的坐标，结合、两点的已知坐标，利用正弦定理建立关于的方程，求解得到的取值即可确定抛物线的标准方程. (2) 结合(1)中求得的值确定、两点的坐标，先推导抛物线过切点的切线公式，依次求出切线与的交点的坐标、过点的切线与线段、的交点、的坐标，将 的面积转化为关于点坐标参数的函数，再借助函数单调性或基本不等式求解面积的最大值. 【小问1详解】 由题，，，， 由正弦定理得的外接圆半径， 解得，所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，设直线：， 与抛物线方程联立，得 ， 则 ，得， 所以：，同理可得：， 联立与的方程，得， 设，直线： ， 由，得， 由 得或， 当时，直线：，与直线重合， 此时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，直线：，即， 与直线：联立可得， 点到直线的距离， 又， 所以， 因为，所以当时，取得最大值8， 所以面积的最大值为8. 19. 已知函数的导函数为. （1）求函数的单调区间； （2）试判断函数在上的极值点个数； （3）已知，，记，，若且，证明：. 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间； （2）对不断求导，直到可以判断导函数正负为止，结合零点存在定理可最终推导说明在上的正负，进而确定单调性，根据极值点定义可得结论； （3）根据（2）中结论可得当时，，则可证；根据的单调性，通过构造函数，结合导数和最值可证得，由此可证得结论. 【小问1详解】 由题意知：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. 【小问2详解】 ，， 令，则， 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上有唯一的极大值点，不存在极小值点， 在上的极值点个数为. 【小问3详解】 由（2）知：当时，，即， ，，，对任意都成立， ，即； 令，则， 令，则， 则当时，，，即在上单调递增， 令，且， 则，在上单调递增， ，， ， 即； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $