2026年高考数学临考冲刺卷01（北京卷）2026年高考数学终极冲刺讲练测

2026年高考数学三轮临考冲刺卷01（北京卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1. 【答案】B 【解析】因为， 所以. 2．若复数，则（   ） A． B． C． D． 2. 【答案】A 【解析】解：. 3．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3.【答案】B 【解析】抛物线的焦点在纵轴上，且开口向上，可得，则，所以准线方程为. 4．设的三个角A，B，C，所对的边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 4.【答案】C 【解析】由正弦定理 得,故， 则． 5．函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.【答案】D 【解析】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 6．（新考法预测）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 6.【答案】B 【解析】因为， 所以展开式的通项为. 令，得， 所以常数项为. 7．已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.【答案】B 【解析】因为数列是公比为的等比数列，若，则， 即，由于，即，解得：或， 若，则， 由于，，则，即成立， 综上“”是“”的必要不充分条件 8．在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 8.【答案】D 【解析】设，已知，则, 由得：,整理配方得:, 即的轨迹是圆心为，半径的圆. 由直线，得：，可知直线恒过定点. 因为直线上存在点满足条件，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离. 因为圆心到直线的距离：， 所以， 即，故选项D，满足. 9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 9.【答案】B 【解析】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 10．（新考法预测）定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（     ） A． B． C． D． 10.【答案】A 【解析】因为行列式运算 ， 则函数，得， 即， 因为， 所以，即， 即，即时，求得最小值， 此时对于任意的，都有， 则的最小值为. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为___________ 11. 【答案】 【详解】由题意可得焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因为一条渐近线经过点，所以， 故双曲线的离心率为. 12．已知为锐角，，则__________． 12. 【答案】 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. 13．（新考法预测）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 13.【答案】 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 14．（新考法预测）将边长分别为的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为，则_________，前个阴影部分图形的面积的平均值为__________． 14.【答案】 【详解】根据图形知： 前项和为： 故前个阴影部分图形的面积的平均值为. 故答案为； 15．已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图象关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 15.【答案】①②④ 【详解】取，得， 即，解得或（舍去）， 所以，①正确； 令，得， 整理得，故是偶函数，②正确； 的定义域为， 若的图象关于点对称，则, 中取，得， 又，所以， 所以的图象不关于点对称，故③错误； 用代换中的,并结合函数为偶函数，可得，得， 所以，④正确. 综上所述，正确结论的序号为①②④. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知函数. (1)求的值； (2)从条件①､条件②､条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当时，的值域为，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16. （13分） 【解析】（1）因为函数 ， 所以. （2）选①②：在上单调，令，则, 所以区间长度为，得. 当时，区间的左端点，要使函数单调，只能是单调递增， 所以区间的右端点，解得. 当时，区间的左端点，区间的右端点，函数在区间上单调递减，符合要求. 由条件②：图象的一个对称中心为，所以，且， 解得，即. 综上所述， . 所以函数. 因为当时，，要使函数的值域为， 所以，解得. 所以的取值范围为. 选①③：在上单调，令，则, 所以区间长度为，得. 当时，区间的左端点，要使函数单调，只能是单调递增， 所以区间的右端点，解得. 当时，区间的左端点，区间的右端点，函数在区间上单调递减，符合要求. 由条件③：对任意的，都有成立，所以是函数的最大值点， 所以，得，即. 综上所述， . 所以函数. 因为当时，，要使函数的值域为， 所以，解得. 所以的取值范围为. 17．（14分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值 17．（14分） 【解析】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 18．（13分） 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康､文明､快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； (2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 18．（13分） 【解析】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为； （2）依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 13 12 7 5 4 内初中生的总运动时间， 内高中生的总运动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 19．（15分） 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． (1)求的方程． (2)已知点，过点且斜率为的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，，分别为，的中点，且． （i）若与重合，求． （ii）判断直线是否过定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 19．（15分） 【解析】（1）设，则，则的方程为． 因为经过点，所以，得． 故的方程为． （2）（i）设，，由 得， 得， 则． 故． （ii）直线．由，得． 由得， 则 因为，所以的坐标为． 同理可得的坐标为． 又 ， 所以直线的方程为. 因为，所以直线过定点． 20．（15分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，求证 20．（15分） 【解析】（1）由题意知，， 函数的定义域为，设， ，令，则或， ①当，即时，对恒成立， 即，在单调递增， ②当，即或时，方程， 有两不等实根， 当时，由韦达定理，， 此时两根一正一负，当， ，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 当时，由韦达定理，， 此时两根为正，且当， ，所以在和上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 综上所述：当在单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）知有两个极值点，时， ，，， ， ， ， 令，则， 设，，其中， 所以，即单调递减，又因为， 所以，即在单调递减，所以 即，证毕. 21．（15分） 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 21．（15分） 【解析】（1）因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. （2）假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学三轮临考冲刺卷01（北京卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．设的三个角A，B，C，所对的边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 5．函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（新考法预测）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 7．已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 10．（新考法预测）定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为___________ 12．已知为锐角，，则__________． 13．（新考法预测）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 14．（新考法预测）将边长分别为的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为，则_________，前个阴影部分图形的面积的平均值为__________． 15．已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图象关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知函数. (1)求的值； (2)从条件①､条件②､条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当时，的值域为，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．（14分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值 18．（13分） 每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康､文明､快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； (2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 19．（15分） 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． (1)求的方程． (2)已知点，过点且斜率为的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，，分别为，的中点，且． （i）若与重合，求． （ii）判断直线是否过定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 20．（15分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，求证 21．已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学三轮临考冲刺卷01（北京卷通用） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B C D B B D B A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14. ; 15. ①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （13分） 【解析】（1）因为函数 ， 所以.（4分） （2）选①②：在上单调，令，则, 所以区间长度为，得.（6分） 当时，区间的左端点，要使函数单调，只能是单调递增， 所以区间的右端点，解得.（8分） 当时，区间的左端点，区间的右端点，函数在区间上单调递减，符合要求. 由条件②：图象的一个对称中心为，所以，且， 解得，即. 综上所述， .（10分） 所以函数. 因为当时，，要使函数的值域为， 所以，解得. 所以的取值范围为.（13分） 选①③：在上单调，令，则, 所以区间长度为，得.（6分） 当时，区间的左端点，要使函数单调，只能是单调递增， 所以区间的右端点，解得.（8分） 当时，区间的左端点，区间的右端点，函数在区间上单调递减，符合要求. 由条件③：对任意的，都有成立，所以是函数的最大值点， 所以，得，即. 综上所述， .（10分） 所以函数. 因为当时，，要使函数的值域为， 所以，解得. 所以的取值范围为.（13分） 17．（14分） 【解析】（1） 设的中点为，连接.（1分） 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以，（3分） 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面.（6分） （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 （7分） 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得.（8分） 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即；（10分） 平面的一个法向量为；（12分） 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为.（14分） 18．（13分） 【解析】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为；（3分） （2）依题意，的所有可能值为0，1，2，（5分） 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，（7分） 记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ，（8分） 所以的分布列为： 的数学期望；（10分） （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 13 12 7 5 4 内初中生的总运动时间， 内高中生的总运动时间， 则， ， ， 由，得，解得.（13分） 19．（15分） 【解析】（1）设，则，则的方程为． 因为经过点，所以，得． 故的方程为．（4分） （2）（i）设，，由 得， 得， 则． 故．（7分） （ii）直线．由，得． 由得， 则 因为，所以的坐标为．（9分） 同理可得的坐标为．（11分） 又 ， 所以直线的方程为.（13分） 因为，所以直线过定点．（15分） 20．（15分） 【解析】（1）由题意知，， 函数的定义域为，设， ，令，则或，（2分） ①当，即时，对恒成立， 即，在单调递增，（3分） ②当，即或时，方程， 有两不等实根，（4分） 当时，由韦达定理，， 此时两根一正一负，当， ，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增，（6分） 当时，由韦达定理，， 此时两根为正，且当， ，所以在和上单调递增， 当，，所以在上单调递减，（8分） 综上所述：当在单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减，（9分） （2）由（1）知有两个极值点，时， ，，，（10分） ， ， ，（12分） 令，则， 设，，其中，（13分） 所以，即单调递减，又因为， 所以，即在单调递减，所以 即，证毕.（15分） 21．（15分） 【解析】（1）因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；.（2分） （2）假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数．（5分） 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列．（7分） （3）当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1．（8分） 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，．（10分） ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）．（13分） ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，．（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $