专题13.4 空间两条直线的位置关系（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学“空间两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理从相交、平行、异面三种位置关系的分类，到基本事实4（平行公理）、等角定理的应用，再到异面直线的判定、所成角及距离的求法，构建递进式学习支架。 该资料通过“即学即练”即时巩固、题型分类（如线线平行证明、等角定理应用）及变式训练，结合正方体、三棱锥等模型例题，培养直观想象与逻辑推理素养，数学运算能力在异面直线所成角计算中得以提升。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题13.4 空间两条直线的位置关系 教学目标 1.了解空间两条直线的三种位置关系；掌握基本事实4的意义；能正确运用基本事实4判定空间两条直线平行；理解并掌握等角定理． 2.掌握证明异面直线的方法，理解异面直线所成角的概念、求法．． 3.在掌握并运用基本事实4及等角定理的过程中，发展逻辑推理和直观想象素养； 4.在理解异面直线的定义的过程中，发展数学抽象素养；在证明异面直线的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养；在求异面直线所成角的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 异面直线的概念、基本事实4以及等角定理；异面直线所成的角的定义． 2.难点 基本事实4与等角定理的应用；异面直线的证明；求两条异面直线所成角. 知识点01 空间两条直线的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 三种位置关系: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 因此，空间两条直线的位置关系有三种： 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 同一平面内 1 平行直线 同一平面内 0 异面直线 不同在任何一个平面内 0 2．平行直线 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=. 【即学即练】 1．在三棱台中，G，H分别是AB，AC的中点，则与（  ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 2．若，，且，则等于（  ） A． B． C．或 D．不能确定 知识点02 异面直线 (1)定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． 符号表示：若l⊂α， A∉α， B∈α， B∉l，则直线AB与l是异面直线. (2)异面直线的画法： 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. (3)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a, b，经过空间任一点O作直线a′∥a, b′∥b，则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线所成的角(或夹角)． (4)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (5)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 【即学即练】 1．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 题型01 判断或证明线线平行 【典例1】如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（  ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 证明两直线平行的常用方法： （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 【变式1】如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（  ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【变式2】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 ． 【变式3】如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【变式4】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由. 题型02 等角定理及其应用 【典例1】已知，，，则（  ） A． B．或 C． D．或 应用等角定理的注意事项： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 【变式1】已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（　　） A． B． C．或 D．不能确定 【变式2】若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（  ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【变式3】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【变式4】已知，则 ． 题型03 直线与直线的位置关系 【典例1】已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（  ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【变式1】已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（  ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式2】已知，是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线，的位置关系是（  ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【变式3】（多选）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断正确是（　　） A.BF与DN平行 B.CM与BN是异面直线 C.DF与BN垂直 D.AE与DN是异面直线 题型04 异面直线的概念及辨析 【典例1】如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（  ） A． B． C． D． 判定两直线异面的常用方法: （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况． 【变式1】设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】如图，在正方体中，直线与直线（  ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【变式3】在棱长为1的正四面体中，直线与是（  ）． A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 题型05 判断或证明异面直线垂直 【典例1】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 判断或证明异面直线垂直的方法: （1）根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定; （2）找到异面直线的夹角为直角即可 【变式1】已知三条直线，，满足且，则与（  ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【变式2】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】在直三棱柱中，，求证：． 题型06 异面直线所成的角 【典例1】如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为_____________    两异面直线所成角的常用方法: 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【变式1】如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（  ） A． B． C． D． 【变式2】在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（  ） A． B． C． D． 【变式3】在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为 . 【变式4】如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【变式5】在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 题型07 异面直线的距离 【典例1】正四面体的棱长为a，动点P与Q分别在AB和CD上，则P与Q两点间的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 结合异面直线与异面直线距离的定义，直接观察直观图即可。 【变式1】在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（  ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式2】三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（  ） A．1 B．2 C． D．3 【变式3】在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 【变式4】S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 题型08 与异面直线有关的的综合问题 【典例1】如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点． (1)试用反证法证明直线与是异面直线； (2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值． 【变式1】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则（  ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【变式3】在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，则=___________-. 【变式4】如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【变式5】如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，． (1)求证：直线与是异面直线； (2)若，，求、所成角的大小． 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2．两等角的一组对应边平行，则（  ） A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 3．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（  ） A． B． C． D． 4．在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（  ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 5．如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（  ）    A． B． C． D．或 6．如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中正确的是（  ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 8．（多选）如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中正确的是（  ） A．与平行 B．与为异面直线 C．与成60°角 D．与垂直 9.（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（  ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 10．已知空间中的两个角和，若，则 . 11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________ 12．在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为_________． 13．已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值． 14．如图，在正方体中： (1)求直线与的夹角； (2)作出异面直线AC与所成的角； (3)作出异面直线与所成的角，并求出该角的正切值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.4 空间两条直线的位置关系 教学目标 1.了解空间两条直线的三种位置关系；掌握基本事实4的意义；能正确运用基本事实4判定空间两条直线平行；理解并掌握等角定理． 2.掌握证明异面直线的方法，理解异面直线所成角的概念、求法．． 3.在掌握并运用基本事实4及等角定理的过程中，发展逻辑推理和直观想象素养； 4.在理解异面直线的定义的过程中，发展数学抽象素养；在证明异面直线的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养；在求异面直线所成角的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 异面直线的概念、基本事实4以及等角定理；异面直线所成的角的定义． 2.难点 基本事实4与等角定理的应用；异面直线的证明；求两条异面直线所成角. 知识点01 空间两条直线的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 三种位置关系: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 因此，空间两条直线的位置关系有三种： 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 同一平面内 1 平行直线 同一平面内 0 异面直线 不同在任何一个平面内 0 2．平行直线 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=. 【即学即练】 1．在三棱台中，G，H分别是AB，AC的中点，则与（  ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【分析】根据中位线得到线线平行，结合三棱台的性质得到答案. 【解析】如图所示， 因为G，H分别是AB，AC的中点， 所以，又由三棱台的性质得， 所以． 故选：C. 2．若，，且，则等于（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【解析】因为，，且， 所以 或 . 故选：C. 知识点02 异面直线 (1)定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． 符号表示：若l⊂α， A∉α， B∈α， B∉l，则直线AB与l是异面直线. (2)异面直线的画法： 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. (3)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a, b，经过空间任一点O作直线a′∥a, b′∥b，则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线所成的角(或夹角)． (4)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (5)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 【即学即练】 1．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 2．如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明. 【解析】如图，取的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为的中点， ∴，∴BE和EF所成角为， 即为异面直线BE与所成角，且. 在正三棱柱中，，. 在等边三角形ABC中，， 在Rt△BCF中，. 在△BEF中，， ∴，∴. 题型01 判断或证明线线平行 【典例1】如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（  ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解. 【解析】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 证明两直线平行的常用方法： （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 【变式1】如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（  ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【解析】如图，连接，则分别为的中点，    故, 由分别是线段的中点，得， 故, 故选：C. 【变式2】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】根据中位线性质可证明四边形是平行四边形，可得结论. 【解析】连接，如下图所示： 因为是的中点，是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 故答案为：. 【变式3】如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线性质、线段比例关系以及平行直线的传递性，即可证明. 【解析】∵E、H分别是AB、AD的中点，则， 又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则， ∴， 故直线EH与直线FG平行． 【变式4】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由. 【答案】答案见解析 【分析】根据平行直线的传递性，即可画出. 【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F， ∴直线EF即为所求. 理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC. 题型02 等角定理及其应用 【典例1】已知，，，则（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据等角定理，即可得到结论. 【解析】的两边与的两边分别平行， 根据等角定理易知或. 故选：B. 应用等角定理的注意事项： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 【变式1】已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（　　） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【解析】由等角定理可知角的两边和角的两边分别平行，则两角相等或互补， 故或，所以或. 故选：C. 【变式2】若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（  ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【解析】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 【变式3】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【解析】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 【变式4】已知，则 ． 【答案】或 【分析】结合两直线平行相关的等角定理即可求解． 【解析】若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示，    因为，所以或． 故答案为：或． 题型03 直线与直线的位置关系 【典例1】已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（  ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【解析】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C. 【变式1】已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（  ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断与的位置关系. 【解析】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【变式2】已知，是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线，的位置关系是（  ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【答案】D 【分析】结合正方体判断，的位置关系，即可得答案. 【解析】如图，在正方体中，记上下底面分别为，如图1，，如图2，，相交，如图3，，异面， 故选：D. 【变式3】（多选）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断正确是（　　） A.BF与DN平行 B.CM与BN是异面直线 C.DF与BN垂直 D.AE与DN是异面直线 【答案】CD 【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得. 【解析】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体, 则BF与DN是异面直线，故A错误； CM与BN平行，故B错误； 由题可知，所以DF与BN垂直，故C正确； AE与DN是异面直线，故D正确； 故选：CD. 题型04 异面直线的概念及辨析 【典例1】如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平行六面体的性质判断选项中各线段与的位置关系，即可得答案. 【解析】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B. 判定两直线异面的常用方法: （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况． 【变式1】设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故选：B. 【变式2】如图，在正方体中，直线与直线（  ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由图正方体结构特点及异面直线的定义可得答案. 【解析】由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A. 【变式3】在棱长为1的正四面体中，直线与是（  ）． A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 【答案】C 【分析】利用异面直线的判断方法判断即可. 【解析】作出正四面体，如图，    因为平面，平面，，平面， 所以与是异面直线. 故选：C. 题型05 判断或证明异面直线垂直 【典例1】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【解析】（1）如图所示，连接，    为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 判断或证明异面直线垂直的方法: （1）根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定; （2）找到异面直线的夹角为直角即可 【变式1】已知三条直线，，满足且，则与（  ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【解析】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 【变式2】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【解析】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 【变式3】在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【解析】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 题型06 异面直线所成的角 【典例1】如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为_____________    【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【解析】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故答案为：.. 两异面直线所成角的常用方法: 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【变式1】如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法确定异面直线夹角. 【解析】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 【变式2】在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【解析】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 【变式3】在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【解析】如图，取的中点，连接， 则，所以，且， 故四边形是平行四边形， 则，故即为与所成的角（或其补角）， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得 ， 故与两条异面直线所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式4】如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）,再利用余弦定理及同角三角函数关系即可求. 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 【变式5】在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60°；(2)或 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【解析】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 题型07 异面直线的距离 【典例1】正四面体的棱长为a，动点P与Q分别在AB和CD上，则P与Q两点间的距离的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断当点P与Q分别为AB和CD的中点时，为异面直线的公垂线段，取最小值，再由正四面体的性质求解即可. 【解析】 由题意知，当为异面直线的公垂线段时，取最小值.又点P与Q分别为AB和CD的中点时，易得，则， 同理可得，此时最小，，，故P与Q两点间的距离的最小值为. 故选：C. 结合异面直线与异面直线距离的定义，直接观察直观图即可。 【变式1】在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（  ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】结合异面直线与异面直线距离的定义，直接观察直观图即可 【解析】由题，观察正方体即可得与AD成异面直线且距离等于a的棱有， 故选：C 【变式2】三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（  ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长，再当分别为两条棱的中点时，最小，求出即可； 【解析】 由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为， 则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小， 此时， 故选：A. 【变式3】在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解. 【解析】如图所示： 分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF， 因为， 所以， 又因为E为中点， 所以，同理， 所以EF为异面直线AB和CD的公垂线， 所以， 故答案为： 【变式4】S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解； （2）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解. 【解析】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 题型08 与异面直线有关的的综合问题 【典例1】如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点． (1)试用反证法证明直线与是异面直线； (2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)，值域；(3) 【分析】（1）假设直线与共面，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明； （2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域； （3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案． 【解析】（1）证明：假设直线与是共面直线， 设直线与都在平面上，则A、、、． 因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点， 即平面和平面重合（都与平面重合）， 这与长方体的相邻两个面不重合矛盾， 于是，假设不成立， 直线与是异面直线. （2）解：正方体的棱长为2，， 设，则，得，， ，得， ， 当时，有最小值为， 当趋近于时，趋近于2，当趋近于0时，趋近于， 函数的值域为； （3）当时，最小，此时， 在底面中，，，， 又，为异面直线与所成角的角， 在中，为直角，， ∴异面直线与所成角的正弦值为． 【变式1】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】在上取点使，连接，分析可知即为异面直线与所成的角(或其补角)，利用余弦定理可得的长. 【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故选：A. 【变式2】在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【答案】1或 【分析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，分析可知利用余弦定理可得EF的长. 【解析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线， 可得，                           同理可得， 因为AD与BC所成的角为60° 所以等于60°或120°， 当 在中根据余弦定理得， 当同理可得 故答案为：1或 【变式3】在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，则=___________-. 【答案】 【分析】连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【解析】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 故答案为： 【变式4】如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【分析】取中点，连接，，分析可知为异面直线与所成的角（或补角），利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【解析】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 【变式5】如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，． (1)求证：直线与是异面直线； (2)若，，求、所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)60° 【分析】（1）为上靠近的三等分点，易证四点共面（面），结合异面直线的定义判断与是否异面； （2）分别为靠近的三等分点，易知、所成角为或其补角，进而求其大小. 【解析】（1）若为上靠近的三等分点，则，故， 所以四点共面，显然不共线，故面与面为同一个平面， 而面，面，即面，面，， 所以直线与是异面直线； （2）若分别为靠近的三等分点，则， 所以，，故为平行四边形，且、所成角为或其补角， 又，，则， 由，故，则、所成角为60°. 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【解析】 ∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 2．两等角的一组对应边平行，则（  ） A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据空间图形的平行关系求解即可. 【解析】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系， 故选：D 3．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【解析】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 4．在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（  ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【答案】C 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【解析】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 5．如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（  ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成的角为或其补角，分、两种情况讨论，通过解，可得出的长. 【解析】取线段的中点，连接、，    因为、分别为、的中点，则且， 同理可得且， 所以，异面直线、所成的角为或其补角， ①若，则是边长为的等边三角形，故； ②若，因为，则为等腰三角形，且， 取的中点，则，且. 综上所述，或. 故选：D. 6．如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用异面直线的定义确定夹角，进而求出其余弦值. 【解析】在正三棱柱中，连接， 由，得为异面直线BC与所成角或其补角， 中，，同理， 在等腰中，， 所以异面直线BC与所成角的余弦值为. 故选：A. 7．（多选）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中正确的是（  ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 【答案】ABC 【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决. 【解析】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点， 所以 且， 同理在中， 且， 所以所以四边形为平行四边形， 所以，， ， 四点共面，所以A正确; 在中,由中位线定理得 同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知， ，,, 所以，所以C正确; 由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误; 故选:ABC. 8．（多选）如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中正确的是（  ） A．与平行 B．与为异面直线 C．与成60°角 D．与垂直 【答案】BCD 【分析】还原成正四面体，逐项判断即可. 【解析】还原成正四面体， 如图，由异面直线判定定理： 易知与为异面直线，A错， 与为异面直线，B对， 易知：，又， 所以与成角，C对， 因为正四面体对棱垂直，所以， 所以，D对， 故选：BCD 9.（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（  ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】提出假设证明得出矛盾可判断A错误，根据异面直线性质可得B正确，作出异面直线的平面角可得C正确，由正方体棱长计算利用梯形面积公式计算可得D正确. 【解析】对于A，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知， 若直线与是平行直线，则可得，显然这与相交于点矛盾，故错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，如下图：    可得为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为.故C正确. 对于D，连接，易知，，所以为等腰梯形， 因为棱长为2，可得， 即等腰梯形的高为，因此，即D正确. 故选：BCD. 10．已知空间中的两个角和，若，则 . 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【解析】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________ 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【解析】如图所示，将直三棱柱补成直四棱柱， 其中四棱柱的底面为平行四边形，连接，， 则，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为，，， 且由题意得， 所以，．在中， ，，， 由余弦定理得， 解得(负根舍去)，则， 所以，所以，故C正确. 故答案为： 12．在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为_________． 【答案】或 【分析】先平移后再解三角形即可. 【解析】如图，取BC中点O，连接OE，OF． ∴OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角．    而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°． 当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝； 当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝． 故答案为：或 13．已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）． (1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线； (2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据点与线和点与面的位置关系推出是平面和的公共点，结合平面平面，即可证明； （2）连接，作的中点，并连接，，利用中位线的性质可以得到异面直线与所成的角等于直线与所成角，再根据余弦定理即可求解. 【解析】（1）因为，，平面，平面， 所以平面， 因为，，平面，平面， 所以平面， 由于直线与直线相交于点， 即，平面，，平面， 又有平面平面，则， 所以，，三点共线. （2）连接，作的中点，并连接，，如图所示： 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 在中，点，分别是和的中点，且， 所以，且， 则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角， 又，由余弦定理得：， 故异面直线与所成的角的余弦值为. 14．如图，在正方体中： (1)求直线与的夹角； (2)作出异面直线AC与所成的角； (3)作出异面直线与所成的角，并求出该角的正切值． 【答案】(1)；(2)答案见解析；；(3)图形见解析，正切值为． 【分析】（1），所以是异面直线与所成的角或其补角，解三角形可得； （2）设与交于点，则是中点，取中点，可得是异面直线AC与所成的角或其补角； （3）由，所以是异面直线与所成的角或其补角．解三角形可得． 【解析】（1）正方体中，所以是异面直线与所成的角或其补角， ，所以异面直线与所成的角是； （2）设与交于点，则是中点， 取中点，连接，则， 所以是异面直线AC与所成的角或其补角． （3）因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由于正方体中平面，平面，所以， ． 所以异面直线与所成的角的正切值为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $