专题13.1 基本立体图形（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学“基本立体图形”核心知识点，系统梳理棱柱、棱锥、棱台等多面体及圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的定义、结构特征与分类，构建从空间几何体概念到简单组合体构成，再到相关计算与应用的完整学习支架。 资料通过“即学即练”“变式训练”等分层题型设计，结合生活实例（如折扇、螺母）培养学生数学抽象与直观想象素养，最短距离问题中“化曲为直”方法渗透数学思维，助力教师课堂教学，也方便学生课后查漏补缺，强化空间观念。

专题13.1 基本立体图形 教学目标 1.感知并认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，初步形成空间观念． 2.了解棱棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的概念，能画出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的示意图． 3.能用运动变化的观点认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的关系． 4. 由生活背景抽象出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的概念，发展数学抽象素养；经历探索棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的性质的过程，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征和有关概念、画法． 2.难点 理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，初步形成空间观念. 知识点01 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义： 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体及其相关概念： ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念： ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱的结构特征 （1）定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． （2）棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… （3）棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． （4）棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 注：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 3.棱锥的结构特征 （1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （2）棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……； S S D D C C B B A A E C B A S （3）棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 注：棱锥有两个本质特征： （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可． 3.棱台的结构特征： （1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点． （2）棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 4．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征： 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 注：棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【即学即练】 1．下列命题正确的是（  ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 2．下列命题正确的是（  ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 知识点02 简单组合体 1．简单组合体的结构特征： (1)简单组合体的定义： 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式： ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体： ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 【即学即练】 1．已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（  ） A．3 B． C．5 D． 2．已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（  ） A． B． C．1 D．2 题型01 简单几何体的识别 【典例1】观察下面的几何体，哪些是棱柱？（  ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 判断一个空间图形是何种空间图形，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义分析判断。 【变式1】下列几何体中是棱锥的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是（  ） A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台 【变式3】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（  ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 题型02 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【典例1】下列命题是真命题的是（  ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 空间几何体结构特征的判断技巧： (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 【变式1】下面关于空间几何体叙述正确的是（  ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【变式2】“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（  ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【变式4】下列关于空间几何体的论述，正确的是（  ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【变式5】给出下列四个命题，正确的是（  ） A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 题型03 旋转体的结构特征 【典例1】下列关于空间几何体的论述，正确的是（  ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 (1)旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同．如：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥；若绕斜边所在直线旋转一周，则形成两个对底的圆锥． (2)对于与概念有关的命题的判断，一般情况下，要逐字逐句品读，与概念不一样的叙述，以及多字、少字转换的命题大多是不正确的． 【变式1】下列命题中正确的是（  ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【变式2】（多选）下列四个命题中正确的是（  ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【变式3】（多选）下列叙述正确的是（  ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面 题型04 空间几何体的有关计算 【典例1】已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（  ） A．1 B． C． D．2 【变式1】已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（  ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为___________ . 【变式4】已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 【变式5】如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（  ）    A． B． C． D． 题型05 空间几何体的最短距离问题 【典例1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 最短路径问题的解题策略： (1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. (2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 【变式1】如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（  ）    A． B． C． D． 【变式2】在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（  ） A．6 B． C．8 D． 【变式3】如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【变式4】 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为 ． 【变式5】几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 题型06 组合体的结构特征 【典例1】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（  ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 判断组合体构成的方法： (1) 判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的空间图形． (2) 组合体是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证. 【变式1】如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（  ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【变式2】指出图中三个空间图形的构成． (变式) 【变式3】指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      题型07 平面图形旋转形成的空间几何体 【典例1】如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（  ） A． B． C． D． ① 平面图形为不规则图形时，先分割成熟悉的规则图形，利用直角三角形、直角梯形、半圆形旋转规律来解决问题．② 不规则平面图形旋转形成的空间图形的结构特征的分析方法： 【变式1】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（  ） A．   B．   C．   D．   【变式2】若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（  ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【变式3】一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（ ） A．一个棱锥 B．一个圆锥 C．两个圆锥的组合体 D．无法确定 【变式4】如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    题型08 空间几何体的截面问题 【典例1】已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（  ） A．100 B．50 C．48 D．24 正方体的截面形状的探究： 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【变式1】如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（  ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【变式2】已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式4】如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为__________ 【变式5】在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 . 【变式6】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 题型09 多面体与球体内切问题 【典例1】桌面上有3个半径为2025的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的半径是 ． 【变式1】如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为2，则球的半径为（  ） A．1 B． C． D．2 【变式2】用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式3】如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      题型10 多面体与球体外接问题 【典例1】已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（  ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（  ） A． B．1 C． D． 【变式2】已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的半径为（  ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的半径为__________. 1．下列几何体是台体的是（  ） A． B． C． D． 2．小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（  ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台. 3．下列说法正确的是（  ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 4．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（  ） A．32 B． C． D． 5．我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（  ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 6．两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（  ） A．7 B．17 C．5或12 D．7或17 7．（多选）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（  ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 8．（多选）如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，点G是棱的中点，若动点P满足，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则（  ） A．Ω为平行四边形 B．Ω为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为2 9.（多选）下列关于空间几何体的说法正确的有（  ） A．正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则 B．一个四面体最多有3个面为直角三角形 C．各个面都是三角形的多面体最多有4个面 D．为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部 10．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 12．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 13．（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 14．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 基本立体图形 教学目标 1.感知并认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，初步形成空间观念． 2.了解棱棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的概念，能画出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的示意图． 3.能用运动变化的观点认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的关系． 4. 由生活背景抽象出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的概念，发展数学抽象素养；经历探索棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的性质的过程，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征和有关概念、画法． 2.难点 理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，初步形成空间观念. 知识点01 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义： 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. (2)多面体及其相关概念： ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念： ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱的结构特征 （1）定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． （2）棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… （3）棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． （4）棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 注：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 3.棱锥的结构特征 （1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （2）棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……； S S D D C C B B A A E C B A S （3）棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 注：棱锥有两个本质特征： （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可． 3.棱台的结构特征： （1）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点． （2）棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 4．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征： 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 注：棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【即学即练】 1．下列命题正确的是（  ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 2．下列命题正确的是（  ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 【答案】D 【分析】根据柱体，锥体，台体的定义和结构特征逐一判断即可. 【解析】对于A，正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，则A错误； 对于B，正八面体的所有面都是三角形，则B错误； 对于C，底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，则C错误； 对于D，由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则D正确. 故选：D. 知识点02 简单组合体 1．简单组合体的结构特征： (1)简单组合体的定义： 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式： ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体： ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 【即学即练】 1．已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（  ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由圆台的已知数据，利用勾股定理可求得母线长. 【解析】 由已知得：， 所以在直角梯形中，， 所以圆台的母线长为5. 故选：C. 2．已知圆锥的底面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先由底面面积求出底面半径，然后由底面周长等于侧面展开图的弧长列方程可求出母线长. 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，所以，得， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得, 故选：D. 题型01 简单几何体的识别 【典例1】观察下面的几何体，哪些是棱柱？（  ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【分析】根据棱柱的定义分析判断即可. 【解析】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 判断一个空间图形是何种空间图形，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义分析判断。 【变式1】下列几何体中是棱锥的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由棱锥的定义逐个判断即可得解. 【解析】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥. 故选：C. 【变式2】如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是（  ） A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台 【答案】C 【分析】根据圆锥，圆台的概念可得选项. 【解析】图①不是由圆锥截得的,所以①不是圆台; 图②上下两个面不平行，所以②不是圆台; 图④不是由圆锥截得的，所以④不是圆台;很明显③是圆锥， 故选：C. 【变式3】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（  ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【分析】棱柱：有两个面平行，其余各面都是平行四边行，且相邻的公共边平行所围成的图形； 棱锥：由一个面是多边形，其余各面都是共顶点的三角形所围成的图形； 棱台：用平行与底面的截面截棱锥，截面与底面之间几何体； 圆台：用平行与底面的截面截圆锥，截面与底面之间几何体. 【解析】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 题型02 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【典例1】下列命题是真命题的是（  ） A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形 【答案】D 【分析】根据棱柱、棱锥、球的定义分析判断即可. 【解析】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误． 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误． 对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误． 对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确． 故选：D 空间几何体结构特征的判断技巧： (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 【变式1】下面关于空间几何体叙述正确的是（  ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【分析】由基本立体图形的结构特征判断即可. 【解析】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 【变式2】“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【解析】充分性：多面体为长方体则可以得出多面体为直棱柱，故充分性满足； 必要性：当多面体为直棱柱时，底面不一定为矩形可以取三角，所以多面体为直棱柱时不能得出多面体为长方体，故必要性不满足. 故“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（  ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【答案】C 【分析】根据三棱台的结构特点，选出答案. 【解析】 三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥， 故选：C. 【变式4】下列关于空间几何体的论述，正确的是（  ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【分析】利用柱、锥、台的结构特征逐项判断即得. 【解析】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 【变式5】给出下列四个命题，正确的是（  ） A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【解析】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 题型03 旋转体的结构特征 【典例1】下列关于空间几何体的论述，正确的是（  ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【解析】          图1                图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． (1)旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同．如：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥；若绕斜边所在直线旋转一周，则形成两个对底的圆锥． (2)对于与概念有关的命题的判断，一般情况下，要逐字逐句品读，与概念不一样的叙述，以及多字、少字转换的命题大多是不正确的． 【变式1】下列命题中正确的是（  ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【解析】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D. 【变式2】（多选）下列四个命题中正确的是（  ） A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B．正三棱锥的每个面都是正三角形 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 【答案】CD 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C正确. 【解析】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误； 对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥， 以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C正确； 对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确； 故选：CD. 【变式3】（多选）下列叙述正确的是（  ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面 【答案】AD 【分析】由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解. 【解析】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：AD. 题型04 空间几何体的有关计算 【典例1】已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据正六棱锥的结构特征，借助于易求得其高线长. 【解析】 如图，因为正六棱锥的底面边长为1， 由正六边形的结构特征可得，， 因为正六棱锥的侧棱长是2，所以， 在中，. 所以正六棱锥的高为. 故选：C. 【变式1】已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥与其展开图的关系计算即可. 【解析】设底面半径为， 易知圆锥展开图对应扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线， 所以. 故选：B 【变式2】中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【解析】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D. 【变式3】已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为___________ . 【答案】 【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果. 【解析】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.    故答案为：. 【变式4】已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 【答案】 【分析】根据顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心，求出AO，然后由勾股定理可得. 【解析】如图，在正三棱锥中，， 由正三棱锥的性质可知，顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心， 则， 所以. 故答案为： 【变式5】如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【解析】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 题型05 空间几何体的最短距离问题 【典例1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【解析】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 最短路径问题的解题策略： (1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. (2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 【变式1】如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱锥的侧面展开，结合侧面展开图，得到要使的周长的最小，则共线，再由正三棱锥的结构特征和数量关系，即可求解. 【解析】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示， 因为，即， 由的周长为， 要使的周长的最小，则共线，即， 又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形， 所以，即虫子爬行的最短距离是. 故选：B.    【变式2】在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（  ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【解析】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B 【变式3】如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【解析】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 【变式4】 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【解析】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故答案为：. 【变式5】几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.． 【解析】以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接， 因为，所以，所以三点共线， 在中，根据正弦定理可得， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型06 组合体的结构特征 【典例1】如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（  ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 判断组合体构成的方法： (1) 判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的空间图形． (2) 组合体是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证. 【变式1】如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（  ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解. 【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C. 【变式2】指出图中三个空间图形的构成． (变式) 【答案】答案见解析 【分析】由空间几何体的结构特征可得. 【解析】图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱． 图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥． 图③中的空间图形是由一个球挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球． 【变式3】指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【答案】答案见解析 【分析】由空间几何体的结构特征可得. 【解析】左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的． 右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的， 也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的． 实际上，右图也可以看作一个柱体，它的底面为一个凹多边形．              题型07 平面图形旋转形成的空间几何体 【典例1】如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转后的几何体是由两个共底的圆锥组合而成的立体图形，再根据四个选项中三角形的特征及旋转轴即可作出判断． 【解析】A旋转一周是圆锥，不满足题意； B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意； D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意. 故选：B. ① 平面图形为不规则图形时，先分割成熟悉的规则图形，利用直角三角形、直角梯形、半圆形旋转规律来解决问题．② 不规则平面图形旋转形成的空间图形的结构特征的分析方法： 【变式1】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案． 【解析】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台， B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体， C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱， D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥． 故选：A. 【变式2】若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（  ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【分析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案． 【解析】由题意可知形成如图的几何体， 该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B 【变式3】一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（ ） A．一个棱锥 B．一个圆锥 C．两个圆锥的组合体 D．无法确定 【答案】C 【分析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案． 【解析】一个直角三角形绕其最长边AC旋转一周所形成的空间几何体是以斜边的高BD为半径的底面圆，以斜边被垂足D分得的两段长AD，CD为高的两个倒扣的圆锥的组合体， 故选：C. 【变式4】如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【解析】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3. 题型08 空间几何体的截面问题 【典例1】已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（  ） A．100 B．50 C．48 D．24 【答案】B 【分析】首先求出母线长，即可求出，由二倍角公式求出，过圆锥的两条母线，作一个截面，求出截面面积的最大值. 【解析】如图圆锥中，，， 所以圆锥的母线， 则在轴截面中，，，所以， 所以， 所以， 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 故选：B 正方体的截面形状的探究： 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【变式1】如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（  ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】延长BC，与两条棱相交，再连接交点和点A即可得到结果. 【解析】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面. 故选：C 【变式2】已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【解析】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 【变式3】如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】把截面补形，利用共面可得结果． 【解析】 延长与直线相交于连接与分别交于点 连接，则五边形即为截面， 故选：C. 【变式4】如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为__________ 【答案】 【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可． 【解析】如图，取BC的中点，连接EF，AF，, 、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面， 因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为. 故答案为： 【变式5】在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用已知条件，转化求解截面面积即可． 【解析】 如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD， ∴截面面积为：， 由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°， ∴， ∴sin∠BAD最大值为1， ∵为定值， 故当sin∠BAD最大时截面面积最大， 故截面面积最大为． 故答案为：8 【变式6】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1)4； (2)8 【分析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面面积，结合正弦函数性质得最大值． 【解析】（1）轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. （2）在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 题型09 多面体与球体内切问题 【典例1】桌面上有3个半径为2025的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的半径是 ． 【答案】 【分析】设3个半径为2025的球的球心分别为、、，与桌面的三个切点分别为、、，作三棱柱，然后设小球半径为，结合题意得出、、，最后根据勾股定理即可得出结果. 【解析】设3个半径为的球的球心分别为、、，与桌面的三个切点分别为、、， 如图所示，则三棱柱是一个底面边长为、高为的正三棱柱， 则小球球心在底面上的投影为三角形的中心， 连接、、，作，易知四边形是矩形，， 设小球半径为，则，， 因为是三角形的中心，所以， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 【变式1】如图，在棱长为的正方体内恰好装入两个相外切的球，，球心，在正方体的对角线上，其中球的半径为2，则球的半径为（  ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出对角线及球心，所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【解析】 设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得. 故选：A. 【变式2】用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】画出平面图,计算出第二个球最高点到圆柱底的最大距离，得到规律即可求解. 【解析】如图，将第一个球靠近该圆柱右侧放置，球上的点到该圆柱底面的最大距离为2，将第二个球也靠近圆柱侧面放置， 过点作垂直于该圆柱的母线，垂足为A,过点作垂直于圆柱底面， 垂足为B,设， 则球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 同理可得球上的点到该圆柱底面的最大距离为， 由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加， 因为，故最多能装下小球个数为11. 故选：B 【变式3】如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      【答案】 【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值. 【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，    小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得：， ∴， 故答案为：. 题型10 多面体与球体外接问题 【典例1】已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据几何体特征确定球心位置，结合勾股定理可得答案. 【解析】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 【变式1】在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】取，的中点分别为，，通过计算分别求得，通过比较可知，设外接球的球心到平面的距离为，通过勾股定理计算求得、，即可得出结果. 【解析】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高， ，则，所以，， 过点作的垂线，垂足为， 则， ，则，， 故能将正四棱台罩住的半球的最小半径． 设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故． 故选：D    【变式2】已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的半径为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求得圆台的母线，高，再根据几何体的外接问题求解即可. 【解析】设圆台的上底面的半径为，下底面半径为，母线长为，则， 因为圆台的侧面积为， 所以，解得 所以圆台的高为， 设圆台的外接球的半径为，则球心到圆台两底面的距离分别为， 因为圆台外接球的球心可能在上、下底面圆心所连的线段上，也可能在其延长线上 所以或， 方程得，平方整理得，解得， 同理解方程得该方程无解， 所以圆台的外接球的半径为， 故选：D 【变式3】在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的半径为__________. 【答案】 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可求解. 【解析】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. 故答案为： 1．下列几何体是台体的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据台体的定义逐一进行判断即可. 【解析】A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台； B中几何体上下底面不平行，所以不是圆台； C中几何体是棱锥，不是棱台； D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台． 故选D． 2．小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（  ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台. 【答案】C 【分析】根据球的结构特征即可求解. 【解析】由球的结构特征可知，球的轴截面是一个圆， 圆柱的轴截面可以是矩形，圆锥的轴截面可以是等腰三角形，圆台的轴截面可以是等腰梯形，故ABD错误，C正确. 故选：C. 3．下列说法正确的是（  ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【答案】C 【分析】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解. 【解析】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误， 即A错误，反例如图： 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误， 即B错误，反例如图： 对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确； 对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的， 故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误. 故选：C. 4．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（  ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【解析】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 5．我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（  ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果. 【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， 矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺）， 因此葛藤最少长（尺）. 故选：C. 6．两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（  ） A．7 B．17 C．5或12 D．7或17 【答案】D 【分析】根据球的半径和两个截面圆的面积求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的位置分别求出两个平行平面间的距离． 【解析】解：球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，； 球的半径为，由，得； 由，得； 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差； 即； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即； 所以这两个平面间的距离为或． 故选：D． 7．（多选）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（  ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可 【解析】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确； 对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确； 对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误； 对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确； 故选：ABD． 8．（多选）如图，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，点G是棱的中点，若动点P满足，点P的轨迹截该四棱柱所得形状为Ω，则（  ） A．Ω为平行四边形 B．Ω为梯形 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BCD 【分析】确定点的轨迹，即可判断AB，根据，判断C，根据几何关系推得，再根据几何关系计算. 【解析】如图，连接，因为动点P满足， 所以点P的轨迹是过的中点且与垂直的平面， 连接，易知过的中点且与垂直. 设的中点为E，连接，易证平面，所以． 设的中点为F，连接EF，AF，则，所以． 因此点P的轨迹是平面， 所以点P的轨迹截该四棱柱所得形状Ω是四边形，易知Ω为梯形，B正确，A错误． 因为，所以， 连接，得， 所以， 当P为与平面的交点时取“=”，C正确． 连接，易知，所以平面， 设点O是的中点，则点，O关于平面对称， 连接GO，则，当P为GO与平面的交点时取“=”． 连接OE，GE，易知，， 因为，所以，， 又，所以, 所以，D正确. 故选：BCD． 9.（多选）下列关于空间几何体的说法正确的有（  ） A．正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则 B．一个四面体最多有3个面为直角三角形 C．各个面都是三角形的多面体最多有4个面 D．为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部 【答案】AD 【分析】A由正五棱锥底面为正五边形，根据正五边形半径与边长的比，结合该棱锥侧棱长，即可判断；B在长方体中找到一个四个面都是直角三角形的四棱锥判断；C利用八面体的结构特征判断；D根据圆台的结构特征直接判断. 【解析】A：对于如下正五边形，，则， 所以，则，又， 所以，对于正五棱锥的侧棱长，则，故成立，对； B：如下长方体中，棱锥的四个面都是直角三角形，错； C：如下图示的八面体，各面都是三角形，不止4个面，错； D：由为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且不重合， 由于圆台侧面是一个曲面，线段在圆台内部，即直线穿过圆台内部，对. 故选：AD 10．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 【答案】4 【分析】作出辅助线，得到各边长，由勾股定理求出圆台的高. 【解析】如图所示，为圆台的轴截面，分别为上下底面圆心， 则，， 过点作⊥于点，则，， 在中，由勾股定理得， 故圆台的高为4. 故答案为：4 11．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 【答案】5 【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案． 【解析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为， 该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得， 如图为该圆锥的展开图， 有，，则， 故， 即符合题意最短的铁路的长度为5． 故答案为：5． 12．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【解析】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 13．（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【解析】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 14．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【解析】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $