第十章二元一次方程组单元测试卷-2025-2026学年人教版数学七年级下学期.

2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二元一次方程组） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数为1，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，未知数x的次数不是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 2．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】将已知解代入原方程，解一元一次方程即可得到m的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴， 解得 ． 3．已知与是同类项，那么a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项的定义，列出方程即可求出a和b的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：． 4．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 5．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 6．已知方程组的解满足与互为相反数，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数性质得到x与y的关系，再将方程组相加得，然后 整体代入计算k即可． 【详解】解：∵x与y互为相反数, ∴． 方程组， ，得， 即 由，得， 解得． 7．方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过对比两个方程组的形式，利用已知方程组的解，找出新方程组中、与已知解的关系，进而求解新方程组． 【详解】解：方程组变形，得， 方程组的解为， 可得，解得． 8．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知两组，的对应值代入等式，得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，即可得到所求等式． 【详解】解：当时，；当时，， 代入，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 把，代入得． 9．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 10．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】二元一次方程指只含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案. 【详解】解：由题意得：，， 解得， 由得， 故. 12．已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，解得，代入求解即可． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴． 13．若实数，同时满足，，则______． 【答案】 【分析】根据已知式子结合绝对值的性质确定、的取值范围，然后根据、的取值范围将原式进行变形后联立解方程，最后计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ，， 原式可变形为， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， ． 14．若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解变形与整体换元思想，解题的关键是通过整体换元，将新方程组转化为已知解的原方程组形式求解． 设，，将新方程组转化为与原方程组形式一致的方程组，利用原方程组的解求出、的值，再反解出、． 【详解】解：设，， 则原方程组可化为：， 由已知方程组的解为，可得： 即：， 解得：． 15．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需，则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需_______． 【答案】240 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组进行计算即可得到答案． 【详解】解：设李师傅加工个甲零件需要，加工个乙零件需要， ， ①②得：． 将代入①，得到， 故， 故加工8个甲种零件和16个乙种零件共需． 故答案为：． 16．七年级某数学兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是___________． 【答案】、 【分析】设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， ∴小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2）解： 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 18．求值 (1)已知方程组中，互为相反数，求m的值． (2)已知的平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先求出，联立，解方程组可得的值，再代入计算即可； （2）先根据平方根与立方根的定义求出的值，再代入计算的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵互为相反数， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：． （2）解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 19．已知关于的方程是二元一次方程． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程，准确理解概念得出所需的方程和不等式是求解的关键． （1）根据题意得到，，，，进而求解即可； （2）首先原方程可化为，然后将代入求解即可． 【详解】（1）由题意，得，，， ，． （2）由（1）知，，则原方程可化为． 当时，， 解得． 20．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 【分析】设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据“计划租用的45座客车辆数师生总数”或“座客车辆数）师生总数”可列方程组求解； 【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意，得 ， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车 21．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 22．根据下列语句，分别设适当的未知数，列二元一次方程或方程组． (1)甲数的比乙数的5倍大2； (2)梯形的面积为，高是6cm，且下底比上底的2倍少1cm，求梯形上底和下底的长； (3)如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，求和的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设甲数为x，乙数为y，则． （2）设梯形的上底为xcm，下底为ycm，则 （3）设和的度数分别为，，则 23．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 24．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元，设A款的单价为万元，B款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款304万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有______________辆． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)共有种购买方案，方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车； (3)8 【分析】（1）根据“买辆A款和辆款需付款万元，买辆A款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设A款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A款的单价为万元，款的单价为万元， 根据题意得：， 解得：； （2）解：设购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有种购买方案，方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车； （3）解：（万元）， A款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同． 设A款中享受国补的有辆，A款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆， 款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的， ，即款中没有享受国补的有辆， 根据题意得： 解得：， ，，均为非负整数， ∴ 必须能被8整除，必须是偶数， ∴：， 是偶数，符合条件， ：， 是奇数，不符合，舍去， ∴A款中享受国补的有8辆． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二元一次方程组） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 3．已知与是同类项，那么a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程组的解满足与互为相反数，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 7．方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 8．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 9．一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 10．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 12．已知关于，的方程组的解是，则的值为________． 13．若实数，同时满足，，则______． 14．若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 15．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需，则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需_______． 16．七年级某数学兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是___________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．求值 (1)已知方程组中，互为相反数，求m的值． (2)已知的平方根是，的立方根是，求的平方根． 19．已知关于的方程是二元一次方程． (1)求的值； (2)若，求的值． 20．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 21．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 22．根据下列语句，分别设适当的未知数，列二元一次方程或方程组． (1)甲数的比乙数的5倍大2； (2)梯形的面积为，高是6cm，且下底比上底的2倍少1cm，求梯形上底和下底的长； (3)如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，求和的度数． 23．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 24．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元，设A款的单价为万元，B款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款304万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有______________辆． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $