学易金卷：高二数学下学期第三次月考（上海专用，沪教版选择性必修第二册第5～7章导数及其应用、计数原理、概率初步（续））

**基本信息** 聚焦导数、计数原理与概率，以AI应用、生产实践为情境，通过基础填空与分层解答题设计，考查数学抽象、数据观念及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|导数（切线方程）、计数（排列数）、概率（概率密度）|基础概念与运算结合，如曲线切线方程直接考查导数几何意义| |选择题|4/18|导数运算、条件概率、排列组合|选项设计辨析易错点，如14题结合盒子抽球考查条件概率计算| |解答题|5/78|二项式定理、概率应用、导数综合、数据统计|20题以AI使用调查为情境考查分布列与期望，21题新定义函数探究单调性，体现创新应用|

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第二册第5~7章导数及其应用、计数原理、概率初步（续）。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则的值为________. 【答案】10 【详解】由及组合数的性质，得， 所以. 2．可以表示为________（用排列数表示）. 【答案】 【详解】依题意，. 3．已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】6 【详解】依题意，. 4．随机变量的概率密度函数，设，则__________. 【答案】0.3/ 【详解】由题意可知，则, 所以. 5．曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】由题可得,由于,， 所以曲线在处的切线方程为，即 6．在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得：， 故含项的系数为. 7．函数的严格增区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 由可得，故函数的严格增区间为. 8．已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】/ 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 9．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 【答案】 【详解】两人看作一个整体，内部有种排法， 整体和剩下4人，构成5个元素全排列有种排法， 故共有种， 故相邻，则不同的排队方法有240种. 10．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 【答案】 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 11．甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 【答案】 【详解】设事件表示“借走的两支笔中有一支是红色的”，事件表示“借走的两支笔都是红色的”； 则，； . 12．若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】有三个零点有三个解有三个解， 令，， 令，得或， 的单调递增区间有，， 令，得，在上单调递减，故的大致图象为 要想使得有三个解，必有，所以的取值范围是. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 14．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】B 【详解】先整理基本量：总球数，红球总数，逐个验证选项： 选项A，，A正确； 选项B，由全概率公式，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，从所有红球中抽取，来自概率概率概率概率最小，D正确. 15．我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（   ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总座位数为37个，甲乙两人随机就座的总排列数为 . 甲乙相邻分两类： ①左右相邻：每行有5对左右相邻的座位，共6行，所以有对， 所以甲乙两人在这些座位上左右相邻的坐法有种； ②前后相邻：前5列每列有5对前后相邻的座位，共对， 第6列有6对前后相邻的座位（包括座位36和37）， 所以共有对， 所以甲乙两人在这些座位上前后相邻的坐法有种. 所以甲乙相邻的概率为： 因此，甲乙既不前后相邻也不左右相邻的概率为： . 16．关于下列两个命题的判断，说法正确的是（   ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②真命题 C．①真命题；②假命题 D．①假命题；②假命题 【答案】D 【详解】函数，极值点满足且导数变号， 求导得： ，定义域为R， ，故是奇函数， 当，，又是奇函数，图象关于原点对称，故在的两侧导数符号相反， 故是的一个极值点， 若存在非零根，由对称性可知， 若是根，则也一定是根，即非零根一定成对出现， 因此的总根个数为：（非负整数），必为奇数， 由于是奇函数，图象关于原点对称，每个根都对应导数变号，都是极值点， 因此的极值点个数一定是奇数，不可能等于偶数，故①是假命题。 命题②判断： 不等式移项整理： ， 构造函数，求导得： ， 已知是R上的严格增函数， 因此对任意， ， 即是R上的严格增函数， 严格增函数满足：​， 因此"​"是不等式成立的充要条件，不是充分不必要条件，故②是假命题。 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 【详解】（1）由二项式定理可知，展开式中前3项的二项式系数 分别为，，，则由题意知， 即，整理可得，即， 因为，所以解得，或（舍去）， 所以展开式中所有项的二项式系数的和为；……（7分） （2）由（1）可知二项式为， 其通项为， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为.……（14分） 18．（14分）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 【详解】（1）由题意得，经过两道工序后得到的零件不是废品的概率为……（6分） （2）设“经过这两道工序判定为废品”为事件，“第二道工序中生产出废品”为事件，则， ， 所以生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率为．……（14分） 19．（14分）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 求导： ， 当 时，，故 ，函数 单调递减； 当 时，，故 ，函数 单调递增， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增．……（6分） （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ， 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ； 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增， 最小值为： ； 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ． 综上，最小值函数为：．……（14分） 20．（18分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立.……（4分） （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故.……（10分） （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故.……（18分） 21．（18分）对于一个函数和一个点，定义. (1)设，求函数的最小值； (2)设，若集合是双元素集，求的取值范围； (3)已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 【详解】（1）由题意，，其中. 因为，当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为.……（5分） （2）由题意，. 令，则，原方程化为. 设，则. 所以在上递增，在上递减，在上递增. 又，，. 因为集合是双元素集，所以方程恰有两个不同实数解. 而，当时对应两个实数解，当时只对应一个实数解. 因此方程在上必须恰有一个正根. 由函数的单调性可知，当时，方程在上恰有一个正根； 当时，方程在上至少有两个正根；当时，方程在上恰有一个正根. 所以的取值范围为.……（11分） （3）对任意固定的，设，则，. 由且非空，取. 因为，，所以，且. 又，，于是有. 另一方面，. 代入，得. 所以，从而. 因此，即同时是函数和的最小值点. 因为可导，所以在处导数为 . 由，可得. 令，得，所以. 又因为对任意，都有，所以对任意，都有. 故函数在上单调递减.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第二册第5~7章导数及其应用、计数原理、概率初步（续）。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则的值为________. 2．可以表示为________（用排列数表示）. 3．已知函数的导函数为，若，则________. 4．随机变量的概率密度函数，设，则__________. 5．曲线在处的切线方程为__________. 6．在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 7．函数的严格增区间为__________. 8．已知、为随机事件，且，，若，则___________. 9．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 10．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 11．甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 12．若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 14．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 15．我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（   ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A． B． C． D． 16．关于下列两个命题的判断，说法正确的是（   ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②真命题 C．①真命题；②假命题 D．①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 18．（14分）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 19．（14分）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 20．（18分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 21．（18分）对于一个函数和一个点，定义. (1)设，求函数的最小值； (2)设，若集合是双元素集，求的取值范围； (3)已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 数学·参考答案 1、 填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 10 2. 3. 6 4. 0.3/ 5. 6. 7. 8 ./ 9. 10 . 11. 12 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C B B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由二项式定理可知，展开式中前3项的二项式系数 分别为，，，则由题意知， 即，整理可得，即， 因为，所以解得，或（舍去）， 所以展开式中所有项的二项式系数的和为；……（7分） （2）由（1）可知二项式为， 其通项为， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由题意得，经过两道工序后得到的零件不是废品的概率为……（6分） （2）设“经过这两道工序判定为废品”为事件，“第二道工序中生产出废品”为事件，则， ， 所以生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率为．……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 求导： ， 当 时，，故 ，函数 单调递减； 当 时，，故 ，函数 单调递增， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增．……（6分） （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ， 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ； 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增， 最小值为： ； 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ． 综上，最小值函数为：．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立.……（4分） （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故.……（10分） （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）由题意，，其中. 因为，当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为.……（5分） （2）由题意，. 令，则，原方程化为. 设，则. 所以在上递增，在上递减，在上递增. 又，，. 因为集合是双元素集，所以方程恰有两个不同实数解. 而，当时对应两个实数解，当时只对应一个实数解. 因此方程在上必须恰有一个正根. 由函数的单调性可知，当时，方程在上恰有一个正根； 当时，方程在上至少有两个正根；当时，方程在上恰有一个正根. 所以的取值范围为.……（11分） （3）对任意固定的，设，则，. 由且非空，取. 因为，，所以，且. 又，，于是有. 另一方面，. 代入，得. 所以，从而. 因此，即同时是函数和的最小值点. 因为可导，所以在处导数为 . 由，可得. 令，得，所以. 又因为对任意，都有，所以对任意，都有. 故函数在上单调递减.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 识 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 6789 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 艾南 6 个 8 9 10. 11 12. 警 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 15~16题每题5分) 13[A]B][C][D] 14[A][B][CD] 妇 15[AB][C][D] 16[A][B][CD] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第二册第5~7章导数及其应用、计数原理、概率初步（续）。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知，则的值为________. 2．可以表示为________（用排列数表示）. 3．已知函数的导函数为，若，则________. 4．随机变量的概率密度函数，设，则__________. 5．曲线在处的切线方程为__________. 6．在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 7．函数的严格增区间为__________. 8．已知、为随机事件，且，，若，则___________. 9．等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 10．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 11．甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 12．若函数有3个零点，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 14．现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 15．我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如表所示.现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（   ） 讲台 前门 1 12 13 24 25 31 2 11 14 23 26 32 3 10 15 22 27 33 4 9 16 21 28 34 5 8 17 20 29 35 6 7 18 19 30 36 37 后门 A． B． C． D． 16．关于下列两个命题的判断，说法正确的是（   ） ①已知函数，则存在实数，使得恰有2026个极值点； ②已知函数的导函数为，，且在上为严格增函数，“”是“”的充分不必要条件. A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②真命题 C．①真命题；②假命题 D．①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 18．（14分）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 19．（14分）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 20．（18分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 21．（18分）对于一个函数和一个点，定义. (1)设，求函数的最小值； (2)设，若集合是双元素集，求的取值范围； (3)已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $