重庆市文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试数学学科试题

**基本信息** 以智能采茶机器人、民族服饰花边等现实与文化情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础题、综合题、创新题梯度设计，考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配九年级期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|倒数、三视图、反比例函数、位似、切线、规律探究等|第8题以民族服饰花边考数列规律，体现文化传承与抽象能力| |填空题|6/24|概率、增长率、绝对值方程、圆与等腰三角形、新定义“吉量数”|第16题“吉量数”结合数论与代数变形，考查推理意识| |解答题(8分)|2/16|不等式组、平行四边形证明|第18题通过作图与推理填空，强化几何直观与逻辑推理| |解答题(10分)|7/70|统计分析、方程应用、动点几何、解三角形、二次函数综合、几何综合|21题智能采茶机器人考方程应用，25题几何综合考翻折与动态最值，体现模型意识与创新思维|

文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试 数学学科试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．2026的倒数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠1＝54°，则∠2的大小是（　　） A．32° B．30° C．24° D．22° 4．反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 5．2026年春节期间，重庆动物园单日最高客流量达到91000人次．将数字“91000”用科学记数法表示为（　　） A．91×103 B．9.1×103 C．9.1×104 D．0.91×105 6． 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 7．如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，若∠A＝62°，则∠P的度数为（　　） A．72° B．48° C．65° D．56° 8．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 9．如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM，CN，点P，Q分别为CN，DM中点，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．已知整式，其中 为正整数， ...，为自然数，整数满足，。定义整式M的“加权值”，下列说法： ①当时，不等式的解集为： ②当，时，的最小值为17： ③满足条件的M的所有二次三项式的和取最小值时，。 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是　 　 ． 12．若n为正整数，且满足，则n＝　 　 ． 13．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 　 　 ． 14．若x﹣|y|＝7，|x|﹣2y＝4，则xy＝　 　 ． 15．如图，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC＝5，BC＝6．连接AO并延长交⊙O于点D，∠ABC的角平分线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF，则AF的长度为　 　 ． 16． 若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”．例如：四位数4521，∵4+2＝6，5+1＝6，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是　 　 ；若“吉量数”M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤5，1≤b≤5，1≤c≤9，1≤d≤9，且a，b，c，d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为M1，将M1的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为M2，记．若F（M）是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为　 　 ． 三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17.求不等式组：的整数解. 18. 数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、F，使∠DAE∠BCF.这样所得的四边形AECF是平行四边形.请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF∠DAE，交直线DB于点F，连接AF(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O，点E、F是直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，∠BCF∠DAE.求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，① ， ∴∠ADB∠CBD ∴180°∠ADB180°∠CBD， ∴② ． 在△EDA和△FBC中：， ∴△EDA≌△FBC(ASA)， ∴AE=CF，③ ， ∴④ ， ∴四边形AECF是平行四边形. 四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19.为了解文峰初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛.现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分(成绩得分用x表示，共分成四组：A.90x100；B.80x90；C.70x80；D.60x70；)，下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100. 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88. 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a_______，b_______，m_______； (2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)； (3)学校八年级有1100名学生，九年级有1000名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀(80x100)的学生共有多少名？ 20.先化简，再求值：，其中x满足. 21.列方程解下列问题： 为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业.经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片. (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值. 22.如图1，矩形ABCD中，AB3cm，BC4cm，动点P以1cm/s的速度从点B沿折线B→A→C运动（不与点B，C重合），连接PC、PB，同时，动点Q以0.5cm/s的速度从点A出发沿AC运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动。过点Q作QH⊥AD于点H，设点P的运动时间为x（单位：s），记△PBC的面积为y1，记△ACD与△AQH的周长比为y2，请回答下列问题： (1)请直接写出y1、y2分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当y1 > y2时x的取值范围.(近似值保留一位小数，误差不超过0.2) 23.如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东30° 方向距离60海里处，位于岛屿C的北偏西45°方向，岛屿C位于补给中心A的正东方.(参考数据：，) (1)求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；(结果保留到小数点后一位) (2)某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群.补给中心A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从A出发(接受信号及通知时间忽略不计)，沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞.当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业.请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？(结果保留根号) 24.如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2,0），B，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为. (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点A作交y轴于点E，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PE，AP，抛物线对称轴上有一动点N，过点N作MN⊥y轴于点M，连接PM，BN，当△AEP的面积与△AOC面积之差最大时，求点P的坐标和PM +BN+MN的最小值； (3)将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′恰好经过点C，点D为原抛物线的顶点，在新抛物线y′上是否存在点Q，使得∠BDQ+∠CBO=45°.请写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q横坐标的求解过程. 25.如图，在中，ABAC，∠C60°，点D在AC上，延长CB至点E，连接DE交AB于点F. (1)如图1，连接BD，当DFBF，∠DBCα时，求∠E的度数(用含α的代数式表示)； (2)如图2，点G为线段BE上一点，当ADBG，BECG时，求证：； (3)如图3，当AB4，BE8时，点M、N分别为射线EB、CA上的动点，始终满足EMCN，连接BN，将沿BN翻折，点C的对应点为P，连接AM、MN、PM、PN，当AMBN取得最小值时，直接写出的面积. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $开州区文峰初中教共体 ( 文峰初中 教共体 202 6 年春季学期九年级 期中测试 数学学科答题卡 ) ( 20.（10分） 先化简 ， 再求值 ： ， 其中 x 满足 2 1 .（ 10分） ) ( （8分） 19.（10分） （1） a ，b ，m ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域 外 的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域 外 的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，黑色矩形边框限定区域 外 的答题无效 ) ( 条形码粘贴区 ) ( 特别注意 1、作答时请勿超出实线答题区 2、一定要规范填涂，涂黑涂正 ) ( 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 A B C D 5 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 二、填空题 （每小题4分，共 2 4 分） 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 17 . （ 8分） 求 不等式组 ： 的整数解 . ) ( 姓名： 班级： 考 号： ) ( 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域 外 的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域 外 的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域 外 的答案无效 ) ( 2 5 . （ 10分 ） ) ( 2 2424 24. （10分） ) ( 22.（10分） 23.（10分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试 数学学科试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 一。选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.2026的倒数是（) A.-2026 B.2026 C. 1 D. 1 2026 2026 2.如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是() 正面 3.把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间， 30 若∠1=54°，则∠2的大小是() A.32 B.30° C.24° D.22° 4.反比例函数y=6的图象所在象限为( A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限 5.2026年春节期间，重庆动物园单日最高客流量达到91000人次.将数字“91000”用科学记 数法表示为() A.91×103 B.9.1×103 C.9.1×104 D.0.91×105 6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO:OE=2:1, 则△ABC与△DEF的面积之比是() A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 7.如图，PB,PC是⊙O的两条切线，切点分别为B,C,若∠A=62°，则∠P的度数为() A.72° B.48° C.65° D.56° 第1页（共6页） 8.如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基 本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这 一规律，第8个图案中基本图形的个数为() X XX 第1个 第2个 第3个 A.22 B.25 C.28 D.31 9.如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上， 连接DM,CN,点P,9分别为CN,DM中点，若√2CI=BN, CM1 BC 3 Q 则Q的值为() AB A司 B.V5 C.⑤ D.V5 B M C 2 6 10.已知整式M=anx+an-1x-1+a-x-2+…+ax+a。,其中n,an为正整数，a,a,,an1为 自然数，整数a,满足a+a=8,+4+a2+.+a=6。定义整式M的“加权值” M'=(n+1)ax+n0-1x-+(n-1)-2x-2++2ax+a,，下列说法： ①当n=1时，不等式M≤5的解集为x≤气： ②当x=1,n=3时，M'的最小值为17： ③满足条件的M的所有二次三项式的和取最小值时，x=-3 6 其中正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 二。填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上。 11.家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四 川宜宾)后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率 是 12.若n为正整数，且满足n<√37<n+1,则n= 13.某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则 增长率为 第2页（共6页） 14.若x-y=7,-2y=4,则x= 15.如图，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB=AC=5,BC=6.连接AO并延长交⊙O于点D,∠ABC的角 平分线交AD于点E,交⊙O于点F,连接AF,则AF的长度为 D 16.若一个四位自然数=abcd各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百 位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”.例如：四位数4521，.4+2=6， 5+1=6,6为6的倍数，.4521为“吉量数”.按照这个规定，最大的“吉量数”是 若“吉量数”M=1000a什100b+10c+d(1≤a≤5,1≤b≤5,1≤c≤9,1≤d≤9，且a,b,c, d均为整数)的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数 记为M,将M1的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四 位数为M,记F(W)-1L2.若r(0是5的倍数，且ba+11是一个完全平方数，则满足 101 条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或 推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 5-3x≤x+9 17.求不等式组： 1+3x 的整数解， +1>2x 2 18.数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、 F,使∠DAE=∠BCF.这样所得的四边形AECF是平行四边形.请根据他们的思路完成以下作图 和推理填空： (I)如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF=∠DAE,交直线DB于点F,连接AF(不写作法，保 留作图痕迹) (2)已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O,点E、F是 直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF,∠BCF=∠DAE.求证：四边 形AECF是平行四边形 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,① ∴.∠ADB=∠CBD ∴.180°-∠ADB=180°-∠CBD, ∴.② 第3页（共6页) [∠EDA=∠FBC 在△EDA和△FBC中： AD=BC ∠DAE=∠BCF ,∴.△EDA≌△FBC(ASA), ∴.AE=CF,③J .④ .四边形AECF是平行四边形 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程 或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. l9.为了解文峰初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞 赛.现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、 分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.90<x≤100： B.80<x≤90：C.70<x≤80；D.60<x≤70；)，下面给出了部分信息： 八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65,66,70,75,77,81,82,82，八、九年级所抽学生的 82,83,84,87,88,89,92,95,96,98,98,100. 竞赛成绩统计表 九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81,82,85,86， 年级 八年级九年级 87,88. 平均数 84.5 84.5 根据以上信息，解答下列问题： 中位数 83.5 b (1)填空：a=,b= 众数 a 79 (2)请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生 方差 102.75 122.5 的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； 九年级所抽学生的竞赛成绩 (3)学校八年级有1100名学生，九年级有1000名学生，请估计八年级 统计图 和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（⑧0<x≤100）的学生共有多少 D 名？ 15% A 25% C m B 20.先化简，再求值：+x+)-6x+列+(4x牛号其中x满足2=m60+(-. 21。列方程解下列问题： 为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业.经测试，每分钟一名 工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10 分钟，共采茶450片. (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数： (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片 茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名 工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值. 第4页（共6页） 22.如图1，矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4Cm,动点P以1cm/s的速度从点B沿折线B→A→C运动 (不与点B,C重合)，连接PCPB,同时，动点Q以0.5Cm/s的速度从点A出发沿AC运动， 当点P停止运动时点Q也随之停止运动。过点Q作HLAD于点H,设点P的运动时间为x(单 位：s),记△PBC的面积为y,记△ACD与△AQH的周长比为，请回答下列问题： (1)请直接写出乃、y分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数y、乃2的图象，并写出函数y的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当y>y时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） H ↑y A 10 B 图1 0123456789x 图2 23.如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东30方向距离60海里处，位于岛屿C的 北偏西45°方向，岛屿C位于补给中心A的正东方.（参考数据：√3≈1.73，√6≈2.45) (1)求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给 中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼 群.补给中心A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从A出发（接 受信号及通知时间忽略不计)，沿正北方向以每小时303海里的速 30 度前往协同捕捞.当两船相距20万海里时，它们开始启动协同捕鱼 作业.请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 24.如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+3(a≠0)与x轴交于点A（-2,0),B,与y轴交于点 C,连接BC,抛物线对称轴为x=2. (1)求抛物线的函数解析式： (2)过点A作AE∥BC交y轴于点E,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PE,AP,抛物 线对称轴上有一动点N,过点N作MNL⊥y轴于点M,连接PM,BN,当△AEP的面积与△AOC面 积之差最大时，求点P的坐标和PM+B4N的最小值； (3)将抛物线y=2+bx+3a≠0)沿射线AC方向平移得到新抛物线y',新抛物线y'恰好经过点 C,点D为原抛物线的顶点，在新抛物线y上是否存在点Q,使得∠BDQ+∠CB045°.请写出 所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q横坐标的求解过程。 第5页（共6页） 25,如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=60?点D在AC上，延长CB至点E,连接DE交AB于点F. (I)如图1，连接BD,当DF=BF,∠DBC=a时，求∠E的度数（用含a的代数式表示）； (2)如图2，点G为线段BE上一点，当AD=BG,BE=CG时，求证：DE=√3AG; (3)如图3，当AB=4,BE=8时，点MW分别为射线EB、CA上的动点，始终满足EM=CW,连接BW 将△BCN沿BW翻折，点C的对应点为P,连接AM MN PM PN,当AM+BW取得最小值时，直接 写出△PMN的面积. D G B 图1 图2 D N 图3 E B 备用图 第6页（共6页）