广东广州市铁一中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 广州市铁一中学高一数学期中试卷，以台风路径、进步率等生活情境及费马问题数学史素材为载体，梯度设计考查抽象能力、空间观念与推理能力，覆盖复数、向量、空间几何等核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数共轭、集合、向量投影、空间命题|第5题台风路径结合三角几何，第7题用指数函数类比进步退步| |多选题|3/18|向量性质、函数零点、圆柱截面|第10题新定义函数与奇偶性，第11题空间线面角计算| |填空题|3/15|向量垂直、新定义运算、正四棱锥截面|14题空间几何截面面积，考查空间想象| |解答题|5/77|向量共线、三角函数性质、解三角形、四棱锥证明、费马问题|19题结合数学史考最值，体现创新应用与逻辑推理|

2025-2026学年下学期期中考高一数学答题卡 口口7 学校 班级 姓名 考场号 座位号 注意事项： 考生号 1.选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦 干净。笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢 笔填写，答题不得超出答题框。 2. 保持卡页清洁，不要折叠，不要弄破。 0 0 0 0 在每页考生信息框中填写姓名及考生号。 0 ◇ 3. 4. 采用网上阅卷的务必要在右侧填涂考生号， 采用人工阅卷的请不要在右侧填涂考生号， 选择题填涂说明 试卷类型 A☐ 正确填涂：■ 错误填涂：的√心 B 客观题答题区 1 5 9 2 6 10 3 7 8 主观题答题区 12. 13. 14. 第1页共6页高一数学答题卡 请勿在此区城内做答或作任何标记 15.(13分) 第2页共6页高一数学答题卡 2025-2026学年下学期期中考高一数学答题卡 7门口 学校 班级 姓名 考场号座位号 16.(15分) 第3页共6页高一数学答题卡 ㄇ 17.(15分) 第4页共6页高一数学答题卡 2025-2026学年下学期期中考高一数学答题卡 7门口 学校 班级 姓名 考场号座位号 18.(17分) C E D 第5页共6页 高一数学答题卡 口 19.(17分) 第6页/共6页高一数学答题卡2025-2026学年第二学期期中试卷 高一数学参考答案 单选与多选题 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案B D B A 奥 9 BD BCD AD 1。【命题-教材参考】人教A版必修第二册P94（复习巩固)第2、3题. 2.。【命题-教材参考】人教A版必修第一册P9（拓广探素)第5题(2)：P12(练习)第1,2题。 3。〖命题-教材参考】人教A版必修第二册P20(练习)第3题。 4。【命题-教材参考】人教A版必修第二册P162（复习巩固)第2题. 5。【命题-教材参考】人教A版必修第二册P53复习巩固第9题 6.【命题-教材参考】人教A版必修第一册P229（复习巩固)第9题。 7。【命题-教材参考】人教A版必修第一册P94(拓广探索)第12题。 8.【命题-教材参考】人教A版必修第二册P54(综合运用)第17题：P52（复习巩固)第3题。 9。【命题-教材参考】人教A版必修第二册P3(规定)；P21（思考)；P17(概念)：P60T2(6): 10。【命题-教树参考】人散A版必修第一册P74(综合运用)第13题：P161(拓广探索)第12题： 11.【命题-教材参考】新人教A版必修第二册P158例题8：P165(拓广探索)第20题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】2【命题-教材参考】人教A版必修第二册P9探究问题。 13.【答案】√3【命题-教材参考】人教A版必修第一册P254(复习巩固)第13题(2). 14【答案】5【命题教材参考】人教A版必修第二册P170第8题（复习巩固）：P138例题3. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)【命题-教材参考】人教A版必修第二册P15例题7：P16例题8。 (1)证明：因为BD=BC+CD=4e,+e2+8,-2=121-&2=4,-2卫244B,…3分 所以AB与BD共线.4分 因为AB与BD有公共点B,5分 所以A,B,D三点共线6分. (2)假设e+e,与e+e2共线， 则存在实数，使g+2=m2记+e2) .8分 高一数学试卷第1页（共5页） [1=, 因为，，不共线，所以 元=L, …11分. 所以元=士1.12分. 因为e+与g+e,不共线， 所以≠士1.13分。 16.（15分)【命题-教材参考】人教A版必修第一册P225第20、21、22（综合运用)。 (1)f(x)=ab=23cosan+2sinaxcos,...... =√3(（1+cos2owx)+sin2ox=2sinm 2x+ 3 +5,0>0,2分。 因为f(x)相邻的对称轴之间的距离为？，所以f(x)的最小正周期为元， 所以2 =元，得0=1,3分. 0 所以f-2n2x-智十5.4分 令7+2m≤2x+机≤+2kπkE乙，则+m≤x 32 12 7元+k机，k∈Z,6分. Γ1 所以f(x)的单调递减区间为 12 7π+mbk∈Z.7分. (3)由()知了)=2m2+写+5，将f(y)图象上所有点的横坐标缩短为原来的宁 得到医效心引外6、肩时左平移及个单位得 e2m4+}引5-++6，m…10分 所以2sit∈[-V5,2], 2 y=2sint y=m 因为2sit=m-V5在te π4π 33 上只有一个解， 4π 3 由y=2int的图象可得，-√3≤m-√3<V5或m-√3=2,14分. 高一数学试卷第2页（共5页） 所以m的取值范围是0,23{2+515分. 17.(15分)【命题-救材参考】人教A版必修第二册P54第22题（拓广探索)。 (1)根据正弦定理，由b cosC+√3 bsinC-a-c=0 可得sin BcosC+V5 sin Bsin C-sinA-sinC=0,1分. A+B+C=元，.sinA=sin(B+C)=sin B cosC+cos Bsin C,…2分. sin BcosC+3 sin Bsin C-sin B cos C-cos Bsin C-sin C=0, 整理得(W5sinB-cosB-1)sinC=0,C∈(0，m),∴sinC≠0，则V3sinB-cosB-1=0,3分. A 5分. 36分 (2)如图，由1)可知，∠BC=号，设D1=(o0,则DC=2D1=2m, 设∠ADB=日，则∠BDC=π-日，7分. 在△ABD中，根据余弦定理，c0s∠ADB=cos9=AD+BD-AB_m2+4AB2 2ADx BD ，.8分 47 在△BCD中，根据余弦定理，c0s∠BDC=co8(m-9=CD2+BD-BC:+412m2-2、 2CDxBD 81 所以cos0+cos(-9)-m+44B产m-20,…10分. 2n1 整理可得AB2=32,即AB=V3l. 则在△ABC中，根据余弦定理，cos∠ABC=4B+BC-AC3加2+12-9m21 2ABxBC 2x23xV3m5’l1分. 整理得m2+-2=0,即(+2)(-1)=0，…12分. 解得=1或=-2（舍去)，13分 所以m=1,AB=√3L=V3,AC=3=3,14分. 所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=√3+3+25=3+3515分. 18.(17分)【命题-教材参考】A版必修第二册P161例10；P165第20、21题.P171第13、14题. 高一数学试卷第3页（共5页） (1)因为BC/1AE且BC=AE,所以四边形BCEA为平行四边形，则AB/EC,.1分. 又ABa平面PCE,ECc平面PCE,所以AB/平面PCE;.…3分 (2)由PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得PA⊥BD,4分. 连接BE,由BC/IDE且BC=DE,所以四边形BCDE为平行四边形，又DE⊥CD,BC=CD=1, 所以平行四边形BCDE为正方形，所以BD⊥EC,5分 又AB//EC,所以BD L AB,6分 又PA∩AB=A,PA、ABC平面PAB,所以BDL平面PAB，,7分. 由BDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAB;.8分. (3)由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA、ADC平 面PAD,所以CD⊥平面PAD,9分. 又PDC平面PAD,所以CDL PD, 故∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，即∠PDA=45°，.10分 设BC=CD=1,在Rt△PAD中，PA=AD=2,作AM⊥PB,垂足为M,由(2)知，平面PBD⊥ 平面PAB,平面PBD⌒平面PAB=PB,AMC平面PAB,所以AM⊥平面PBD,12分. 则PM为直线AP在平面PBD上的投影，所以∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，l3分. 在RIAPAB中，AB=CE=√2，PA=2,PB=√6， 所以4AM=PAAB2V225 PB63,…15分. 2W5 在Rt△AMP中 sim∠4PM=44-3-3,16分. AP 23 即直线AP与平面PBD所成角的正弦值为 17分 3 19.(17分)【命题-教材参考】人教A版必修第一册P254（复习巩固)第12题：第二册P72例题3， P74例题3第8题+第11题；P52（复习巩固)第1题+第2题。 (1)设=x+i,cy∈R),则-2+E+2++2i表示点Z(化，)到△ABC三顶点 A(-2,0),B(2,0),C(0,-2)的距离之和..1分 B 依题意结合对称性可知△ABC的费马点位于虚轴的负半轴上， 且∠APB=120°，则∠PAO=∠PBO=30°..2分 高一数学试卷第4页（共5页） 此时PA+PB1+PC生0303X2+2-2tam30)=2W3+23分 所以-2++2++21的最小值为2√3+2；…4分. (2)①因为tanC+V3=tanB(V3tanC-),所以tanC+tanB=-5+tanBtanC,5分. 所以 aC+tanB=-V5,所以tamn(c+B)=-V3,所以taA=V5, -tanBtanC 因为0<4水，所以4=子：7分 因为sinB=sinC,由正弦定理可得b=c,所以△ABC是等边三角形，因为点P为△ABC的费马点， 所以点P为△ABC的中心，由正弦定理可得PB=PCPA= xa=1x6」 =2W3 2simA2√3 ..9分 2 所以PA.PB+PB.PC+PC.PA=3×2W3x2W3xc0s120°=-18.10分 ②因为cos2C+2sin(A+B)sim(A-B)=1,所以2 sinCsin(A-B)=1-cos2C,…11分. 所以2 sinCsin(A-B)=1-1+2sin2C,所以sin(A-B)=sinC=sin(A+B),…12分. 所以AB=4+B政4BA+B-子解得A=0(合去)或4=子B分 2 设PC=mPA|,IPB=川PA|,且|PA=x, 所以由余弦定理可得|CAP=x2+m2X2-22c0s120°=(t+m+1)x,14分. AB=x2+nx2-2ncos120=(n2+n+1)x,CB=nx+mx-2mmwx cos120=(m+n+m)x, 因为CBP-ABP+14CP,所以m++2=mm,因为m≤+0，所以+n+2=m≤m+0, 4 4 显然mn1,所以1+2-m≤行解得：≥2+25或12-25（合去）16分 易知当m=n=√3+1时等号成立，所以实数t的最小值为2+23..17分. 高一数学试卷第5页（共5页）2025-2026学年第二学期期中试卷 高一数学 命题学校：广州市铁一中学命题人：崔卿 审题人：李皓月 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1复数吕的夫超复数在复平面内对应的点位于《） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={-1,0,1},B={dx>a,若A∩B={0,1},则实数a的取值范围是() A.[-1,0] B.(-1,0] C.(-1,0) D.[-10) 3.已知=6，e为单位向量，当a,e的夹角为135°时，向量a在向量e上的投影向量为() A.3v2a B.-3/2e C.√2 D.-2a 4.在空间中，下面命题为假命题的个数是（) ①过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 ②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行. ③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ④过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直. A.4 B.3 C.2 D.1 5.气象台A在早上8：00观测到一台风，台风中心在气象台A正西方向300√2km处，它正向东北方向 移动，移动速度的大小为40kh:距离台风中心100√10km以内的地区都将受到影响.若台风中心的 这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为() A.12:00-17:00 B.13:00-17:00 C.13:00-18:00 D.14:00-18:00 6记知sna+月na-)-片则 m0=（） tanB A. 5 B. 6 C.5 D. 高一数学试卷第1页（共4页） 7.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是(1+1%)365≈37.7834；而把 1-1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是(0.99)365≈0.0255；这样，一年后的“进步值” 是“退步值”的9g1481倍.那么当“进步值“是“湛步值”的10信，大约经过《)天 （参考数据：1g101≈2.0043,1g99≈1.9956) A.115 B.130 C.150 D.230 8.已知四边形ABCD是圆内接四边形，AB=4,AD=5,BD=3,则四边形ABCD的周长取最大值 时，四边形ABCD的面积为() A. 27 B. 1 C.9+310 D.3+3W10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中，正确的是() A.对于向量a,,c,若a/心，lc,则ac B.向量e=（1,2),,=(5,7)可作为所在平面内的一组基底 c.对于向量a,i,c,有(a.c=a(6.c D.设1，为非零向量，则“存在负数，使得=n”是“mn<0的充分而不必要条件 10[闲表示不超过实数x的最大整数，如：12=2列-1已知函数f()=22年为奇函数 函数g(x)=[f(x)],则下列叙述正确的是() A.函数g(x)的图象关于原点对称 B.函数g(x)的值域是{-2，-1,0,1} C.函数y=g(x)-x有3个零点D.方程g(x)-2([x]-)=0在区间[-1,1上有3个实数根 11.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE=BE,AF⊥DE,F是垂足，G在 BD上，DG=2BG,则下列结论中正确的是() D A.AF⊥BD B.直线DE与直线AG所成角的余弦值为) C.直线DB与平面ABCD所成角的余弦值为 6 D.若平面AFG∩平面ABE=I,则I∥FG 高一数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(m,2),万=1，)，若a+ad+,则实数m=」 tan20°sin20 13.定义： -4 1 14.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为1，侧棱长为√2，SC的中点为E,过点E作与SC垂直的 平面a,则平面截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤， 15.(13分)设e,e2是两个不共线的向量，己知AB=3e,-2e,,BC=4e+e2,CD=8,-e2 (I)求证：A,B,D三点共线： (2)若e+e,与e+e,不共线，试求的取值范围. 16.(15分)已知向量a=(23,sinaw),b=(cos@x,.2 c0S@x),函数f(x)=a-b(o>0),函数f(x) 图像相邻对称轴之间的距离为2 (1)求∫(x)的单调递减区间： (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的}，再向左平移元个单位得g(x)的图象，若 12 关于x的方程g(x)=m在 -工上只有一个解，求实数肌的取值范围. 12'6」日 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos C+V3 bsinC-a-c=0,D为AC 边上一点 (1)求角B的大小： (2)若BD=2,BC=2N3且DC=2DA,求△ABC的周长 高一数学试卷第3页（共4页） 18(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1/BC,AD1DC,BC=CD=AD,E为棱AD的 2 中点，PA⊥平面ABCD. (1)求证：AB/平面PCE: (2)求证：平面PAB⊥平面PBD: (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. D B 19.(17分)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(1601一1665)于1643年提出的平面几何 最值问题：“己知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题 中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均 小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.当△ABC有一个内角大于或 等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试根据以上知识解决下面问题： (1)若：∈C,求z-2++2++2i的最小值： (2)在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,点P为△ABC的费马点. ①若tanC+√=tanB√3tanC-,sinB=simC,且a=6,求PA.PB+PB.PC+PC.PA的值； ②若cos2C+2sin(A+B)sin(A-B)=1,PB+PC=tPA,求实数t的最小值. 高一数学试卷第4页（共4页） 2025-2026学年第二学期期中试卷 高一数学 命题学校：广州市铁一中学 命题人：崔 卿 审题人：李皓月 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知，为单位向量，当，的夹角为135°时，向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 4.在空间中，下面命题为假命题的个数是（     ） ①过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线垂直. ②过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行. ③过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行. ④过平面外一点,有且只有一个平面与这个平面垂直. A．4 B． 3 C．2 D．1 5.气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 6.已知,则（    ） A． B． C． D． 7.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是37.7834；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的10倍，大约经过（    ）天． （参考数据：，） A．115 B．130 C．150 D．230 8.已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则四边形ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中,正确的是（     ） A．对于向量，，，若，，则 B．向量，可作为所在平面内的一组基底 C．对于向量，，，有 D．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件 10.表示不超过实数的最大整数，如：.已知函数为奇函数，函数，则下列叙述正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域是 C．函数有3个零点 D．方程在区间上有3个实数根 11.如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为． D．若平面平面，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，若，则实数 ． 13.定义：，则 ． 14.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围. 16.（15分）已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 17.（15分）在中，角的对边分别为，若，为边上一点. (1)求角的大小； (2)若且，求的周长. 18.（17分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19.（17分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何最值问题:“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试根据以上知识解决下面问题： (1)若，求的最小值； (2)在中，角所对应的边分别为，点为的费马点． ①若，且，求的值； ②若，求实数的最小值． 高一数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年下学期期中考高一数学答题卡 7口口■7 学校 班级 姓名 考场号 座位号 注意事项： 考生号 1.选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦 干净。笔答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢 笔填写，答题不得超出答题框。 E0] [0] [0] [0] [0] E0] 2.保持卡页清洁，不要折叠，不要弄破。 L1] [1 [1] [1] L1] [1] 3.在每页考生信息框中填写姓名及考生号。 [2] 2] [2] [2] L2] [2] 4。采用网上阅卷的务必要在右侧填涂考生号， E3] [3] [3] [3] [3) C3] 采用人工阅卷的清不要在右侧填涂考生号， [4] [4] [4] [4] C4] [4] E5] [5] L5] [5] D5] E5] E6] 试卷类型 L6] L6] [6] 6] 6 选择题填涂说明： 7] 7] 7] E7 E7] [ 口 [8] 8] [8] 8] C8] 8] 正确填涂：☐ 错误填涂：的☑立灯 B ▣ L9] C9] L9] L9] C9J 9 客观题答题区 1 CAJCB]CCJ CD] 5 CAJ CBJ CCJCD] 9 CAJ CB]CC]CDJ 6 CAJ CBJ CCJCDJ 10 CAJ CB]CCJ]CDJ 3 CAJEB]CCJ CD] CAJ CBJ CCJED] 11 CAJ EB]CCJCD] CAJCB]CCJ CD] 8 CAJ CBJ CCJCDJ 主观题答题区 12. 13. 14. 第1页/共6页高一数学答题卡 情勿在比区域内做答或作任何标记 15.(13分) 第2页共6页高一数学 答题卡 7■口7 2025-2026学年下学期期中考高一数学答题卡 学校 班级 姓名 考场号 座位号 16.(15分) 第3页/共6页高一数学答题卡 17.(15分) 第4页共6页高一数学答题卡 2025-2026学年下学期期中考高一数学答题卡 学校 班级 姓名 考场号 座位号 18.(17分) B C E D 第5页/共6页高数学 答题卡 19.(17分) 第6页/共6页高一数学答题卡