热点10 作图与几何基础变换4大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点10 作图与几何基础变换 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 五大经典尺规作图 题型02 网格作图、基础最短路径 题型03 平移、对称、旋转作图 题型04 作图原理推理计算 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：作图与几何基础变换是江苏中考数学的特色基础模块，侧重考查几何直观与动手操作能力，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在4-10分，以选择、填空和解答题的作图题形式出现，是 “送分题” 的重要来源，也是几何综合题的基础工具。 1.高频考点分布： · 尺规作图：五大经典尺规作图为必考考点，常以选择、填空或解答题的作图题形式考查，占2-4分； · 平移、对称、旋转变换：基础作图与性质应用为高频考点，占2-3分； · 网格作图、最短路径：中档题高频考点，常以解答题形式出现，占3-5分； · 作图原理推理计算：区分度考点，占2-3分。 2.命题特点： · 尺规作图题以基础操作为主，侧重考查作图步骤与原理； · 网格作图题常结合平移、对称、旋转，考查图形变换的应用； · 最短路径问题侧重考查轴对称的应用与几何直观； · 作图原理推理题常结合三角形、四边形的性质，考查逻辑推理能力。 3.高频失分点： · 尺规作图步骤不规范，如未保留作图痕迹、未标注关键弧； · 平移、对称、旋转变换中，对应点找错，导致图形绘制错误； · 最短路径问题中，无法正确找到对称点，导致路径错误； · 作图原理推理题中，无法根据作图步骤判断几何性质，导致推理错误。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何直观与推理能力： 1.尺规作图仍为必考考点，可能结合实际情境或几何证明背景； 2.网格作图题的灵活性增强，可能结合多种变换考查； 3.最短路径问题的背景更丰富，可能结合三角形、四边形背景； 4.作图原理推理题的区分度增强，侧重考查几何性质的综合应用。 题型01 五大经典尺规作图 解｜题｜策｜略 ① 五大经典尺规作图步骤与原理： 1.作一条线段等于已知线段： · 步骤：①画射线；②用圆规量取已知线段的长度；③在射线上截取等长线段。 · 原理：圆的半径相等。 2.作一个角等于已知角： · 步骤：①画射线；②以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点；③以新射线顶点为圆心，同长为半径画弧；④截取等长弧，连接顶点。 · 原理：SSS 全等三角形判定。 3.作角的平分线： · 步骤：①以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点；②分别以两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，交于一点；③连接顶点与交点。 · 原理：SSS 全等三角形判定，角平分线的判定定理。 4.作线段的垂直平分线： · 步骤：①分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，交于两点；②连接两点。 · 原理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 5.过一点作已知直线的垂线： · 过直线上一点：①以该点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点；②分别以两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，交于一点；③连接该点与交点。 · 过直线外一点：①以该点为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，交直线于两点；②分别以两点为圆心，同长为半径画弧，交于另一点；③连接两点。 · 原理：等腰三角形三线合一，线段垂直平分线的判定。 ② 解题技巧： · 作图时必须保留所有作图痕迹（弧、交点），不能擦除； · 作图完成后，需标注关键的点、线、弧，必要时写出结论； · 遇到复杂作图，可分步完成，先确定关键交点，再绘制图形。 ③ 易错点：作图步骤不规范，未保留作图痕迹；或圆规半径选取不当，导致无法画出交点。 例1（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 例2（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 例3（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 例4（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 例5（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． （3）如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可； （2）根据弧长公式即可； 【详解】（1）解：如图，以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可． 证明：连接，， 根据题意可得， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：根据（1）可得， ∵的半径为5， ∴的长． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知中，，． (1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若的周长为16，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，由等边对等角可得；再作线段的垂直平分线交于点，连接，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得； （2）由作图知，利用的周长为16，可得即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：由作图知， ∵的周长为16， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2026·江苏宿迁·一模）在中，（）． (1)如图1，点D在边上，若，则______．（用含k的代数式表示） (2)如图2，用无刻度直尺和圆规，在边上找一点E，使得，（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质以及已知条件即可解答； （2）如图：过C作，分别在上取点M、F，使得，连接与的交点E即为所求． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：点E即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)在边上求作一点，使； (2)将分成四个等腰三角形，请给出分割方法，并简单说明理由．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据“作一个角等于已知角”的尺规作图方法作； （2）根据“过直线外一点作该直线的垂线”的尺规作图方法作，然后作，的垂直平分线，得出的中点为，的中点为，连接，即可． 【详解】（1）解：如图即为． （2）解：如图，过点作，取中点为，中点为，连接，． ， ，， ，，，为等腰三角形． 【变式5】（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）先在直线上任取一点并作的垂线，在垂线上取异于的点，以为圆心、为半径作圆；依据切线的判定定理(且是半径)，该圆与直线相切； （）先延长，再作和的外角平分线，两线交于点，过作的垂线，垂足为，以为圆心、为半径作圆；依据角平分线的性质(角平分线上的点到角两边距离相等)，该圆与的三边(含延长线)都相切，即为的旁切圆． 【详解】（1）解：①选点：在直线上任取两点，作线段的垂线平分线，交直线于点， ②定半径：在这条垂线上任取异于的点， ③画圆：以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求（作法不唯一，只要满足圆心到直线的距离等于半径即可）； 原理：且是圆的半径，满足切线的判定条件，因此圆与相切； （2）解：①延长边：延长（过端向外延伸）、延长（过端向外延伸）； ②作角平分线：分别作的外角平分线、的外角平分线，两条平分线交于点； ③以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求； 原理：角平分线上的点到角两边距离相等， 因此点到延长线、延长线、的距离都等于， 因此该圆与三条线都相切；（作图时保留角平分线、垂线、圆弧的作图痕迹即可）； 【变式6】（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 题型02 网格作图、基础最短路径 解｜题｜策｜略 ① 网格作图解题技巧： · 利用网格线的水平、垂直特征，快速确定平移、对称、旋转的方向和距离； · 网格中作轴对称图形时，可利用网格线找到对称轴，再作关键点的对称点； · 网格中作旋转图形时，可利用网格线的夹角确定旋转角，利用勾股定理确定线段长度 ② 基础最短路径问题解题步骤： 确定问题类型： · 两点在直线同侧：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，路径长度为对称点与另一点的距离； · 两点在直线异侧：直接连接两点，与直线的交点即为所求，路径长度为两点间的距离； · 多直线上的最短路径：多次利用轴对称，将路径转化为直线距离。 作图步骤：①作对称点；②连接对称点与另一点；③标出交点，即为路径上的点。 ③ 解题关键：利用轴对称将折线转化为直线，利用 “两点之间线段最短” 解决问题。 ④ 易错点：无法正确找到对称点，导致路径错误；或混淆同侧、异侧的处理方法。 例1（2025·江苏南通·模拟预测）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上． (1)的周长为 ； (2)如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)请在图中画出的角平分线．（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得，点D所在的竖格线为的垂直平分线，再根据对称性作图即可； （3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：由图可得，的周长 ， 故答案为：； （2）解：如图，点Q即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 例2（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】作于点P，取线段的中点K，连接，作，再根据菱形的性质可得 ，然后根据折叠的性质可得，接下来说明，可得，即可得当点H，F，K共线时，的值最小值为线段的长度，再结合正切的定义，由勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点D作于点P，取线段的中点K，连接，过点K作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点H，F，K共线时，的值最小，即为线段的长度． ∵， ∴设，则， 由勾股定理，得， 解得， ∴， 即的最小值为． 例3（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在图中根据网格特征，作等腰直角即可得出；在图中，作等腰直角，再作，交于，根据平行线的性质即可得出； （2）过点作的垂线，截取，连接，作出即可； （3）过点作的垂线，作的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交的角平分线于，过点作于，即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求，如图，点即为所求． 图中，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 图中，同理可得是等腰直角三角形， ∴， 由网格特征可知，， ∴． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴即为所求． 【变式1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据的坐标建立平面直角坐标系，连接，利用网格分别作的垂直平分线，两垂直平分线相交于点，点即为所求． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，下图点即为所求，点坐标为． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）（1）如图，在的正方形网格中，点，B，C均在格点上，请按要求作图． ①在图1中画一个格点，使（相似比不为1）． ②在图2中画一条格点线段，交于点Q，使． （2）如图3，点A为上一点． ①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和劣弧于点、，若的半径为，则的长为 ． 【答案】（1）①图见解析；②图见解析；（2）①图见解析；②； 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定即性质，圆的性质，正方形的判定，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）利用相似的性质作图即可； （2）①：连接并延长，交于，过点作的垂线，分别交于，，即可． ②：利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）①解：如图1所示，即为所求： ②：如图2所示，线段即为所求： （2）①连接并延长，交于，过点作的垂线，分别交于，，则四边形即为所求如图3所示： ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 【答案】(1) (2)①不变，②， 【分析】（1）由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； （2）①设，则，由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； ②点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，即可求解． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； （2）解：①的大小始终不变，大小为， 设，则， 边关于对称的线段为， ，， ， ， ， ， ； ②由①得， ， 点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， ， ，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 面积最大值是， 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】利用圆的基本性质找出点的运动轨迹和取得最值时点的位置是解题的关键． 题型03 平移、对称、旋转作图 解｜题｜策｜略 ① 平移作图步骤： · 确定平移的方向和距离； · 找出图形的关键点； · 按平移方向和距离，分别画出各关键点的对应点； · 按原图形的顺序连接对应点，得到平移后的图形。 ② 对称作图步骤： · 轴对称：①确定对称轴；②找出图形的关键点；③过关键点作对称轴的垂线，延长一倍得到对应点；④按原图形的顺序连接对应点。 · 中心对称：①确定对称中心；②找出图形的关键点；③连接关键点与对称中心，延长一倍得到对应点；④按原图形的顺序连接对应点。 ③ 旋转作图步骤： · 确定旋转中心、旋转方向和旋转角； · 找出图形的关键点； · 以旋转中心为顶点，以关键点与旋转中心的连线为一边，按旋转方向作旋转角，截取等长线段得到对应点； · 按原图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形。 ④ 解题技巧： · 作图时优先处理关键点，再连接成图形，避免整体绘制错误； · 平移、对称、旋转后的图形与原图形全等，可利用这一性质检查图形是否正确； · 网格中作图时，可利用网格线确定方向和距离，简化作图步骤。 ⑤ 易错点：平移、对称、旋转中，对应点找错，导致图形绘制错误；或旋转角的方向错误，导致图形方向偏差。 例1 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； (2)以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换，关于轴，轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标． 故答案为：； （2）解：如图，，即为所求，点的坐标． 故答案为：． 例2（2025·江苏无锡·一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把进行平移，得到，使点与对应， (1)请在网格中画出； (2)线段与线段的关系是___________． (3)求出Δ的面积． (4)求出平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2)平行且相等 (3) (4) 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移的性质，求网格中三角形的面积，求图形平移扫过的面积等知识点，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质对各个点进行平移，顺次连接平移后的三个顶点即可； （2）根据平移的性质即可得出答案； （3）沿的三个顶点作正方形，利用割补法可求的面积； （4）沿作正方形，利用割补法把四边形的面积求出，然后根据扫过的面积等于四边形的面积加上三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据平移的性质可知对应点的连线平行且相等， ∴线段与线段的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）解：如图所示，沿的三个顶点作正方形， 利用割补法可求的面积为： ， ∴的面积为； （4）解：如图所示，沿作正方形， 利用割补法可求四边形的面积为： ， 所以，平移过程中扫过的面积为． 【变式1】（2025·江苏徐州·一模）如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)平移的距离为 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图形平移的性质，掌握待定系数求解析式，图形平移的特点是关键． （1）由图可知点，点，点，运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法可得，则点，对于，令，根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知点，点，点， 反比例函数的图象经过点， ， ， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：设，将，点，代入得， 解得， ， 令， 点， 对于，令， ∴， 解得，， 平移的距离为． 【变式2】（2025·江苏徐州·三模）如图，在三角形纸片中，，． (1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求； （2）设与交于点O．由平行线的性质得到，，；由折叠的性质得到，，证明，得到．过点M作于点E．解，得到，再解，得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求； 由平行线的性质可得， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∴，即平分； （2）解：设与交于点O． ， ，，； 为折痕， 垂直平分， ，， ， ． 过点M作于点E． 在中，， 在中，， ． 【变式3】（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形； (2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）按照要求作图，再证明四边形是平行四边形，由即可证明结论； （2）证明，利用相似的性质求出，勾股定理求出，,则菱形的边长为，求出，根据菱形面积的两种求法列方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵是高． ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵，是高． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴, 即菱形的边长为， ∵四边形是菱形 ∴， 设菱形的高为h， 则， 即， 解得， 即菱形的高为． 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称的性质和基本作图、勾股定理、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质是关键． 题型04 作图原理推理计算 解｜题｜策｜略 ① 常见作图原理： · 角平分线作图：利用SSS全等，证明所作射线平分已知角； · 垂直平分线作图：利用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，证明所作直线是线段的垂直平分线； · 垂线作图：利用等腰三角形三线合一，证明所作直线与已知直线垂直； · 最短路径作图：利用轴对称的性质，证明路径长度为两点间的直线距离。 ② 解题步骤： · 根据作图步骤，分析作图的原理和隐含条件； · 结合三角形、四边形的性质，推理图形的边、角关系； · 利用勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识，计算相关线段的长度或角度。 ③ 解题技巧： · 先明确作图的目的，再分析作图步骤中隐含的几何性质； · 结合作图痕迹（弧、交点），找出相等的线段、角或全等三角形； · 利用轴对称、垂直平分线的性质，转化线段或角度，简化计算。④ 易错点：无法根据作图步骤判断几何性质，导致推理错误；或忽略作图痕迹中的隐含条件，计算时缺少关键条件。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 例2（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键． 由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ， ∵， ， 由题意得，为的平分线， ． 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏镇江·二模）实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到． 【活动1】围等腰三角形 （1）一般的等腰三角形．如图，线段上已确定好点，请在线段上确定点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），为等腰三角形．请画出点（一种情况即可）和（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）等边三角形．如图，线段上取点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到等边．小明思考后发现，找线段的一个三等分点即可，他采取了以下的作图方法： ①过点作的垂线； ②线段上顺次截取，以为圆心，的长为半径作； ③以为圆心，线段的长为半径画弧，在的上方交于点，作射线交射线于点； ④作的垂直平分线交于点．则点就是线段的三等分点． 根据上面的作法，证明点是线段的三等分点． 【活动2】围直角三角形 如图，线段上有一点，同学们为解决问题，过点作射线于点．请你借助射线，用尺规确定点的位置，使得沿点，弯折后，，两点重合（记为），最后得到直角．请画出点（一种情况即可）和（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 【答案】活动1：（1）见解析；（2）见解析；活动2：见解析 【分析】活动1（1）根据等腰三角形定义（至少两边相等），用尺规作图，以为基础，构造出使为等腰三角形的点，作即可． 活动1（2）依据作图步骤，利用等边三角形性质（三边相等、三角为 ）、垂直平分线性质（垂直平分线上点到线段两端距离相等 ）、直角三角形性质（角所对直角边是斜边一半 ），推导与的数量关系，证明是三等分点． 活动2：借助直角三角形判定（有一个角为 ），结合，用尺规作图确定点，构造出直角，如利用垂直、弧的交点等确定 ． 【详解】活动1 （1）如图， （2）如图，连接，，， 由作图得，为等边三角形， ， 点为的垂直平分线与的交点， ， ， 中，， ， 即：点是线段的三等分点； 活动2 如图， 【点睛】本题主要考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定，以及尺规作图的应用．熟练掌握三角形的性质、判定定理和尺规作图方法，灵活运用角度、线段关系进行推理是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，、相交于点O． (1)证明：； (2)请你利用无刻度直尺和圆规作，交于H（不写作法，保留作图痕迹），若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由作图可得，，平分，得到，利用平行四边形的性质和菱形的判定证明四边形是菱形，再利用菱形的性质即可证明； （2）利用尺规作，交于H，由（1）得四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形的边长，利用面积公式求出菱形的面积，由可得是菱形的高，再利用等面积法即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由作图可得，，平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ． （2）解：如图所示，图形即为所求： 由（1）得，四边形是菱形， ，， ，，， ， ， 是菱形的高， ． 【变式3】（2025·浙江湖州·二模）尺规作图问题： 已知，是钝角，，请用尺规作的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接交于点P，则点P为的中点． 小明：如图2，作的中垂线，垂足为点M，作的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，为半径作弧，交边于点P，则点P为的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦……我明白了． (1)证明：小聪的作法是正确的． (2)指出小明作法中存在的问题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由作法得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得解； （2）以点为圆心，为半径作弧，与边可能交于两点、，由此即可得解． 【详解】（1）证明：由作法得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵点为与的交点， ∴P是的中点， ∴小聪的作法是正确的． 图1 （2）解：如图，以点为圆心，为半径作弧，与边可能交于两点、， ∴小明的作法存在问题． （20分钟限时练） 1．（2025·江苏南通·二模）在平行四边形中作出菱形，对于以下两种作法，根据作图痕迹可以判断（   ） A．①②都正确 B．①②都不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由作图可知垂直平分， 则， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，①正确； 在作法②中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， 由作图可知， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定相等，则不一定相等， ∴不能判定 四边形是菱形，②不正确； 故选：C． 2．（2026·江苏南京·一模）如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 根据同位角相等，两直线平行，先以点B为圆心任意长为半径画弧交于点D，交于点F，在上取一点M，再以点M为圆心，以为半径画弧，交于点E，然后以点E为圆心，以为半径画弧，交弧于点G，连接，交于点N，可知，即． 【详解】解：如图，直线即为所求． 3．（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定、作一个角等于已知角及平行四边形的判定与性质； （1）方法一：作，与的交点即为所求作点；方法二：以为圆心为半径作弧，再以为圆心为半径作弧，两弧交于点F，连接，与的交点为点E，根据题意得出四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； （2）取格点M，连接与格线交于点N，连接交于点E，则四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； 【详解】（1）解：方法一：点E即为所求作点； 方法二：点E即为所求作点； 理由如下：， 四边形是平行四边形， ； （2）解：点E即为所求作点； 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接，作射线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线作图、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）由作图可知，，平分，则，由，，即可得到结论； （2）证明，，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由作图可知，，平分， ∴ ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 5．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）点到边、的距离相等，由角平分线的判定定理可得点P在的角平分线上，先作的角平分线，再过点作的垂线，两线的交点即为点； （2）延长交于点，过点作的垂线，垂足为，则，，利用勾股定理得出，再结合等面积法求出，则，证明，得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作；    （2）解：如图，延长交于点，过点作的垂线，垂足为，   ， ， 平分， ， ，，， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 点与点之间的距离为． 6．（2026·江苏徐州·一模）根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 作图理由：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：如图，即为所求： 作图理由： 由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 7．（2026·江苏无锡·一模）如图，在直角中，， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线和线段垂直平分线的作法进行作图； （2）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据等面积得出，证明，得出，假设，根据线段垂直平分线的性质以及勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，和点即为所求； （2）解：如图，过点作于点， ∵平分，且， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得， 在和中， ∴， ∴， 由线段的垂直平分线的性质可得， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 即． 8．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）解：如图所示，即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点10 作图与几何基础变换 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 五大经典尺规作图 题型02 网格作图、基础最短路径 题型03 平移、对称、旋转作图 题型04 作图原理推理计算 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：作图与几何基础变换是江苏中考数学的特色基础模块，侧重考查几何直观与动手操作能力，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在4-10分，以选择、填空和解答题的作图题形式出现，是 “送分题” 的重要来源，也是几何综合题的基础工具。 1.高频考点分布： · 尺规作图：五大经典尺规作图为必考考点，常以选择、填空或解答题的作图题形式考查，占2-4分； · 平移、对称、旋转变换：基础作图与性质应用为高频考点，占2-3分； · 网格作图、最短路径：中档题高频考点，常以解答题形式出现，占3-5分； · 作图原理推理计算：区分度考点，占2-3分。 2.命题特点： · 尺规作图题以基础操作为主，侧重考查作图步骤与原理； · 网格作图题常结合平移、对称、旋转，考查图形变换的应用； · 最短路径问题侧重考查轴对称的应用与几何直观； · 作图原理推理题常结合三角形、四边形的性质，考查逻辑推理能力。 3.高频失分点： · 尺规作图步骤不规范，如未保留作图痕迹、未标注关键弧； · 平移、对称、旋转变换中，对应点找错，导致图形绘制错误； · 最短路径问题中，无法正确找到对称点，导致路径错误； · 作图原理推理题中，无法根据作图步骤判断几何性质，导致推理错误。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何直观与推理能力： 1.尺规作图仍为必考考点，可能结合实际情境或几何证明背景； 2.网格作图题的灵活性增强，可能结合多种变换考查； 3.最短路径问题的背景更丰富，可能结合三角形、四边形背景； 4.作图原理推理题的区分度增强，侧重考查几何性质的综合应用。 题型01 五大经典尺规作图 解｜题｜策｜略 ① 五大经典尺规作图步骤与原理： 1.作一条线段等于已知线段： · 步骤：①画射线；②用圆规量取已知线段的长度；③在射线上截取等长线段。 · 原理：圆的半径相等。 2.作一个角等于已知角： · 步骤：①画射线；②以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点；③以新射线顶点为圆心，同长为半径画弧；④截取等长弧，连接顶点。 · 原理：SSS 全等三角形判定。 3.作角的平分线： · 步骤：①以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点；②分别以两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，交于一点；③连接顶点与交点。 · 原理：SSS 全等三角形判定，角平分线的判定定理。 4.作线段的垂直平分线： · 步骤：①分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，交于两点；②连接两点。 · 原理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 5.过一点作已知直线的垂线： · 过直线上一点：①以该点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点；②分别以两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，交于一点；③连接该点与交点。 · 过直线外一点：①以该点为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，交直线于两点；②分别以两点为圆心，同长为半径画弧，交于另一点；③连接两点。 · 原理：等腰三角形三线合一，线段垂直平分线的判定。 ② 解题技巧： · 作图时必须保留所有作图痕迹（弧、交点），不能擦除； · 作图完成后，需标注关键的点、线、弧，必要时写出结论； · 遇到复杂作图，可分步完成，先确定关键交点，再绘制图形。 ③ 易错点：作图步骤不规范，未保留作图痕迹；或圆规半径选取不当，导致无法画出交点。 例1（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 例2（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 例3（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 例4（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出的度数） 例5（2025·江苏连云港·中考真题）已知是的高，是的外接圆． (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，若的半径为，求证：； (3)如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知中，，． (1)尺规作图：在和边上分别确定点D、E，使得，；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若△ADE的周长为16，求的长． 【变式3】（2026·江苏宿迁·一模）在中，（）． (1)如图1，点D在边上，若，则______．（用含k的代数式表示） (2)如图2，用无刻度直尺和圆规，在边上找一点E，使得，（不写作法，保留作图痕迹） 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)在边上求作一点，使； (2)将分成四个等腰三角形，请给出分割方法，并简单说明理由．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【变式5】（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【变式6】（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 题型02 网格作图、基础最短路径 解｜题｜策｜略 ① 网格作图解题技巧： · 利用网格线的水平、垂直特征，快速确定平移、对称、旋转的方向和距离； · 网格中作轴对称图形时，可利用网格线找到对称轴，再作关键点的对称点； · 网格中作旋转图形时，可利用网格线的夹角确定旋转角，利用勾股定理确定线段长度 ② 基础最短路径问题解题步骤： 确定问题类型： · 两点在直线同侧：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，路径长度为对称点与另一点的距离； · 两点在直线异侧：直接连接两点，与直线的交点即为所求，路径长度为两点间的距离； · 多直线上的最短路径：多次利用轴对称，将路径转化为直线距离。 作图步骤：①作对称点；②连接对称点与另一点；③标出交点，即为路径上的点。 ③ 解题关键：利用轴对称将折线转化为直线，利用 “两点之间线段最短” 解决问题。 ④ 易错点：无法正确找到对称点，导致路径错误；或混淆同侧、异侧的处理方法。 例1（2025·江苏南通·模拟预测）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上． (1)的周长为 ； (2)如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)请在图中画出的角平分线．（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） 例2（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 例3（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！ (1)任务一：网格作图​ 如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)任务二：尺规作图 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)任务三：方案设计 请设计一个用尺规作直角三角形的方案． 已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤） 【变式1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点的坐标为，点的坐标为，线段绕某点旋转一个角度得到对应线段，点的对应点为点，其中点的坐标为，则这个旋转中心的坐标为__________． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）（1）如图，在的正方形网格中，点，B，C均在格点上，请按要求作图． ①在图1中画一个格点三角形ADE，使（相似比不为1）． ②在图2中画一条格点线段，交于点Q，使． （2）如图3，点A为上一点． ①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和劣弧于点、，若的半径为，则的长为 ． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 题型03 平移、对称、旋转作图 解｜题｜策｜略 ① 平移作图步骤： · 确定平移的方向和距离； · 找出图形的关键点； · 按平移方向和距离，分别画出各关键点的对应点； · 按原图形的顺序连接对应点，得到平移后的图形。 ② 对称作图步骤： · 轴对称：①确定对称轴；②找出图形的关键点；③过关键点作对称轴的垂线，延长一倍得到对应点；④按原图形的顺序连接对应点。 · 中心对称：①确定对称中心；②找出图形的关键点；③连接关键点与对称中心，延长一倍得到对应点；④按原图形的顺序连接对应点。 ③ 旋转作图步骤： · 确定旋转中心、旋转方向和旋转角； · 找出图形的关键点； · 以旋转中心为顶点，以关键点与旋转中心的连线为一边，按旋转方向作旋转角，截取等长线段得到对应点； · 按原图形的顺序连接对应点，得到旋转后的图形。 ④ 解题技巧： · 作图时优先处理关键点，再连接成图形，避免整体绘制错误； · 平移、对称、旋转后的图形与原图形全等，可利用这一性质检查图形是否正确； · 网格中作图时，可利用网格线确定方向和距离，简化作图步骤。 ⑤ 易错点：平移、对称、旋转中，对应点找错，导致图形绘制错误；或旋转角的方向错误，导致图形方向偏差。 例1 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、. (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标__________； (2)以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标__________. 例2（2025·江苏无锡·一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把进行平移，得到，使点与对应， (1)请在网格中画出； (2)线段与线段的关系是___________． (3)求出Δ的面积． (4)求出平移过程中扫过的面积． 【变式1】（2025·江苏徐州·一模）如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【变式2】（2025·江苏徐州·三模）如图，在三角形纸片中，，． (1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）． (2)若，求的长． 【变式3】（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形； (2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 题型04 作图原理推理计算 解｜题｜策｜略 ① 常见作图原理： · 角平分线作图：利用SSS全等，证明所作射线平分已知角； · 垂直平分线作图：利用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，证明所作直线是线段的垂直平分线； · 垂线作图：利用等腰三角形三线合一，证明所作直线与已知直线垂直； · 最短路径作图：利用轴对称的性质，证明路径长度为两点间的直线距离。 ② 解题步骤： · 根据作图步骤，分析作图的原理和隐含条件； · 结合三角形、四边形的性质，推理图形的边、角关系； · 利用勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识，计算相关线段的长度或角度。 ③ 解题技巧： · 先明确作图的目的，再分析作图步骤中隐含的几何性质； · 结合作图痕迹（弧、交点），找出相等的线段、角或全等三角形； · 利用轴对称、垂直平分线的性质，转化线段或角度，简化计算。④ 易错点：无法根据作图步骤判断几何性质，导致推理错误；或忽略作图痕迹中的隐含条件，计算时缺少关键条件。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 例2（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是______． 【变式1】（2025·江苏镇江·二模）实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图，同学们将细铁丝抽象为线段，在线段上取点，，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到． 【活动1】围等腰三角形 （1）一般的等腰三角形．如图，线段上已确定好点，请在线段上确定点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），为等腰三角形．请画出点（一种情况即可）和（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）等边三角形．如图，线段上取点，沿点，弯折，使，两点重合（记为），得到等边．小明思考后发现，找线段的一个三等分点即可，他采取了以下的作图方法： ①过点作的垂线； ②线段上顺次截取，以为圆心，的长为半径作； ③以为圆心，线段的长为半径画弧，在的上方交于点，作射线交射线于点； ④作的垂直平分线交于点．则点就是线段的三等分点． 根据上面的作法，证明点是线段的三等分点． 【活动2】围直角三角形 如图，线段上有一点，同学们为解决问题，过点作射线于点．请你借助射线，用尺规确定点的位置，使得沿点，弯折后，，两点重合（记为），最后得到直角．请画出点（一种情况即可）和（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 【变式2】（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，、相交于点O． (1)证明：； (2)请你利用无刻度直尺和圆规作，交于H（不写作法，保留作图痕迹），若，，求线段的长． 【变式3】（2025·浙江湖州·二模）尺规作图问题： 已知，是钝角，，请用尺规作的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接交于点P，则点P为的中点． 小明：如图2，作的中垂线，垂足为点M，作的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，为半径作弧，交边于点P，则点P为的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦……我明白了． (1)证明：小聪的作法是正确的． (2)指出小明作法中存在的问题． （20分钟限时练） 1．（2025·江苏南通·二模）在平行四边形中作出菱形，对于以下两种作法，根据作图痕迹可以判断（   ） A．①②都正确 B．①②都不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 2．（2026·江苏南京·一模）如图，已知三角形，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使． 3．（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接，作射线，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（2026·江苏无锡·一模）已知：在中，，．    (1)尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 6．（2026·江苏徐州·一模）根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 7．（2026·江苏无锡·一模）如图，在直角中，∠B=90°， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 8．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $