13.2.2空间两条直线的位置关系（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十三章 立体几何初步 13.2.2空间两条直线的位置关系 知识点一 空间两条直线的位置关系 1.异面直线：不同在任何一个平面内的直线. 2. 空间两条直线的位置关系： ①相交直线——在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行直线——在同一平面内，没有公共点； ③异面直线------不同在任何一个平面内，没有公共点． 即学即练 （2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【知识点】异面直线的判定 【分析】通过观察各图中点的位置关系，利用异面直线的判定方法：若两直线既不平行也不相交，且其中一条直线上的点不在另一条直线所在平面内，则它们异面，从而逐一判断每个图形. 【详解】图①中，直线；图②中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 图③中，连接（图略），，因此与共面； 图④中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 所以在图②④中，与异面． 故选：BD． 知识点二 平行直线 1.基本事实4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2.等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 即学即练 （25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 知识点三 异面直线 1.异面直线的判定方法： （1）定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； （2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2.异面直线所成的角 1 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．异面直线a，b所成的角为直角，称a，b互相垂直，记作. 2 范围：. 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则当，满足条件____________时，四边形为菱形；当，满足条件____________时，四边形是正方形. 【答案】 且 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、平行公理 【分析】由三角形的中位线定理可得四边形为平行四边形，根据菱形和正方形的定义可求出相应的条件. 【详解】因为 ，，，分别是棱，，，的中点， 所以，，，， 且，，，， 所以，且. 所以四边形为平行四边形. 因为邻边相等的平行四边形是菱形， 所以当时，，四边形为菱形； 因为有一个角是直角的菱形是正方形， 所以当且时，，四边形为正方形. 故答案为：；且. 题型01 基本事实4（平行公理）及其应用 1.判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． 2.判断两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 典｜例｜精｜析 （17-18高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 2.（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 题型02 等角定理及其应用 角相等问题：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 典｜例｜精｜析 （2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是 ． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，利用棱柱的结构特征、等角定理及平行四边形性质即可得解. 【详解】在四棱柱中，，并且与的方向相同， 因此，又四边形、四边形都是平行四边形，则， 所以与相等的角是. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1.（23-24高二上·上海·期中）已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则 ． 【答案】60°或120° 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补． 因为空间中角的两边分别平行于角的两边，所以与相等或互补， 因为，所以60°或120°． 故答案为：60°或120°． 2．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 【答案】或 【分析】根据异面直线所成角为锐角或直角，且由等角定理可知与异面直线所成角相等或是其补角，从而求解. 【详解】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成的角或补角， 所以或. 故答案为：或. 题型03 异面直线的概念及辨析 不同在任何一个平面内，没有公共点． 典｜例｜精｜析 （2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定 【分析】本题考查正方体的结构特征，利用异面直线的判断法若 则直线与互为异面直线依次分析选项即可 【详解】如图取中点,和顶点M,N,P,Q连接 在正方体中有,所以，所以点四点共面，所以直线EF与直线共面，选项A不对； 由A选项可知点四点共面，同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面,所以直线与直线不是异面直线，选项B错误； 在正方体中有,所以，选项C不对； 直线平面AFG, 直线平面,所以直线与直线是异面直线,选项D正确； 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析、棱柱的结构特征和分类 【分析】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可. 【详解】以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 2.（多选）（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A． B． C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角 【答案】ACD 【分析】根据给定的展开图，还原正方体，再结合线线垂直、平行及异面直线的意义判断即可. 【详解】将正方体的展开图还原，如图， 对于A，连接，显然，则四边形是平行四边形， ，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则，而，因此，B错误； 对于C，平面，平面，，平面， 因此MN与AB是异面直线，C正确； 对于D，由选项B知，，因此BF与CD成角，D正确. 故选：ACD 题型04 异面直线的判定 异面直线的判定方法 ①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． ②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 典｜例｜精｜析 （2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【知识点】异面直线的判定 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 变｜式｜巩｜固 1.（多选）（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与是异面直线 B．若与异面，与异面，则与异面 C．若不同在平面内，则与异面 D．若不同在任何一个平面内，则与异面 【答案】ABC 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，根据异面直线的定义得到答案. 【详解】对于A：若，则与是异面直线或相交直线或，故A错误； 对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与可能是异面直线或或相交，故B错误； 对于C：若不同在平面内，则与是异面直线或相交直线或，故C错误； 对于D：根据异面直线的定义，若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确． 故选：ABC． 2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条    【答案】4 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定 【分析】根据异面直线的定义可得. 【详解】在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与重合的有一条，即直线； 与平行的有三条，即直线； 与相交的有四条，即直线； 所以与异面的有四条，分别是直线. 故答案为：4. 题型05 异面直线所成的角概念与辨析 1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 2.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 典｜例｜精｜析 （22-23高一下·四川广安·月考）在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】取的中点，连接，由线线角的定义找到与、与所成角的平面角，根据已知求与所成角的大小. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 所以且，且， 综上，或其补角为与所成的角，或其补角为与所成的角. 与所成的角为，或， 由，知，则为等腰三角形， 当时，；当时，， 故与所成角的大小为或. 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高二下·浙江·月考）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】数形结合把平移到点处，则与所成的角都为的直线有2条. 【详解】过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且，这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 综上，满足条件的直线的条数为2. 故选：C. 2.（24-25高一下·山东聊城·期末）已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【知识点】正棱锥及其有关计算、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图： 因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 题型06 证明异面直线垂直 借助几何体中的平行、垂直关系. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正方体，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】利用异面直线所成的角是即可证明异面直线垂直. 【详解】证明:如图,连接,交于,设的中点为,连接,则,所以与所成的角即为与所成的角． 连接,,因为正方体,所以. 又是的中点,所以,所以. 变｜式｜巩｜固 1．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【知识点】求异面直线所成的角、证明异面直线垂直、异面直线的判定 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 题型07 求异面直线所成的角 1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 2.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 典｜例｜精｜析 （22-23高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 【答案】(1)，，，DA，DC，； (2)证明见解析； (3). 【知识点】异面直线的判定、证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）利用异面直线的定义判断作答. （2）（3）利用异面直线的定义，求出异面直线的夹角即可作答. 【详解】（1）正方体共有12条棱，与相交的棱有6条，与平行的棱不存在， 因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是，，，DA，DC，． （2）在正方体中，由，得与AD的夹角就是与BC的夹角， 因为，则与BC的夹角为， 所以． （3）连接，因为， 于是四边形是平行四边形，即， 从而与AC的夹角就是与的夹角，连接， 而，与都是正方体的面对角线，则有，即是正三角形， 所以与的夹角为，即与AC的夹角为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 2．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】第（1）问用反证法，假设两条直线共面，通过推理得出与已知条件矛盾，从而证明它们异面； 第（2）问通过作辅助线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再在三角形中利用余弦定理求出角的余弦值. 【详解】（1）证明 假设与共面，设平面为， 因为，，，所以平面即为平面，所以平面， 这与平面矛盾， 所以与是异面直线． （2）取的中点，连接，，则，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角． 因为，，平面， 所以，，，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 题型08 根据异面直线所成的角求其它量 判断异面直线、确定异面直线所成的角、构建平面图形、解三角形. 典｜例｜精｜析 （23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、余弦定理解三角形 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以或， 当时，由余弦定理， 所以； 当时，由余弦定理， 所以； 综上可得或. 故答案为：或 变｜式｜巩｜固 1．（17-18高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 2．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 立体几何初步 13.2.2空间两条直线的位置关系 知识点一 空间两条直线的位置关系 1.异面直线：不同在任何一个平面内的直线. 2. 空间两条直线的位置关系： ①相交直线——在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行直线——在同一平面内，没有公共点； ③异面直线------不同在任何一个平面内，没有公共点． 即学即练 （2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A．① B．② C．③ D．④ 知识点二 平行直线 1.基本事实4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2.等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 即学即练 （25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    知识点三 异面直线 1.异面直线的判定方法： （1）定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； （2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2.异面直线所成的角 1 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．异面直线a，b所成的角为直角，称a，b互相垂直，记作. 2 范围：. 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则当，满足条件____________时，四边形为菱形；当，满足条件____________时，四边形是正方形. 题型01 基本事实4（平行公理）及其应用 1.判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． 2.判断两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点． 典｜例｜精｜析 （17-18高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2.（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 题型02 等角定理及其应用 角相等问题：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 典｜例｜精｜析 （2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是 ． 变｜式｜巩｜固 1.（23-24高二上·上海·期中）已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则 ． 2．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 题型03 异面直线的概念及辨析 不同在任何一个平面内，没有公共点． 典｜例｜精｜析 （2025·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 2.（多选）（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A． B． C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角 题型04 异面直线的判定 异面直线的判定方法 ①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． ②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 典｜例｜精｜析 （2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 变｜式｜巩｜固 1.（多选）（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与是异面直线 B．若与异面，与异面，则与异面 C．若不同在平面内，则与异面 D．若不同在任何一个平面内，则与异面 2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条    题型05 异面直线所成的角概念与辨析 1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 2.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 典｜例｜精｜析 （22-23高一下·四川广安·月考）在空间四边形中，，且与所成的角为分别为的中点，则与所成角的大小是（    ） A． B． C．或 D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高二下·浙江·月考）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（24-25高一下·山东聊城·期末）已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 题型06 证明异面直线垂直 借助几何体中的平行、垂直关系. 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正方体，求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（2024高一下·全国·专题练习）直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（多选）（24-25高一下·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 题型07 求异面直线所成的角 1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 2.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 典｜例｜精｜析 （22-23高一·全国·课堂例题）已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 2．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型08 根据异面直线所成的角求其它量 判断异面直线、确定异面直线所成的角、构建平面图形、解三角形. 典｜例｜精｜析 （23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 变｜式｜巩｜固 1．（17-18高二下·湖南·期末）在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $