第13章 立体几何初步 章末整合提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

该高中数学讲义通过知识模块与转化关系图构建空间几何知识体系，涵盖表面积体积、平行关系、垂直关系、空间角及距离五大核心内容，以"知识点-例题-反思-训练"结构呈现，用转化关系图梳理平行、垂直间的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如不规则几何体用分割补形法求解体积，空间角计算采用定义法与三垂线法，培养数学思维中的推理与运算能力。含高考真题（2023全国甲卷）及基础跟踪训练，兼顾不同层次学生，助力教师实施精准复习教学。

章末整合提升 【例1】　（1）　（2）　解析：（1）设h为△A1B1C1边B1C1上的高，由题可得＝＝·S△BCD·h＝××2×2×＝. （2）由题意可知V1＝a3，S1＝6a2，V2＝×πr2×r＝，S2＝πr2，由＝得a＝r，所以＝＝. 跟踪训练 　解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体. 该组合体的表面积为S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝（4＋16）π， 组合体的体积为V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝. 【例2】　证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. ∵NQ是△PCD的中位线， ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，又MQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. （2）∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 跟踪训练 　解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下： 如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 【例3】　证明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. （2）因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF， 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 跟踪训练 　解：（1）证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC. 因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC. 因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. （2）如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD. 因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD. 因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1. 因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AA1⊥平面BCD. 因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD. 因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1. 又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C. 因为AA1＝2，所以CD＝1. 易知AA1∥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1. 【例4】　解：（1）∵A'C'∥AC， ∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC（或其补角）. ∵AB⊥平面BC'，OC⊂平面BC'， ∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°. 即AO与A'C'所成的角为30°. （2）如图，作OE⊥BC于点E，连接AE. ∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC'， ∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝， ∴tan∠OAE＝＝. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. （3）由（1）可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即二面角B-AO-C的大小为90°. 跟踪训练 　解：（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O， 根据中点条件可以证明OE∥AC， ∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角， AC＝＝＝2，PC＝PA＝＝＝2， ∴∠PCA＝，故异面直线PC与OE所成的角是. （2）如图，取AC中点为D，连接PD，OD， 由（1）知，PA＝AC＝PC， ∴PD⊥AC， ∵OA＝OC，∴OD⊥AC， 又E为劣弧的中点，即有E∈底面圆O， ∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO， ∵C为半圆弧的中点，∴∠AOC＝， ∴OD＝AC＝1， ∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O，∴PO⊥OD， 又PO＝，∴在Rt△PDO中，PD＝， ∴cos∠PDO＝＝，∴二面角P-AC-E的余弦值是. 【例5】　（1）D　（2）B　解析：（1）由题知，PB＝PC＝＝，则P到BC的距离d＝ ＝＝4. （2）∵三个平面两两垂直，∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体，∴OP即为体对角线，∴OP＝＝＝5. 跟踪训练 　解：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC， 所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离， 因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC， 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB， 因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2， 设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC， 所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距离为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末整合提升 一、空间几何体的表面积与体积 　　主要考查多面体、旋转体的表面积，柱体、锥体、台体的体积及球的表面积和体积等，对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 【例1】　（1）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D-A1BC的体积是　　　； （2）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为　　　　. 反思感悟 关于空间图形的体积、表面积 　　首先要明确空间图形的基本量，如球的半径，空间图形的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算.在计算中应注意各数量之间的关系，特别是特殊的柱体、锥体、台体，要注意其中矩形、直角三角形及梯形等重要的平面图形的作用. 【跟踪训练】 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈.求所得几何体的表面积和体积. 二、空间中的平行关系 　　空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间图形中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 【例2】　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： （1）MN∥平面PAD； （2）MN∥PE. 反思感悟 线线平行、线面平行、面面平行间的关系 　　线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如图. 【跟踪训练】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 三、空间中的垂直关系 　　空间中的垂直主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 【例3】　 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4. （1）求证：AC⊥平面BCE； （2）求证：AD⊥AE. 反思感悟 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 【跟踪训练】 　（2023·全国甲卷18题）如图， 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； （2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 四、空间角的计算 　　空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 【例4】　 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，B'C∩BC'＝O，求： （1）AO与A'C'所成角的大小； （2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）二面角B-AO-C的大小. 反思感悟 1.求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）. 2.求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）. 3.二面角的平面角的作法常有三种：定义法、三垂线法、垂面法. 【跟踪训练】 　如图， 圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB＝2PO＝2. （1）求异面直线PC与OE所成的角的大小； （2）求二面角P-AC-E的余弦值. 五、空间距离的计算 　　空间立体几何中的距离包括点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距等.像线线距离、线面距离、面面距离等，都可以转化成点到平面的距离去求解. 【例5】　（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是（　　） A.　 B.2　　C.3　 D.4 （2）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（　　） A.5　 B.5　　C.3　 D.2 反思感悟 空间距离的求法 （1）由已知证明垂直关系，则垂线段的长就是点到平面的距离； （2）过点作平面的垂线，明确垂足，从而得到点到平面的距离； （3）运用等体积法求点到平面的距离. 【跟踪训练】 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距离. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $