专题10 三角形（9大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 2026年多地一模三角形专题试题汇编，覆盖9大核心考点，融合文化情境与动态探究，注重基础巩固与综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题覆盖|含三角形线段、全等判定、勾股定理等，如考点03全等判定结合旋转综合题|情境化（如“抖空竹”民俗）、动态化（平移/旋转探究），贴合一模命题趋势|

专题10 三角形 9大考点概览 考点01与三角形有关的线段 考点02与三角形有关的角 考点03三角形全等的判定 考点04角平分线的性质与判定 考点05等腰三角形的定义及性质 考点06等腰三角形的性质和判定 考点07等边三角形 考点08直角三角形 考点09勾股定理及其逆定理 与三角形有关的线段 考点01 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知中，，，的面积为，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论作答即可． 【详解】作于点D，如图, ∵，的面积为， ∴． ∴, ∴． 作交的延长线于点D，如图, ∵，的面积为， ∴． ∴， ∴． ∴． 2．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 【答案】5 【分析】根据坐标，求出，当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，易得；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点为x轴上的动点， 当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，则；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，则在中，； 与的差的最大值为． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 4．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 5．（2026·河北邯郸·一模）如图，在Rt中，，将沿某一个方向平移2个单位长度，记扫过的面积为．关于结论①，②，下列判断正确的是（   ） 结论①：点到BC的距离为； 结论②：的最大值为 A．只有①对 B．只有②对 C．①，②都对 D．①，②都不对 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，以及平移的性质，分析判断即可． 【详解】解：设点到线段的距离为，则 ， ∴， ∴结论①不正确； 在三角形ABC中，，，，， ∴，， ∴如图，当沿垂直于的方向平移2个单位时，扫过的面积最大， 此时，， ∴结论②正确． 综上，只有②对． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 7．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 8．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 9．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 10．（2026·山东济宁·一模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，5，2 C．3，4，8 D．1，10，10 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否构成三角形． 【详解】：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 与三角形有关的角 考点02 11．（2026·广东江门·一模）如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ． 12．（2026·广东·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，根据旋转的性质得出是等边三角形以及，最后利用求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 由旋转的性质知，， 、、， 是等边三角形， ， ． 13．（2026·广东·一模）“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 【答案】 【分析】由三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：设与相交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（2026·广东广州·一模）如图，，直线l平分，，则______． 【答案】/70度 【分析】由平行线的性质得出，由邻补角的定义得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直线l平分， ∴， ∴． 15．（2026·广东佛山·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2026·江苏宿迁·一模）将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确等腰直角三角尺的锐角、另一个三角尺的锐角，再由得内错角，最后利用三角形外角性质，算出． 【详解】解：一副直角三角尺的固定角度为：等腰直角三角尺的锐角，另一个三角尺的锐角， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 17．（2026·江苏扬州·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【答案】30 【分析】根据旋转可得，再根据等边对等角和三角形内角和的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据旋转可得，，则，设，利用三角形内角和和等腰三角形的性质列方程即可解答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， 设， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 则的度数是． 19．（2026·浙江杭州·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质求得，再求得，根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 20．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可． 【详解】解：设，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 三角形全等的判定 考点03 21．（2026·广东中山·一模）在中，，D为延长线上一点，点 E在边上且， 连接．已知，求的度数． 【答案】 【分析】可证明得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，然后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（2026·广东深圳·一模）综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； (3)如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3) 【分析】（1）证明，得，可证出，即可证明； （2）对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ， 又∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 当重合时，， 此时重合，： ②， ∵， ， ∴， ∴， 此时， 连接，交于点，如下图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③， 此时， ∴， ∴， 综上所述，或或． （3）解：由菱形的对称性得：， 的面积与的面积相等， ∴， 当与，重合时，取得最大值， 所以， 当时，取得最小值， 所以， 综上所述． 23．（2026·山西晋中·一模）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 24．（2026·山西晋中·一模）如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形的高，利用角的关系证明平行线与全等三角形，再结合中位线定理与勾股定理求解．先由等腰三角形三线合一得到平分，结合推出，进而证得；再利用证明，得到线段等量关系，结合三角形中位线定理求出相关线段长度，最后通过勾股定理计算出的长，进而求得的长度． 【详解】解：， 为等腰三角形， 过点作， 平分，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ，， ，为中点， 为的中位线， ，为中点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 25．（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形证明，得到，； （2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，，； （3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：，，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 26．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，，，D是内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，分别取线段的中点F，G，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)，证明见详解 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，结合证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，首先证明，再证明，进而可证明，根据相似三角形的性质，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段与的数量关系为，证明如下： 如图，连接， ∵，点F为线段的中点，， ∴，， ∵，点G为线段的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中，， 同理可得，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·河南许昌·一模）与均为等腰直角三角形，，连接，． (1)问题背景：如图（1），请直接写出线段与的数量关系与位置关系？ (2)尝试应用：当点，，在一条直线上，如图（2），过点作，垂足为点，猜想：，，之间有什么数量关系，并证明． (3)拓展延伸：当点，，在一条直线上，如图（3），若，，连接，交于一点，在线段上有一动点，直接写出的最小值． 【答案】(1)，且 (2)；见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点F，延长、交于点G，根据等腰直角三角形的性质易证得，进而得到、，根据，易得到，从而得到； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，利用，得出结论； （3）过点作于点H，根据易得到，进而得到，根据垂线段最短，过点C向边作垂线，与交于点P，此时有最小值，最小值为，利用勾股定理和等面积法求出的最小值即可． 【详解】（1）解：，且， 延长交于点F，延长、交于点G， ， ， ， 与均为等腰直角三角形， 、， 在和中， ， 、， 在中，， ， ， ； （2）证明：，证明过程如下： 为等腰直角三角形、、， 是斜边上的高和中线， ， 由（1）知， ， 点，，在一条直线上， ， ； （3）解：过点作于点H， ，， ， 由（1）可知、， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 过点C向边作垂线，与交于点P，此时有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 28．（2026·河南周口·一模）如图1，在 中， D，E分别是边，的中点．将 绕点A 顺时针旋转角（ 连接，． (1)猜想 与 的数量关系，并结合图2给予证明； (2)探究： ①当旋转角的度数为 时，则 ， ②在旋转过程中，当点B，D，E在一条直线上，且 时，直接写出的长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①或②的长为或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的求解以及根据三角函数值求角，解题的关键是熟练应用相关基础知识进行求解． （1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证； （2）①分两种情况，根据旋转的性质以及平行线的性质求解即可；②分两种情况，根据旋转的性质以及勾股定理表示出，，，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵为的中点， ∴，同理可得， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴； （2）解：①如图1， 当 时， ， 又∵， ∴， 由（1）可得，，即，则，即； 如图2，同理可得，此时； 故答案为：或； ②如图3，由（1）可得， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得，，， 设，则， 由勾股定理可得，， 解得（负值舍去），即， ∴； 如图4， 同理， ，设，则， 由勾股定理可得，， 解得，即， 的长为或． 29．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，，D，E是边上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是内一点，，． ①求证：； ②与相交于点G；且G是的中点，求的值； ③如图3，在②的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）由等边对等角得到，再证明，即可利用证明； （2）①由全等三角形的性质得到；由等边对等角得到；由三角形外角的性质得到，则可证明，据此得到，则；②过点A作于点H，连接，可证明为的中位线，得到，则；可证明，得到；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，进而得到，则；③过点F作于点N，证明垂直平分，则可证明点F在上；证明，进而证明，得到，则可推出；由勾股定理得，同理可证明，则可得到，据此求出；证明是等腰直角三角形，推出，则，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：①∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于点H，连接， ∵， ∴点H为的中点，； ∵点G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； 由（2）①可知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，过点F作于点N， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点F在的垂直平分线上， ∴点F在上； ∵，点G为的中点，且是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，再进行角的等量代换，即可作答． （2）①由（1）得，且结合正方形的性质，得出，故四点共圆，再运用圆周角定理得 ，故是等腰直角三角形，结合，故； ②设，结合正方形的性质证明，再得出四边形是矩形，，，同理证明，即，因为平分，得，再把数值代入，整理得，运用公式法解得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 即； （2）解：①由（1）得， 即 ∵平分， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四点共圆，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②设， 过点作，过点作，过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 由（1）得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理证明， ∴，， 则， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 则， 则（舍去）， 与①同理得四点共圆，如图所示： ∵ ∴ ∴， ∵ 则 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，四点共圆，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 角平分线的性质与判定 考点04 31．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：过点作于点，于点， 平分，，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 32．（2026·广东广州·一模）如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 【答案】140 【分析】首先证明平分，结合易得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，平分， ∵， ∴， ∴． 33．（2026·山西忻州·一模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过点作于点，于点，过点作于点，假设，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解，再利用相似三角形求出相关线段的长度，最后利用含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， ∵和底边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 假设， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 34．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于 ，平分， 在中，， ， 即 ∴ ∴ ∴ 35．（2026·辽宁丹东·一模）如图，在中，，高，交于点．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于边的下方点，连接、．若，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，证明得到，，则，由作图可知，平分，，得到，设，则，，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 由作图可知，平分，， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 平分，，， ， ， 故选：C． 36．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）点到边、的距离相等，由角平分线的判定定理可得点P在的角平分线上，先作的角平分线，再过点作的垂线，两线的交点即为点； （2）延长交于点，过点作的垂线，垂足为，则，，利用勾股定理得出，再结合等面积法求出，则，证明，得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作；    （2）解：如图，延长交于点，过点作的垂线，垂足为，   ， ， 平分， ， ，，， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 点与点之间的距离为． 37．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则_____________． 【答案】 【分析】过点作，，过点作交于点，设，则，，利用角平分线的性质和面积公式求得，根据和，计算出即可解答． 【详解】解：如图，过点作，，过点作交于点， ，D为的中点， ， 设，则，， 可得， ， 平分，，， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 38．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再结合等边对等角可得，即可求证； （2）连接与相交于点，设，则， ，根据平行证明 ， 得到，从而可表示出，再次根据平行证明 ，列式解方程即可得解 ． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接与相交于点， 设，则， ， 为的直径， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即 ， 解得， ． 等腰三角形的定义及性质 考点05 39．（2026·辽宁阜新·一模）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 40．（2026·山东青岛·一模）如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 41．（2026·山东临沂·一模）如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N．分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P，作射线交于D．E为的中点，交于点F．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如图，过点D作于点G，连接，由角平分线得到，，然后由三线合一得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点G，连接 由作图得，平分 ∴ ∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 42．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补求出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 43．（2026·辽宁·一模）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交的边，于点，，连接，过点作，若 ，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，因此． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴． 44．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为______． 【答案】 【分析】根据作图得到对应边相等．先判定为等边三角形，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，即可计算的度数． 【详解】解：连接,． 由作图可知：，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ． 45．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出相等的边，然后根据等边对等角即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 等腰三角形的性质和判定 考点06 46．（2026·山西晋中·一模）如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到、，结合角平分线的性质得到，进而得到，根据等量代换得到，据此解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、， ， 平分， ， ， ， ， 故选项B一定成立． 47．（2026·湖北黄石·一模）如图，等腰与等腰，，，，，垂足为H，直线交于点O．将绕点C顺时针旋转： （1）______； （2）的最大值是______． 【答案】 / 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）延长到N，使得，连接，，延长交于M，取的中点F，连接，，根据可证，然后根据角度关系可证得，从而得到，然后得到点O为中点，可得到是中位线，从而求出，然后在，利用勾股定理计算出，当O，A，F三点共线时，有最大值，即可解决问题 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴由勾股定理得； （2）如图，延长到N，使得，连接，，延长交于点M，取的中点F，连接，，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴当O，A，F三点共线时，有最大值，的最大值为． 48．（2026·北京海淀·一模）在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点E在直线上，求证：； (2)如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）先说明，由旋转的定义可得，易得，进而得到，即；再说明，，利用含30度直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形外角的性质可得，如图2：将绕点A顺时针旋转得到，则，，进而得到、，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，即． （2）解：，证明如下： ∵在中，，， ∴， 如图2：将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2：连接，过A作于G， 在中，    ，， 在中，    ， ∴， ∴，即． 49．（2026·天津滨海新区·一模）如图，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而判断选项A；过点B作于点H，作于点G，利用证明，进而利用证明，可判断C；利用四边形内角和及全等三角形性质可判断D；通过计算平行所需的旋转角的值判断B． 【详解】解：由旋转的性质知，， ， 故A正确； 过点B作于点H，作于点G， ， ， 、， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 故C正确； 、， ， 在四边形中，， ， ， 故D正确； 若，则或， ， ， 当时，旋转角或， ，不一定为或， 不一定平行于， 故B不一定正确． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和、平行线的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 50．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 51．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边大于直角边判断①；通过构造等腰三角形求出与的数量关系，进而表示出，代入不等式判断②和③； 【详解】解：①在中，为斜边，为直角边， ，即， ，故①正确； ②在上取点，使得，连接， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故②错误； ③要证，即证，即证， 两边平方得：， ， ， 整理得：，即， 任何实数的平方均非负， 该不等式恒成立， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 52．（2026·江苏泰州·一模）如图，等腰，，，点D在边上运动，连接，以为边向右侧作等腰，其中，与边交于点F．当为等腰三角形时，的长为____________． 【答案】1或 【分析】过点作于点，根据已知求得，设，则，证明，得出，即，进而表示出，根据题意分两种情况，①，②，分别讨论，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设，则，， ∵，，， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵ ∴ ①当时， ∴； 解得：； ②当时， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为：1或 53．（2026·河南周口·一模）【特例感知】 (1)如图1，在中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． 判断线段与的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，在中，，点（不与点重合）在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．判断线段与的数量关系，并仅就图2的情形给出证明． 【拓展应用】 (3)在（2）的条件下，已知，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)线段的长为或． 【分析】（1）证明，推出，，再证明，据此求解即可； （2）当点D，F都在的延长线上时，在上取一点G，使得，连接，，证明和，据此计算即可求解；当点D，F都在的延长线上时，同理求解即可； （3）利用（2）的结论，利用平行四边形的性质结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点D，F都在的延长线上时，结论：， 证明：如图，在上取一点G，使得，连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当点D，F都在的延长线上时，结论：， 证明：如图，延长至点G，使得，连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点D，F都在的延长线上时， 由题意，四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴； 当点D，F都在的延长线上时，设， 由（2）知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 等边三角形 考点07 54．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为等边三角形，点D在上，点E在上，，连接、、，点G为外一点，连接、、、，，下列结论：①②平分③④若，则的最小值为3．其中正确的结论是_________． 【答案】①②③④ 【分析】证明得，利用是的外角等量代换可证①；由，得四点共圆，根据等弧对等角和等量代换可证②；在上取点M，使，证得，可证③；设，则，， 过点E作于点H，在和中根据勾股定理，可证④． 【详解】解：①∵为等边三角形，     ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴正确； ②∵， ∴四点共圆， 同弧所对圆周角： 同弧所对圆周角： ∴， ∴平分，正确； ③在上取点M，使， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； ④设，则，， 过点E作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为9， ∴的最小值为，正确． 55．（2026·山东济宁·一模）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据点D的运动轨迹，将运动过程分为两个阶段，分别求出y关于x的函数解析式，再结合函数性质判断选项即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点D的运动路径为， 如图，当点D与点A重合时， ∴，即垂直平分， ∴， 当点D与点C重合时，则， ∴的取值范围，即自变量x的取值范围是，故A正确，不符合题意； 当时，点D在上， ∴， 在中，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图，当时，点D在上，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 此时y随x的增大而增大， 当时，， 此时y随x的增大而减小，故D错误，符合题意； 当时，，此时y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，此时y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y有最大值为，故C正确，不符合题意． 56．（2026·陕西·一模）【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接，即，；易得是等边三角形，则，，再利用勾股定理逆定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接．利用旋转的性质以及勾股定理可得，再说明；如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M．则，进而得到；设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点 O 作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则．利用三角形的不等关系可得的最大值为．最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M． 则， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴ 点B在以 为弦， 所含圆周角为的弧上． 设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点O作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则． ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． ∵， ∴开心农场（）的最大面积为． 57．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，先根据等边三角形的性质结合旋转的性质可得到，，结合含角直角三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形，， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 点的坐标为． 58．（2026·山东济宁·一模）如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 59．（2026·河南商丘·一模）如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________． 【答案】 【分析】连接，先证为等边三角形，得到，在中，求得，进而得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】连接， 因为是边长为的等边三角形， 所以，， 又分别为的中点， 所以， 所以为等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以． 60．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可； 观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解． 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键． 61．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过A作于H，解直角三角形求出、、的长度，即可求解； （2）①求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而求出，然后在中，解直角三角形即可；求出当和O重合时和当在上时两种情况下t的值即可求出t的取值范围 ②分，讨论，根据割补法求出S关于t的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过A作于H， ∵等边的顶点， ∴，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴， ∵的顶点， ∴， ∵，， ∴， 又点C在第二象限， ∴； （2）解：①∵平移， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 当和O重合时，如图， 当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，如图， 此时重叠部分为五边形， ②当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，重叠部分为五边形，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值为， 当时，，当时，， ∴S的最小值为 ∴； 当时，如图，过P作于Q， 此时重叠部分为四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S有上限为，当时，S有最小值为， ∴， 又， ∴． 直角三角形 考点08 62．（2026·辽宁阜新·一模）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）解直角三角形求出，即可判断． （2）延长到使得，连接，证明即可解决问题； （3）分两种情形：①当在的下方时，延长交于；②当在的上方时，结合相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 在中，点是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 延长到使得，连接，如图2， ，，， ， ，， ， ∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，当在的下方时，延长交于，设交于点P， ， ， 由题意得：，，，， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积； 如图，当在的上方时，设交于，的延长线交于点P，       同理，， ， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积； 综上所述，的面积为或． 63．（2026·北京顺义·一模）如图，在正方形中，点E在的延长线上，于点F．若，，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据正方形的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，进而得出的长，再作辅助线求出点到的距离，最后利用三角形面积公式计算即可 ． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴在中， ， ∴， ∵ ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 如图：过点D作于点G， ∵，， ， ∴在中，， ． 64．（2026·河南南阳·一模）若一个四边形满足有一组对边平行且有一组对角互余，则称这样的四边形为“平余四边形”．如图，在中，，，，在直线左侧找到一点，使四边形为“平余四边形”，则的长为________ 【答案】或 【分析】先根据直角三角形性质求出三边长，再分类讨论平行的一组对边（或），结合对角互余的条件及勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， ，，， 分两种情况讨论． 情况一：， ，即， 又， ，即， 四边形中，且一组对角互余， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， 过点作交延长线于点，连接， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ． 情况二：， ， ， ， ， ， 四边形中，且一组对角互余， ， 在中，，， ， 是等边三角形， ， 过点作交延长线于点，连接， ， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 65．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 66．（2026·重庆·一模）在中，，点D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图1，当时，连接，过点E作于点G，若，，求四边形的面积： (2)如图2，当时，在上取一点H，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，连接并延长，交于点P，连接．用等式表示线段、、的数量关系并证明： (3)如图3，当，时，的中线，交于点I，．点J是边上一动点（不与端点重合），连接．以为边在右侧作等边，连接，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，作交直线于点N．在点J运动过程中，当取最小值时，在直线上取一点Q，连接，关于直线对称得到，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)9 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先证得是等腰直角三角形，再由点E是线段，的垂直平分线的交点，证得，进而得出是等腰直角三角形，从而求得结果； （2）连接，根据已知条件及四边形内角和定理证得是等边三角形，由折叠的性质推出，是等边三角形，，最终利用线段和差关系和直角三角形的性质推导出结论； （3）先确定点K的运动轨迹，再确定点I的运动轨迹，利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质及解直角三角形即可求得结果． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，连接， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，在上取一点，连接，在右侧构造等边，连接， ∵点J是上的动点，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴与直线l的夹角为， 即点K的轨迹是直线l， 当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为等边的中线， ∴ ∴点I为等边的重心， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴点在上， ∵关于直线对称得到，Q为直线上一动点， ∴点I的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当A、、三点共线时，取最大值， ∴， 如图，以为边向上构造等边，过点作交延长线于点，连接，，记与的交点为S， ∵，点I为等边的重心， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴等边的边长为， 过点作交于点L， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作交于点R， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 即． 67．（2026·天津·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 68．（2026·广东深圳·一模）【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． (1)【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． (2)【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． (3)【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】(1)，； (2) (3)图见解析，或 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 69．（2026·山东德州·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， 证明：直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 勾股定理及其逆定理 考点09 2026年4月30日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 70．（2026·广西防城港·一模）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．下面是小明同学在学习了“特殊的平行四边形”相关知识后进行的探究活动，请根据相关要求回答问题． (1)如图1，矩形纸片，对折此纸片使与重合，得到折痕，把纸片展平，再在上选一点，沿折叠，使点落在上时，记为点，则的度数为______． (2)将矩形纸片换成边长为8cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，点仍然在上时，延长，交于点，连接． ①猜想的度数，并说明理由． ②求此时的长． (3)在（2）的探究中，改变点在上的位置（点不与点，重合），沿折叠纸片，使点落在正方形内部的点处，连接，，并延长，交于点，连接．当时，求的长． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；② (3)的长为或 【分析】（1）根据折叠的性质，结合锐角三角函数求出，得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）①证明，得到即可；②在中，求出的长，进而求出的长，设设，则，在中，由勾股定理列出方程进行求解即可； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 同（1）可得：， ∵边长为的正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②∵折叠， ∴，， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 故； （3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 71．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平行线的性质得到，再由轴对称的性质可得，则可证明得到，据此可证明；求出，；证明，得到，设，则，由勾股定理得；证明，得到，即，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点， ∴； ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 72．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 73．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出正方形边长，过点作交于点K，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的性质得出，再用相似三角形的性质求出的长度，由等腰三角形的三线合一求出的长，进而求出、的长，从而得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，由一线三垂直得出，的长，再由勾股定理即可求出的长，从而得出比值； 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，， 四边形是正方形， ，， 过点作交于点K， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， （） ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， （） ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等）将分散的条件集中到可计算的直角三角形中． 74．（2026·青海西宁·一模）如图，中，，，垂足为，点是边上一个动点，过点分别作，，垂足分别为，，过点作交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，，则当最短时，的长为_____． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质和垂线的定义可判断，从而证明四边形是矩形； （2）连接，由可得，结合，即可得到； （3）连接、，由矩形的性质可得，因此只需研究的最短的情况．结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，最后再一次使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）证明；∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接、， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时最短， 如图，， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 75．（2026·北京丰台·一模）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和正弦的定义求得，，然后证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，最后由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 76．（2026·安徽合肥·一模）在中，点C是的平分线上一点，过点C作，垂足为点D，过点D作，垂足为点E，直线交于点F，过点C作，垂足为点G． (1)观察猜想:如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系；______． (2)类比探究:如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用:当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 (3)的值为或 【分析】（1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $00学科网 www.zxk.com 让教与学更高效 专题10三角形 9大考点概览 考点01与三角形有关的线段 考点02与三角形有关的角 考点03三角形全等的判定 考点04角平分线的性质与判定 考点05等腰三角形的定义及性质 考点06等腰三角形的性质和判定 考点07等边三角形 考点08直角三角形 考点09勾股定理及其逆定理 考点01 与三角形有关的线段 1.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知 △ABC 中， AB=4，BC=6，△ABC 的面积为 $$6 \sqrt 3 ，$$ 则 ∠ABC 的度数为 2.(2026山东临沂一模)在平面直角坐标系中，点A的坐标为 (-1，4)， ，点B的坐标为(3，1)，P为 x 轴上的 一动点，则PA与 的差的最大值为. 3.(2026福建泉州一模)如图，点G是 Rt△ABC 的重心， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A B = 6 ，$$ ，则CG的长为() C G A B A.1 $$B . \sqrt 3$$ C.2 D.3 4.(2026山东德州一模)如图，在 △ABC 中， AD，AE 分别是边CB上的中线和高， $$A E = 6 c m ， S _ { \triangle A B D } = 1 2 c$$ $$m ^ { 2 } ，$$ ，则 BC C的长是() 1/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B C D E A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 5.(2026河北邯郸一模)如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle A = 9 0 ^ { \circ } ， A B = c ， A C = b ， B C = a ，$$ ，将 △ABC 沿某一个方向 平移2个单位长度，记 △ABC 扫过的面积为S.关于结论①，②，下列判断正确的是() 结论①：点4到B C 的距离为 $$\frac { b c } { 2 a } ；$$ 结论② 的最大值为 $$\frac { b c } { 2 } + 2 a$$ C b a A B c A.只有①对 B.只有②对 C.①，②都对 D.①，②都不对 6.(2026河北石家庄一模)如图， △ABC 和 △ADC 如图所示放置，当 △ABC 为等腰三角形时，AC的长为 B 8 C 5 4 A 4 D 7.(2026河南三门峡一模)等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为() A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 8.(2026安徽阜阳一模)如图，在 △ABC 中， AC=BC，P 为AB边上一动点(不与A，B重合)， PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F， ，连接EF，则下列为定值的是() C E F A P B A.线段EF的长 B.PE+PF 的大小 C.△PEF 的周长 D.△PEF 的面积 2/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026江苏无锡一模)已知 △ABC 中， AB=6，AC=7， ，则中线 AD的长可以是( A.6 B.7 C.8 D.9 10.(2026山东济宁一模)以下列各数为边长，能构成三角形的是() A.1，2，3 B.2，5，2 C.3，4，8 D.1，10，10 考点02 与三角形有关的角 11.(2026广东江门一模)如图，有一张三角形卡纸 ABC， ，点D、E分别是AB、AC的中点，若 $$\angle B = 7 5 ^ { \circ } ，$$ $$\angle A E D = 5 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠A 的度数为() B C D E A $$A . 4 0 ^ { \circ }$$ $$B . 4 5 ^ { \circ }$$ $$C . 5 0 ^ { \circ }$$ $$D . 5 5 ^ { \circ }$$ 12.(2026广东一模)如图，将 △ABC 绕点A顺时针旋转 $$6 0 ^ { \circ }$$ 得到 △AED， ，若 $$\angle A C B = 1 2 0 ^ { \circ } ， A C = B C ，$$ ，则 ∠BED 的度数是() B E C D A $$A . 9 0 ^ { \circ }$$ $$B . 8 0 ^ { \circ }$$ $$C . 6 0 ^ { \circ }$$ $$D . 3 0 ^ { \circ }$$ 13.(2026广东一模)“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化 宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问 题：在同一平面内， AB∥CD， ，若 $$\angle D = 7 5 ^ { \circ } ， \angle E = 2 8 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠B= B D E 图1 图2 14.(2026广东广州一模)如图， AB∥CD， 直线1平分 $$\angle B O E ， \angle 1 = 4 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠2= . 3/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026广东佛山一模)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的 光线相交于点P,点F为焦点，若∠1=159°，∠2=22°，则∠3的度数为() 3 A.43 B.45 C.51° D.53 16.(2026江苏宿迁一模)将一副直角三角尺如图放置，已知AE II BC,则∠EFC的度数是() E F B A.45° B.60 C.75° D.90° 17.(2026江苏扬州一模)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转80°得到△A'B'C,点B的对应点B恰好落在 边AB上，此时点A恰好落在BC的延长线上，则∠A的度数为°， B B 18.(2026浙江杭州一模)如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC,且点 A落在边BC上，连接CC',若CC=CA',则∠ABC的度数是」 B 19.(2026浙江杭州一模)将一副三角板按如图所示的方法摆放，点D在BC上，∠A=45°，∠E=60°.若斜 4/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边ABIEF,则∠EDB的度数是() B F A.60° B.65° C.72° D.75° 20.(2026浙江嘉兴.一模)如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,点D在边BC上（点B,D不重合， CD>BD),将△ACD沿AD折叠后得到△AED,DE交AB于点F.若AD=AF,则∠EAD与LBAC的数量关系 正确的是() A.∠BAD=子BAC B.∠EAD=BAC 3 C.∠EAD=5LBAC 4 D,∠EAD=∠BAC 考点03 三角形全等的判定 21.(2026广东中山一模)在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上 且BE=BD,连接AE、DE、DC.己知LCAE=30°，求LBDC的度数. B久 22.(2026广东深圳一模)综合与探究：菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，连接BD,P是BD上的动点， 将CP绕点C顺时针旋转120得到CQ. 5/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D 图1 图2 图3 (1)如图1，连接DQ,求证：AD⊥DQ; (2)如图2，连接PQ交CD于E,当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度； (3)如图3，连接PQ交CD于E,连接AP,记△CEP的面积为S1,△APD的面积为52，求的取值范围。 23.(2026山西晋中.一模)用三角尺可以画角平分线：如图所示，在己知LA0B的两边上分别取点M,N, 使OM=ON,再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分 线，验证这一结论的过程中，△OPM与△OPW全等的依据是() N B A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 24.(2026山西晋中.一模)如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,点D为AC的中点，连接BD并延 长到点E,连接CE.若LBAC=2LACE,则线段DE的长为 25.（2026广东深圳一模)如图1为正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE. D D E G G B A B 图1 图2 图3 (I)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由； 6/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与BE的关系， 并说明理由； (3)[应用]：在(2)问的情况下，连接GE(点E在AB上方)，若GE II AB,且AB=V5,AE=1,求DG的长. 26.(2026北京顺义·一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是△ABC内部一点，连接AD, 将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE,连接BD,CE, B (I)求证：BD=CE; (2)连接DE,分别取线段BC,DE的中点F,G,连接FG,用等式表示线段FG与CE的数量关系，并证明. 27.(2026河南许昌一模)△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE, 图(1) 图(2) 图(3) (1)问题背景：如图(1)，请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系？ (2)尝试应用：当点D,B,C在一条直线上，如图(2)，过点A作AF⊥CD,垂足为点F,猜想：CD,CE,AF 之间有什么数量关系，并证明， (3)拓展延伸：当点B,C,D在一条直线上，如图(3)，若BC=2,CD=1,连接AD,CE交于一点F,在线 段AD上有一动点P,直接写出DP+CP的最小值， 28.(2026河南周口一模)如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E分别是边AB,AC的中 点，将△ADE绕点A顺时针旋转α角((0°<a<360),连接DB,EC. D A D B 图1 图2 (1I)猜想DB与EC的数量关系，并结合图2给予证明； (2)探究： 7/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①当旋转角a的度数为时，则DBIAE, ②在旋转过程中，当点B,D,E在一条直线上，且AD=V2时，直接写出EC的长. 29.(2026辽宁大连一模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是边BC上的点，BD=CE. G E CB D B D (图1) (图2) (图3) (I)如图1，求证：△ABE≌△ACD; (2)如图2，点F是△ABC内一点，∠BAD=2LACF-45°，∠AED=2LACF. ①求证：∠BAC=90°； ②BF与AD相交于点G:且G是BF的中点，求的值； ③如图3，在②的条件下，当BF=CF=2时，求AC的长. 30.(2026湖北武汉.一模)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边CD,BC上的点，且DE=CF,连接AE,DF 交于点G. (1) (1)如图(1)，求证：AE⊥DF; (2)连接CG. ①如图(2)，若CG平分∠EGF,求证：CE=DE; ②如图(3)，连接BG,若FG平分2BGC,直接写出的值. 考点04 角平分线的性质与判定 31.(2026陕西渭南一模)如图，在△ABC中，BC=AB,∠ABC的平分线BD交AC边于点D.若△ABC的 面积为15，则△ABD的面积为() A.9 B.6 C.5 D.5.5 8/24 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(2026广东广州一模)如图，点P是射线0C上一点，PM1OA,PN1OB,垂足分别是M,N,且 PM=PN.若LAOC=20°，则∠MPN= M N B 33,(2026山西忻州一模)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，若BD=3,DC=2, 则AD的长为 B D 34.(2026·安微合肥一模)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长 为半径作弧，分别交BA,BC于M,N两点；②分别以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交 于点P;③作射线BP,交边AC于点D,若AB=10,BC=6,则线段AD的长为() M A.3 B.9 C. D.5 35,(2026辽宁丹东一模)如图，在△ABC中，AB=AC,高BD,CF交于点E,以点A为圆心BF长为半径 画弧，交边AB于点G,交边AC于点H,再以点H为圆心，GH长为半径作弧，两弧相交于边AC的下方点I,连 接A1、IC.若BD=8,DC=4,则四边形AICF的面积为() B H D A.12 B.32 C.40 D.80 9/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36.(2026江苏无锡一模)已知：在 △ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A C < B C .$$ A A C B B C B 备用图 (1)尺规作图：在 △ABC 内部求作一点 P，使得点P到边 AB、AC 的距离相等，且 CP⊥AB (不写作法，但要保 留作图痕迹). (2)在(1)的条件下，若 AC=2，BC=4， ，则点C与点P之间的距离为，(若要借用图形计算，请用备用 图) 37.(2026四川成都一模)如图，在 △ABC 中， AC=AB=2BC，D 为BC的中点，BE平分 ∠ABC， 交 AC，AD 于点 E，F， 则 $$\frac { E F } { A C } =$$ C E E D F A B 38.(2026江苏徐州一模)如图，在 △ABC 中， $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， \odot O$$ 经过点A，与边 AB，AC 分别交于点E， D，且 BC 与 ⊙O 相切，切点为点F. B F E C D (1)求证：A F 平分 ∠BAC； (2)若 BE=1，CD=2， AD 的长. 考点05 等腰三角形的定义及性质 39.(2026辽宁阜新一模)在 $$\parallelogram A B C D$$ 中，连接BD，过点A作 AE⊥BD 交BD于点E.若 AE=BE 且 $$\angle D B C = 3 5 ^ { \circ } ，$$ 则 ∠ADC= () 10/24 00学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B C $$A . 6 0 ^ { \circ }$$ $$B . 7 5 ^ { \circ }$$ $$C . 8 0 ^ { \circ }$$ $$D . 1 0 5 ^ { \circ }$$ 40.(2026 山东青岛一模如图， △ABC 绕点 A 逆时针旋转 $$6 4 ^ { \circ }$$ 得到 △ADE， 且DE 经过点C，已知 $$\angle A B C = 3 8 ^ { \circ } ，$$ 则 ∠ACB 的度数为() E A B C D $$A . 5 6 ^ { \circ }$$ $$B . 5 7 ^ { \circ }$$ $$C . 5 8 ^ { \circ }$$ $$D . 6 4 ^ { \circ }$$ 41.(2026山东临沂一模)如图，在 Rt t△ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle B A C = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，以A为圆 ，适当长为半径 画弧，分别交 AC，AB 于M， N. 分别以M，N为圆心，大于 $$F \frac { 1 } { 2 } M N$$ 的长为半径画弧，两弧在 ∠BAC 内交于点 P，作射线AP交 BC 于 D.E 为AD的中点， EF⊥AD 交 AB 于点F.若 CD=2， ，则 AF= () C D M E B N F A.3 B.4 C.5 D.6 42.(2026北京石景山一模)如图，在 △ABC 中， $$A B = A C ， \angle B = 6 5 ^ { \circ } ，$$ ，以 AC 为直径画圆，与AB交于点D， 与 BC交于点E，连接D ，则 ∠DEC 的大小为() A B C $$A . 1 3 0 ^ { \circ }$$ $$B . 1 1 5 ^ { \circ }$$ $$C . 6 5 ^ { \circ }$$ $$D . 5 0 ^ { \circ }$$ 43.(2026辽宁一模)如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ∠ABC 的边 BA，BC 于点M，N，连 接MN，过点M作 EF∥BC， 若 $$\angle E M B = 5 8 ^ { \circ } ，$$ 则 ∠MNC 的度数为(). 11/24 www.zxxk.com 让教与学更高效 A M E F B N N C $$A . 1 0 2 ^ { \circ }$$ $$B . 1 0 8 ^ { \circ }$$ $$C . 1 1 2 ^ { \circ }$$ $$D . 1 1 9 ^ { \circ }$$ 44.(2026内蒙古赤峰一模)如图， $$\angle M O N = 1 0 0 ^ { \circ } ，$$ ，点A在射线 OM 上，以点 为圆心，OA 长为半径画弧， 交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心， 4B长为半径画弧，两弧在. ∠MON 内部交于点C，连接BC，则 ∠OBC 的大小为. M A B N 45.(2026湖北襄阳一模)如图，在 △ABC 中，D为边 CB 上一点，F为CB延长线上一点， EF∥AC 交 AB的 延长线于点 E，EF=CD，CA=FD. ，求证： ∠DEA=∠DAE. C D E B F 考点06 等腰三角形的性质和判定 46.(2026山西晋中一模)如图， $$\parallelogram A B C D$$ 中，BE平分 ∠ABC 交 AD 边于点E.下列两条线段的数量关系中一 定成立的是() A E D B C A.BE=BC B.AE=CD C.AB=2DE D.AE=2DE 47.(2026湖北黄石·一模)如图，等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△CDE，AC=BC，CD=DE，AC=2CD=4， DH⊥AE， ，垂足为 H， ，直线HD交BE于点O.将 △CDE 绕点C顺时针旋转： 12/24 00学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A H D E B C (1)EC= ； (2)0A的最大值是. 48.(2026北京海淀一模)在 △ABC 中， $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， \angle B A C = \alpha ， D$$ 为 BC 的延长线上一点，连接AD 将 线段AD绕点A顺时针旋转 $$1 8 0 ^ { \circ } - 2 \alpha$$ 得到线段AE，连接CE. A A B C D E B C D E 图1 图2 (1)如图 $$1 ， a = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，点E在直线 上，求证： CE=2CD； (2)如图2，用等式表示线段AB，CD和CE 的数量关系，并证明， 49.(2026天津滨海新区一模)如图， △ABC 中， $$\angle C = 3 0 ^ { \circ } ， C A = C B ，$$ 将 △ABC 绕点B逆时针旋转，得 到 △DBE， ，旋转角为 $$\alpha \left( 3 0 ^ { \circ } < \alpha < 1 2 0 ^ { \circ } \right) .$$ ，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长 ED 交边 AC 于点 F，连接 BF， ，则下列说法不一定正确的是() C F D. E B A A.AC=DE B.BD∥AC C.∠EFB=∠AFB $$D . \angle E B C + \angle D F A = 1 8 0 ^ { \circ }$$ 50.(2026安徽阜阳一模)如图，在 △ABC 中， $$B A = B C = 6 ， \angle A B C = 4 5 ^ { \circ } ， A D \bot B C$$ 于点D，则CD的长是 () 13/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B D C $$A . 6 - 3 \sqrt 2$$ $$B . 6 \sqrt 2 - 6$$ $$C . 6 - 3 \sqrt 3$$ $$D . 3 \sqrt 2 - 3$$ 51.(2026北京顺义一模)如图，在 △ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A C = B C ， A D$$ 平分 ∠BAC，E 是AD上一动点 (不与A，D重合)， EF⊥AC 于点F，设 CE=a，EF=b，BC=c. 给出下面三个结论： ①a-b>0；②c-b< $$\sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } ； \textcircled 3 \sqrt 2 \left( a + b \right) \ge c .$$ 上述结论中，所有正确结论的序号是() C $$F _ { 0 }$$ D E A B A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 52.(2026江苏泰州一模)如图，等腰 $$\triangle A B C ， A B = A C = 5 ， \sin \angle B = \frac { 4 } { 5 } ，$$ ，点D在边 BC 上运动，连接 AD， 以 为边向右侧作等腰 △ADE， 其中 ∠DAE=∠BAC，DE 与边AC交于点F.当 △ADF 为等腰三角形时，BD 的长为. E T B D C 53.(2026河南周口·一模)【特例感知】 A A B E D C M D N $$\overrightarrow { F }$$ E 图1 图2 (1)如图 1， ，在 △AMN 中， AM=AN，∠ANM=α，D 是边 MN 上一点(不与点M重合)，连接 AD， 将线段AD绕点 14/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A逆时针旋转 $$1 8 0 ^ { \circ } - 2 \alpha$$ 得到线段AE，过点E作 EF∥AN， ，交直线 MN于点F. 判断线段 DN 与 NF F的数量关系是. 【类比探究】 (2)如图2，在 △ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A B C = \alpha ，$$ 点D(不与点B，C重合)在直线 BC⊥ (CD>CB)， ，连接AD， 将线段AD绕点A逆时针旋转 $$1 8 0 ^ { \circ } - 2 \alpha$$ 得到线段AE，过点E作 EF∥AB， ，交直线BC于点F 判断线段 DF 与BC的 数量关系，并仅就图2的情形给出证明， 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，已知 AC=2BC=2， ，当以点 A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段 CD的长. 考点07 等边三角形 54.(2026黑龙江哈尔滨·一模)如图， △ABC 为等边三角形，点D在BC上，点E在 上， CD=BE， ，连 接CE、AD、DE 点 G 为 △ABC 外一点，连接 $$A G 、 C G 、 B G 、 D E ， \angle B G C = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ，下列结论： $$\textcircled 1 \angle A F E = 6 0 ^ { \circ }$$ CG 平分 ∠AGB③GA+GB=GC④ 若 AB=6， ，则DE的最小值为3.其中正确的结论是. A G E C B D 55.(2026山东济宁：一模)如图，等边三角形 ABC 的边长为 1， ，点D从点B出发，沿等边三角形 ABC 的边BA 和 AC运动，最终到达点C，过点D作边 BC 的垂线，垂足为点 E， 用 x 表示线段BE的长度，用y表示 Rt△CDE 的面积，则下列结论错误的是() D B x E C A.自变量 x 的取值范围为 0≤x≤1 B. .当 $$\frac { 1 } { 2 } \le x \le 1$$ 时， y 关于 x 的函数解析式为 $$y = \frac { \sqrt 3 } { 2 } \left( 1 - x \right) ^ { 2 }$$ c.当 $$x = \frac { 1 } { 2 } 且$$ y 有最大值为 15/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 56.(2026陕西一模)【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行 有效转化，从而使题目变得简单， C C D P A B A B 图1 图 图2 (1)【问题提出】如图1，在等边 △ABC 中有一点 P，AP=3，BP=5，CP=4， ，求 ∠APC 的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所(四边形 \left.{ABCD})， ，在点A，C处修建两个管理室， 且两个管理室 A，C 的距离为600m.根据设计要求，将休闲场所分为 △ABD 与 △BCD 两部分，其中在 △ABD 中， $$\angle A = 9 0 ^ { \circ } ， A B = A D ，$$ ，用来作为游乐场，由管理室A负责管理；在 △BCD 中， $$\angle B C D = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，将它作为开 心农场，由管理室C负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心 农场 (△BCD) 的最大面积. 57.(2026湖北襄阳一模)如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 OAB 的边 OB 在x轴上，点B的坐标为 (2，0)， ，将 △OAB 逆时针旋转 $$9 0 ^ { \circ }$$ 得到 △OCD， ，则点C的坐标为() y DA C B x $$A . \left( - 1 ， \sqrt 3 \right)$$ B.(-2，1) $$C . \left( - \sqrt 3 ， 1 \right)$$ D.(-1，2) 58.(2026山东济宁一模)如图，点P和点O分别是等边三角形 ABC 的边AB和A AC 上的动点，且 AP=CQ， 若 BC=2， ，则 PQ 的最小值为. A P B C 59.(2026河南商丘：一模)如图，边长为8的等边三角形 ABC，D 为 AB 的中点，E为 BC 的中点，过E作 EH⊥AC，F 为EH的中点，DF长为 16/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D H B C E 60.(2026广东广州一模)如图，在 $$\parallelogram A B C D$$ 中， $$\angle A B C = 6 0 ^ { \circ } ， A B = 6 ， B C = 8 ，$$ ，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点，且满足 BF=2AE. 当 AE= 时， △EBF 为等边三角形；已知点P为 EF 的中点，连接 AP， DP，则 AP+PD 的最小值为， A D E P B C F 61.(2026天津西青一模)在平面直角坐标系中，O为原点，等边 △OAB 的顶点 $$B \left( 6 \sqrt 3 ， 0 \right) ，$$ ，点A在第一象 限， Rt△COD 的顶点 $$D \left( - 6 \sqrt 3 ， 0 \right) ，$$ ，点C在第二象限， $$\angle C D O = 9 0 ^ { \circ } ， \angle C O D = 3 0 ^ { \circ } .$$ y A C C' M N D B x B O'x 图① 图② (1)填空：如图①，点A的坐标为，点C的坐标为； (2)将 Rt△COD 沿水平方向向右平移，得到 Rt△C'O'D'， ，点C，O，D的对应点分别为 C'，O'，D'. 设 =t， ①如图②，若边 C'O' 与边 OA，AB 分别相交于点 M，N， 边 C'D' 与边 OA 相交于点 P， 当 Rt△C'O'D 与等边 △OAB 重叠部分为五边形 D'PMNB 时，试用含有t的式子表示线段AN的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为 S， ，当 $$6 \sqrt 3 \le t \le 1 0 \sqrt 3$$ ，求S的取值范围(直接写出结果即可). 考点08 直角三角形 62.(2026-辽宁阜新一模)解答下列问题： 17/24 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A D D B B B C(E) C C E 图1 图2 备用图 (1)【问题发现】：如图1，在 Rt△ABC 和 Rt t△BDE 中， $$\angle A B C = \angle C B D = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A = \angle D E B = 3 0 ^ { \circ } ，$$ BC=BE=2，Rt△BDE 绕点 B 逆时针旋转， H 为CD的中点，当点C与点E重合时，判断BH与AE的数量关系 和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明 Rt△BDE 绕点B逆时针旋转的过程中，当 AE E经过点H时，(1)中的结论是否仍然成立? 若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用 在 Rt△BDE 绕点B逆时针旋转的过程中，当 DE∥BC 时，请直接写出 △ACE 的面积 63.(2026北京顺义一模)如图，在正方形 ABCD 中，点E在 BC 的延长线上， BF⊥AE 于点F.若 AB=4， $$\angle B A E = 6 0 ^ { \circ } ，$$ 则 △DEF 的面积为. D F B C E 64.(2026河南南阳·一模)若一个四边形满足有一组对边平行且有一组对角互余，则称这样的四边形为“平 余四边形”，如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle A = 9 0 ^ { \circ } ， \angle B = 3 0 ^ { \circ } ， A C = 1 ，$$ ，在直线AC左侧找到一点D，使四边形 ABCD 为“平余四边形”，则BD的长为 C A B 65.(2026山东青岛一模)如图，四边形 ABCD 中， $$A B \parallel C D ， \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 对角线 AC⊥BC，AB=25cm， BC=20cm， ，点P从点 B 出发沿 BC 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点A出发沿 AB 方向匀速运动，速 18/24 00学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 度为2cm/s.0为 AQ 中点，AC与 DO交于点E.设运动时间为 $$t \left( s \right) \left( 0 < t \le \frac { 2 5 } { 2 } \right) ，$$ ，解答下列问题： D C D C E A B B (备用图) (1)t取何值时，点O在AL 和BC夹角的平分线上? (2)设五边形 PQODC 的面积为 $$s \left( c m ^ { 2 } \right) ，$$ ，求s与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使五边形 PQODC 的面积为 $$1 5 1 \frac { 1 } { 2 } c m ^ { 2 } ?$$ 若存在求出t的值，若不存在，说明理由； (4)t取何值时， ∠AEQ 是直角? 66.(2026重庆一模)在 △ABC 中， $$\angle B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点D为BC延长线上一点，点E为线段 AC，CD 的垂直平分 线的交点，连接EA，EC，ED. E E E I H A H A B D C G B D B C C D 图1 图2 图3 (1)如图1，当 $$\angle B A C = 4 5 ^ { \circ }$$ °时，连接BE，过点E作 EG⊥CD 于点G，若 $$A C = 2 \sqrt 2 ， C D = 2 ，$$ ，求四边形 ABDE 的 面积： (2)如图2，当 $$\angle B A C = 6 0 ^ { \circ }$$ 时，在 ED 上取一点 H， 连接CH，使 ∠CHD=∠CAE， 将 △CDH CH 翻折到 △ABC 所在平面内，得到 △CDH， ，连接 ED' '并延长，交CH于点P，连接PD.用等式表示线段 AB、PE、PD 的数量 关系并证明 (3)如图3，当 $$\angle B A C = 6 0 ^ { \circ } ， A C = C D$$ 时， △ADE 的中线，AH交EC于点 I，AI=6. 点J是AD边上一动点(不 与端点重合)，连接IJ. 以IJ为边在IJ右侧作等边 △IJK， ，连接KD， A K.将线段AK绕点A逆时针旋转 $$6 0 ^ { \circ }$$ 得 到线段AM，连接KM，作 MN⊥ID 交直线DI于点N.在点J运动过程中，当DK取最小值时，在直线AI上取 一点 Q， ，连接 QK，△IKQ 关于直线. KQ 对称得到 △I'KQ， ，连接 AI'，MI'，NI'， 当 AI' 取最大值时，请直接写 出 △MNI 的面积. 67. (2026天津一模)如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A B = 4 ，$$ ，将 △ABC 绕点C逆时针旋转得到 △A'B' 19/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C，点A，B的对应点分别为 A'，B'， 若点 B' 恰好落在 AB 中点，则线段AA'的长为() A A B' B C A.4 $$B . 2 \sqrt 3$$ C.3 $$D . 3 \sqrt 2$$ 68.(2026广东深圳一模)【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让 我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究. 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有 一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形” C C C D D D B A B E A B E A 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，在“壁合四边形 ABCD" 中，若 $$\angle A = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠CBD= ， $$\frac { A D } { B D }$$ 的值为 . (2)【问题解决】如图2，在“璧合四边形 ABCD" 中， $$\angle A D B = \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A = 4 5 ^ { \circ } ， E$$ 为线段 AB 上一点 且 CD⊥DE， ，求 $$\frac { A E } { B C }$$ 的值. (3)【拓展应用】如图3，在“壁合四边形 ABCD" 中， $$\angle A = 4 5 ^ { \circ } ， A D = 1 2 ， E$$ 为线段AB上一动点，且 CD⊥DE， 连接 CE， ，将 △CDE 翻折，得到 △CFE， ，连接 BF， 若 BF=4， ，作出图形并求线段AE的长. 69.(2026山东德州一模)如图，AB为 ⊙O 的直径，射线AC交 ⊙O 于点C，过 ⊙O 上点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E， ，交AB的延长线于点F.直线 DE 是 ⊙O 切线，连接BD并延长交AC于点M. 20/24 0学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M E C D A F B (1)求证： AD 平分 ∠CAB； (2)若 $$\angle F = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，请判断 DM 和 ME 的数量关系.并证明结论； (3)在(2)的条件下，若 ⊙O 半径为1，求图中阴影部分面积. 考点09 勾股定理及其逆定理 2026年4月30日初中数学作业 学校：姓名：班级：考号： 一、系统分组加入顺序 70.(2026广西防城港一模)折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑 学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.下面是小明同学在学习了“特殊的平行 四边形”相关知识后进行的探究活动，请根据相关要求回答问题， P D D A A P D M M E F F E E F B C B C C B 图1 图2 备用图 (1)如图1 ^{∘} 矩形纸片 ABCD， 对折此纸片使AD与 BC 重合，得到折痕 EF， ，把纸片展平，再在AD 上选一点 P， 沿BP折叠，使点A落在 EF 上时，记为点M，则 ∠MBC 的度数为. (2)将矩形纸片换成边长为8cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：如图2，将正方形纸片 AB-CD 按照 (1)中的方式操作，点M仍然在 EF 上时，延长PM，交 CD 于点 Q， ，连接BQ. ①猜想 ∠CBQ 的度数，并说明理由. ②求此时 FQ 的长. (3)在(2)的探究中，改变点P在 AD 上的位置(点P不与点A，D重合)，沿BP折叠纸片，使点A落在正方形 内部的点 M 处，连接PM，BM，并延长PM，交CD于点Q，连接BQ.当 QF=1cm 时，求AP的长， 21/24 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 71,(2026浙江湖州一模)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点A'是点A关于直线BD的对称 点，连接AB交CD,AC于点E,F,连接OE.若CF=3,OF=2,则OE的长度为（) A.5 7 B.a14 c.3 D.} 72.(2026北京顺义一模)如图，在口ABCD中，AC,BD交于点O,E是CD的中点，过点O,E分别作直线 BC的垂线，垂足分别为G,F. B (1)求证：四边形OGFE是矩形： (2)若LBC0=45°，0D=V5,0G=1,求CF的长. 73.(2026重庆一模)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上且BE=BA,连接CE,点F为BC边上一点， 过点P作GP1GE于点H,交AD于点G,点K在AB边上，连接DH,KG,KH,若AB=DH,∠KGP=45,则 的值为() G H C A.34 4 B.3 C. 6 D. 34 1 22/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 74.(2026青海西宁.一模)如图，△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,点P是BC边上一个动点，过 点P分别作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,过点P作PN I AC交BD于点N. B (1)求证：四边形DNPF是矩形； (②)求证：PE+PF=BD; (3)若BD=4V3,DC=2W6,则当NF最短时，BP的长为· 75.(2026北京丰台.一模)如图，在菱形ABCD中，延长AD至点E使DE=AD,延长CD至点F使DF=CD, 连接AC,CE,EF,FA. (I)求证：四边形ACEF是矩形； ()②连接BF.若AB=3,sinzBAC=子，求BF的长. 76.(2026安徽合肥.一模)在LA0B中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为点D, 过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. A B D 图1 图2 (I)观察猜想：如图1，当LAOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系； (2)类比探究：如图2，当∠A0B为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否 仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明， 23/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)拓展应用当0°<∠A0B<180,且∠40B≠90时，若=4，请直接写出器的值 CD 24/24