学易金卷：高一数学下学期第三次月考（上海专用，沪教版必修第二册第6～8章三角、三角函数、平面向量）

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦三角、三角函数、平面向量核心内容，以“感恩之心”景观设计（解答题19）、向量积新定义（解答题20）等情境，融合基础巩固与创新探究，适配高一学生阶段性能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|向量共线、三角函数定义域、三角形边角关系|基础题占比60%，如第1题向量共线求参数，夯实概念理解| |选择题|4/18|充要条件判断、函数值域、零点问题|第16题折扇动态几何情境，考查数学眼光观察空间形式| |解答题|5/78|三角形形状判断、三角恒等变换、实际应用|第19题景观带费用优化，体现数学语言表达现实问题；第21题函数性质探究，发展创新意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6~8章三角、三角函数、平面向量。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量，，若，则_____. 2．已知角为第一象限角，且，则__________. 3．的角是第__________象限. 4．函数的定义域是______． 5．在中，，则__________. 6．已知为第二象限角，，则__________. 7．在中，已知，当时，的面积为__________． 8．已知，则__________. 9．函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 10．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是_________. 11．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 12．若存在实数，使函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围为________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．在中，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 15．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)判断的形状； (2)若，，求的面积． 18．（14分）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值. 19．（14分）为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. (1)试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； (2)若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 20．（18分）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． (1)已知，求； (2)证明：对任意，有； (3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 21．（18分）函数满足：对任意实数恒成立． (1)求函数的解析式； (2)当时，的最大值为，求的值； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6~8章三角、三角函数、平面向量。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量，，若，则_____. 【答案】或 【详解】因为向量，，且，则， 即，解得或. 故答案为：或. 2．已知角为第一象限角，且，则__________. 【答案】 【详解】因为角为第一象限角，且， 所以. 3．的角是第__________象限. 【答案】四 【详解】因为，所以的终边与的终边重合， 又为第四象限角，所以的终边落在第四象限. 4．函数的定义域是______． 【答案】/ 【详解】要使函数有意义，需满足被开方数非负，即，整理得， 根据正弦函数的性质，对任意实数，都有恒成立，因此对所有实数都成立. 即函数的定义域为（或） 5．在中，，则__________. 【答案】36 【详解】在中,， 所以． 6．已知为第二象限角，，则__________. 【答案】 【详解】因为为第二象限角，由可得， 所以，则. 7．在中，已知，当时，的面积为__________． 【答案】/1.5 【详解】由已知得， 当时, ， 所以． 8．已知，则__________. 【答案】 【详解】可知即，移项得， 利用辅助角公式可得，所以，又因为， 所以，得即，则. 9．函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 【答案】 【详解】由图象得，，即周期，即， 所以，又，所以函数的解析式为. 10．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是_________. 【答案】等腰三角形 【详解】由余弦定理可得 整理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 11．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 【答案】16 【详解】因为点共线，且在之间，所以存在实数使得， 则，整理得. 因为，所以. 所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为16. 12．若存在实数，使函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意可得，解得或， 当在上有且仅有3个零点时， 不妨设三个连续的零点为， 或； 则或， 即或， 解得或，所以. 当存在实数，使函数在上有且仅有3个零点， 的取值范围为. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．在中，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得：，即，. 充分性验证： 若，由大角对大边得，即，所以充分性成立. 必要性验证：若，则，即，由大边对大角得，所以必要性成立. 因此“”是“” 的充要条件. 14．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当为第一象限角时，； 当为第三象限角时，； 当为第二、四象限角时，. 15．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 16．折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】C 【详解】如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 由可得，， 对于A，若，则，解得（负值舍去），故，故A正确； 对于B，， 则 ， 因为，所以，则， 所以，所以，故B正确； 对于C，若，则，， 所以， 因为，故C错误； 对于D，由于，， ， 而，所以，所以，故D正确． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)判断的形状； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）由正弦定理，得，， 代入 得： ， 又，故， 代入上式整理得： ， 因为，所以，即， 则是等腰三角形……（7分） （2）因为， 所以 ，​ 由（1）知， 根据余弦定理， 代入得： ，​ 解得， 故三角形面积.……（14分） 18．（14分）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值. 【详解】（1）由 ， 解得，故.……（7分） （2）由（1）可得，又因为，， 所以，则， 故.……（14分） 19．（14分）为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. (1)试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； (2)若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 【详解】（1）由题意，易得：． 所以矩形的面积为. 的面积为．……（6分） （2）设建造观景区所需总费用为， 由题意， 即， 令， 设，则， 由， 因为，所以，所以，所以， 从而． 当，即时，有． 所以最小值为 （万元）． 故当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元．……（14分） 20．（18分）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． (1)已知，求； (2)证明：对任意，有； (3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 【详解】（1），求； 因为，则， 易得，，， 所以，，．……（4分） （2）若中有，不妨取，则，， 而，所以成立； 若都不是，则， 所以 ， 所以， 当在的逆时针方向，即，，此时，且， 当在的顺时针方向，即，，此时，且， 所以．……（10分） （3）由题可知，， 如图建立平面直角坐标系，则的起点为原点，终点落在以原点为圆心，半径为2的圆上， 设的终点为，的终点为，， 则， 因为，， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，则， 所以．……（18分） 21．（18分）函数满足：对任意实数恒成立． (1)求函数的解析式； (2)当时，的最大值为，求的值； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 【详解】（1）由题意，是的最大值点，对，其中， 代入得，所以，解得， 利用辅助角公式整理得.……（5分） （2）周期为，当，令，则，区间长度为. 的最大值等于区间内的最大值减最小值，由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足， 因此 解得（等价形式）.……（11分） （3）将向右平移得： ，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. ，则，均为正，验证三边关系： ，成立； 同理可证，，均成立。 因此可以作为的三边长. 设三边长，对角， 由余弦定理： 得， 由正弦定理，代入，得，为定值.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第二册第6~8章三角、三角函数、平面向量。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知向量，，若，则_____. 2．已知角为第一象限角，且，则__________. 3．的角是第__________象限. 4．函数的定义域是______． 5．在中，，则__________. 6．已知为第二象限角，，则__________. 7．在中，已知，当时，的面积为__________． 8．已知，则__________. 9．函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 10．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是_________. 11．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为__________. 12．若存在实数，使函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围为________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．在中，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 15．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)判断的形状； (2)若，，求的面积． 18．（14分）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值. 19．（14分）为迎接校园感恩季主题文化活动，学校计划在中心广场打造一处“感恩之心”半圆主题景观带，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆的半径为1千米.现拟在该景观带中打造两个特色功能区：其中“感恩寄语展示区”的形状为矩形（用于陈列学生感恩手作､暖心留言）；“感恩花艺打卡区”的形状为（用于布置感恩主题鲜花盆植，供师生拍照打卡）.要求端点均在直径上，端点均在圆弧上.设与直径所成的角为. (1)试用分别表示矩形（感恩寄语展示区）和（感恩花艺打卡区）的面积，并写出的范围； (2)若在矩形两侧线段的位置搭建两座感恩主题装饰栏（悬挂感恩挂饰），已知：打造感恩寄语展示区的总费用为5万元；搭建感恩主题装饰栏的费用为每千米8万元（包含挂饰､安装等全部费用）；打造感恩花艺打卡区的费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，打造该“感恩之心”主题景观带的总费用最低，并求出其最低费用值. 20．（18分）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． (1)已知，求； (2)证明：对任意，有； (3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 21．（18分）函数满足：对任意实数恒成立． (1)求函数的解析式； (2)当时，的最大值为，求的值； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 p 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 23 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效 4 4 4 4 4 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 破。 5. 正确填涂■ 5678 456789 123456789 0123456789 缺考标记 6789 789 6789 6789 6789 6789 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 5 6. 8. 10. 11. 12. 警 二、选择题（本大题共有4题， 满分18分，第13~14题每题4分，第 1516题每题5分) 妇 13[AB][C][D] 14[A[B][CD] 15[AB][C][D] 16[A][B][C[D] 器 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数字弟3页〔共6贝) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) D M 0 A B 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 数学·参考答案 1、 填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 或 2. 3. 四 4. / 5. 36 6. 7. /1.5 8 . 9. 10 . 等腰三角形 11. 16 12 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C B C C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由正弦定理，得，， 代入 得： ， 又，故， 代入上式整理得： ， 因为，所以，即， 则是等腰三角形……（7分） （2）因为， 所以 ，​ 由（1）知， 根据余弦定理， 代入得： ，​ 解得， 故三角形面积.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由 ， 解得，故.……（7分） （2）由（1）可得，又因为，， 所以，则， 故.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意，易得：． 所以矩形的面积为. 的面积为．……（6分） （2）设建造观景区所需总费用为， 由题意， 即， 令， 设，则， 由， 因为，所以，所以，所以， 从而． 当，即时，有． 所以最小值为 （万元）． 故当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1），求； 因为，则， 易得，，， 所以，，．……（4分） （2）若中有，不妨取，则，， 而，所以成立； 若都不是，则， 所以 ， 所以， 当在的逆时针方向，即，，此时，且， 当在的顺时针方向，即，，此时，且， 所以．……（10分） （3）由题可知，， 如图建立平面直角坐标系，则的起点为原点，终点落在以原点为圆心，半径为2的圆上， 设的终点为，的终点为，， 则， 因为，， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，则， 所以．……（18分） 21． （18分） 【详解】（1）由题意，是的最大值点，对，其中， 代入得，所以，解得， 利用辅助角公式整理得.……（5分） （2）周期为，当，令，则，区间长度为. 的最大值等于区间内的最大值减最小值，由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足， 因此 解得（等价形式）.……（11分） （3）将向右平移得： ，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. ，则，均为正，验证三边关系： ，成立； 同理可证，，均成立。 因此可以作为的三边长. 设三边长，对角， 由余弦定理： 得， 由正弦定理，代入，得，为定值.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $