专题04 平面内的两条直线（专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题04 平面内的两条直线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面内两条直线的位置关系 1 题型二、平移的性质及其应用 2 题型三、平行线的性质（常考点） 2 题型四、根据平行线的性质求角的度数 3 题型五、平行线的判定 3 题型六、根据平行线的判定与性质证明（重点） 4 题型七、垂线的应用 4 题型八、平行线间的距离及其应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面内两条直线的位置关系 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 4．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 6．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）同位角、内错角和同旁内角是根据两个角的位置关系定义的角．如图，下列结论不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 9．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）两条平行线之间的距离处处______；从直线外一点到这条直线所画的线段中，______最短． 10．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 12．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 题型二、平移的性质及其应用 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）2026央视春晚主标识以“骐骥驰骋”主题为核心，“四马齐驱”的设计藏满巧思．下列选项中可以通过平移这个图形得到的是（  ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，将直角三角形沿方向向右平移得到三角形，若四边形的面积为18，，则平移的距离为__________． 17．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为_________． 18．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 19．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点画的平行线； (3)连接，，则与之间的关系是____________． 题型三、平行线的性质（常考点） 21．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种 B．负数没有立方根 C．两直线与第三条直线相交，内错角相等 D．一个数的算术平方根一定是正数 22．（25-26七年级下·山西忻州·期中）山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，已知直线，，则的度数为（    ） A．35° B．55° C．125° D．145° 24．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，已知直线，若，则___________． 25．（25-26七年级下·陕西西安·期中）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 26．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，要使，则需要满足的条件是______． 27．（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 28．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，平行线被直线所截，，则___________°，___________° 29．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）完成下面的推理：如图，点分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 证明：， ______（_________）， ______（________）， ． 题型四、根据平行线的性质求角的度数 30．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，．与交于点．若，则为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 34．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为__________． 35．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，点在两平行线的外侧，若，，则的度数是___________度． 36．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点D与．作，使的两边与的两边分别平行． (1)按要求画出图形； (2)判断与有怎样的数量关系． 37．（25-26七年级下·重庆长寿·月考）某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 题型五、平行线的判定 38．（25-26七年级下·湖北十堰·期中）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤能判断的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 39．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 40．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件________． 42．（25-26七年级下·四川内江·期中）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 43．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 44．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，点，，在同一条直线上，已知平分平分，．求证：． 45．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，，． (1)求证：． (2)若，直接写出与的位置关系． 题型六、根据平行线的判定与性质证明（重点） 46．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 47．（25-26七年级下·上海崇明·期中）如图：已知点D、G在直线上，点E、F分别在直线上，，， 问：与平行吗？为什么？ 48．（广东深圳市育才中学集团2025-2026学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知：于D，于G，．求证：平分． 下面是部分推理过程，请你将其补充完整： ∵于D，于G（已知）， ∴， ∴（_________）， ∴（_________），_________（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（_________）， ∴平分（_________）． 49．（25-26七年级下·北京·期中）如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 50．（25-26七年级下·山东济南·期中）小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形．如图，，．求证：． 51．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，，，试说明：． 证明：（已知）， （________）． （________）（________）． （已知）， （________）（________）． ________（内错角相等，两直线平行）． （已知）， （________）． （已证）， （________）（两直线平行，同位角相等）． （垂直的定义）． 题型七、垂线的应用 52．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，为直线上一点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 53．（2025年湖南株洲市初中学业水平调研考试数学试题卷）汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．对顶角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 55．（25-26七年级下·天津西青·期中）如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知，垂足为，，是的角平分线，求证． 57．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）补全下列证明过程及括号内的推理依据： 如图，已知，于D，于F，，求证：平分． 证明：∵，（已知）． ∴ （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（ ） （ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（ ） 58．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，三角形．根据下列语句画出图形： (1)过点画，垂足为；过点画，交的延长线于点；再过点画，与的延长线交于点； (2)若，则（1）中的点到直线的距离为哪条线段的长度？为什么？说明理由． 59．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，直线与直线相交于点C，P点在直线外． (1)根据下列语句画图：过点P作，交于E；过点P作，垂足为点F，交于O点． (2)若，求的度数． 60．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 题型八、平行线间的距离及其应用（难点） 61．（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且，是个钝角，若，则a、b两直线的距离可以是（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 62．（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于、、三点，若，，则平行线、之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 63．（2025七年级下·全国·专题练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 64．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 65．（25-26七年级下·福建福州·月考）已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 66．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，，若的面积等于8，则的面积等于_________． 67．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 68．（24-25七年级下·贵州·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度． (1)在图中画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段的关系是_______． (3)若点是网格上一点（不与重合），且与面积相等，则满足条件的点共有______个． 69．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是___________； (3)点为格点（异于点），且，则图中满足要求的点共有___________个． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 2．（24-25七年级下·四川德阳·月考）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列生活现象中属于平移的是（    ）． A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动 C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）三角板是我们常用的作图工具，我们知道其中一个三角板的度数分别是、、，另一个三角板三个角的度数分别是、、，将一副三角板按如图所示摆放，点B在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南保山·一模）如图，直线c与直线a，b分别相交，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山西忻州·期中）如图，这是一把剪刀的示意图，当剪刀口增加时，则（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 8．（24-25七年级下·四川成都·月考）下列图形中，由能得到的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列语句中，正确的是（    ） A．夹在两条平行线间的线段的长度是两条平行线间的距离 B．夹在两条平行线间的垂线的长度是两条平行线间的距离 C．夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离 D．过一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条直线间的距离 11．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）如图，沿方向平移到的位置，若，则____________． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长为8，宽为6的长方形先向右平移3，再向下平移2，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若，的两边分别平行，那么这两个角的大小满足什么数量关系________．（用，表示） 14．（24-25七年级下·全国·周测）在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 三、解答题 15．（24-25七年级下·山东聊城·月考）用三角尺和直尺画平行线． (1)如图，过点画； (2)如图，过点画，与交于点；过点画，与的延长线交于点． 16．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 17．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑宽度相同的横、纵走向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． ​ 18． （24-25七年级下·湖南长沙·期中）阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字．如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点． （已知）， （________）． 又（已知）， （等量代换）． ________（________）． ________（________）．． 又________（已知）， （________）． （________）． 19．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面内的两条直线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面内两条直线的位置关系 1 题型二、平移的性质及其应用 2 题型三、平行线的性质（常考点） 2 题型四、根据平行线的性质求角的度数 3 题型五、平行线的判定 3 题型六、根据平行线的判定与性质证明（重点） 4 题型七、垂线的应用 4 题型八、平行线间的距离及其应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面内两条直线的位置关系 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）观察如图的长方体，下面各棱与棱平行的是（   ） A．棱 B．棱 C．棱 D．棱 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 4．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 5．（25-26七年级下·福建·月考）在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 6．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角叫做互为对顶角，由此即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义，只有C选项的图形中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点， ∴C选项中与是对顶角 ． 7．（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等，将测量扇形圆心角转化为测量其对顶角，直接读取量角器示数即可． 【详解】解：由图可知，扇形零件的圆心角与量角器上所量的角互为对顶角． 量角器上该角的一边在刻度线上，另一边在刻度线上， 量角器测得的角为． 对顶角相等， 此扇形零件的圆心角的度数为． 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）同位角、内错角和同旁内角是根据两个角的位置关系定义的角．如图，下列结论不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、与是同位角，故A选项正确，不符合题意； B、与是同旁内角，故B选项正确，不符合题意； C、与是内错角, 故C选项正确，不符合题意； D、与不是同位角，故D选项错误，符合题意． 9．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）两条平行线之间的距离处处______；从直线外一点到这条直线所画的线段中，______最短． 【答案】 相等 垂线段 【详解】两条平行线之间的距离处处相等，从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短. 10．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【分析】根据利用直尺和三角尺作平行线的基本作图步骤进行排序，即先贴合已知直线，再固定直尺，接着平移三角尺，最后画出平行线． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 12．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 题型二、平移的性质及其应用 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是C，A、B、D无法通过平移得到． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）2026央视春晚主标识以“骐骥驰骋”主题为核心，“四马齐驱”的设计藏满巧思．下列选项中可以通过平移这个图形得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动；由此问题可求解． 【详解】解：由题意可知只有B选项符合． 15．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：长方形的长为，宽为 原长方形的水平边长为，竖直边长为 长方形先向右平移，再向下平移 阴影部分长方形的长为，宽为 阴影部分的面积为 ． 16．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，将直角三角形沿方向向右平移得到三角形，若四边形的面积为18，，则平移的距离为__________． 【答案】3 【分析】先根据四边形的面积为18，，求出的长，然后根据平移特点，得出答案即可． 【详解】解：∵四边形的面积为18，， ∴， ∵直角三角形沿方向向右平移得到三角形， ∴平移的距离为． 17．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为_________． 【答案】42 【分析】根据题意，得，计算即可； 【详解】解：根据题意，得这条小路的面积为． 18．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 19．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． （3）解：如图，即为所求． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点画的平行线； (3)连接，，则与之间的关系是____________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的规律进行作图即可； （2）观察点和点的位置可得，点向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，因此将点经过同样的平移得到点，则直线即为所求； （3）根据平移的性质判断与的关系． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，直线即为所求平行线； （3）解：如图， ∵由平移得到， ∴，且，即与之间的关系是平行且相等． 题型三、平行线的性质（常考点） 21．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种 B．负数没有立方根 C．两直线与第三条直线相交，内错角相等 D．一个数的算术平方根一定是正数 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两直线的位置关系、立方根、平行线的性质及算术平方根的定义．依据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：对于A选项，∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交两种，∴A选项符合题意； 对于B选项，∵负数有立方根且负数的立方根仍为负数，∴B选项不符合题意； 对于C选项，∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，题目未说明两直线平行，∴C选项不符合题意； 对于D选项，∵0的算术平方根是0，0不是正数，∴D选项不符合题意． 22．（25-26七年级下·山西忻州·期中）山西省因地处太行山以西而得名，如图所示的“山”字中，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，已知直线，，则的度数为（    ） A．35° B．55° C．125° D．145° 【答案】C 【分析】直接利用两直线平行、同旁内角互补即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，已知直线，若，则___________． 【答案】/度 【详解】解：∵，， ∴． 25．（25-26七年级下·陕西西安·期中）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出 和 的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ， ． ， ． ， ． . ， ． ． 26．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，要使，则需要满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：∵是一组内错角， ∴要使，只需． 27．（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 【答案】/度 【详解】解：， ， ∵ ， ． 28．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，平行线被直线所截，，则___________°，___________° 【答案】 130 50 【分析】先根据对顶角相等得到，再根据两直线平行同旁内角互补可得，即可求解． 【详解】解：由对顶角相等可得，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：130，50 29．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）完成下面的推理：如图，点分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 证明：， ______（_________）， ______（________）， ． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【分析】利用平行线的性质证明即可求证． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，同位角相等）， ， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 题型四、根据平行线的性质求角的度数 30．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，．与交于点．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先理解题意，得出，由平行线的性质，得出内错角相等，故，再运用平角的定义得，最后由两直线平行，同旁内角互补得，即可作答． 【详解】解：∵长方形纸片沿对折后，点、的对应点分别为点，． ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 31．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 32．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， （两直线平行，内错角相等）． ， ． 33．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，易得，，根据以上规律求_________． 【答案】/度 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质找出角度和的变化规律． 【详解】解：当有3个角时，和为； 当有4个角时，和为； 从图形可以看出，每增加一个“折点”（即增加一个角），角度和就增加， 对于个角，角度和的公式为：， ． 34．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为__________． 【答案】42 【分析】如图（见解析），先得出，，再求出的度数，则可得的度数，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 35．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，点在两平行线的外侧，若，，则的度数是___________度． 【答案】20 【分析】过点P作，则，由平行线的性质得出，，进而根据角度的和差可求出． 【详解】解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 36．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点D与．作，使的两边与的两边分别平行． (1)按要求画出图形； (2)判断与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)相等或互补 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据平行线的性质得出角之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：与的数量关系为相等或互补，理由如下： 如图1所示，与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2所示，与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与的数量关系为相等或互补． 37．（25-26七年级下·重庆长寿·月考）某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （2）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （3）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】（1）解：过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （3）解：∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型五、平行线的判定 38．（25-26七年级下·湖北十堰·期中）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤能判断的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行可以判断； ②，根据内错角相等，两直线平行可以判断； ③，根据同旁内角互补，两直线平行可以判断； ④，根据同位角相等，两直线平行可以判断； ⑤，判断不出平行； 综上分析可知，能判断的是①④，共2个． 39．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】A、若，，则，利用了平行公理，正确； B、若，则，利用了内错角相等，两直线平行，正确； C、，不能判断，错误； D、若，则，利用同旁内角互补，两直线平行，正确． 40．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项符合题意； B. ∵， ∴，故该选项不符合题意； C. ∵， ∴，故该选项不符合题意； D. ∵， ∴，故该选项不符合题意； 41．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：若，那么（内错角相等，两直线平行）． 42．（25-26七年级下·四川内江·期中）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证； （2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 43．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 44．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，点，，在同一条直线上，已知平分平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：平分平分， . ∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ， . 45．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，，． (1)求证：． (2)若，直接写出与的位置关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质结合等量代换即可证出结论； （2）由同旁内角的关系，可求出的度数，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 题型六、根据平行线的判定与性质证明（重点） 46．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 而题中没有说明与相等， ∴不一定等于，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意， ∴符合题意的有①③④． 47．（25-26七年级下·上海崇明·期中）如图：已知点D、G在直线上，点E、F分别在直线上，，， 问：与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】根据，可得，再由，可得，即可解答． 【详解】解：平行，理由如下： 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 48．（广东深圳市育才中学集团2025-2026学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知：于D，于G，．求证：平分． 下面是部分推理过程，请你将其补充完整： ∵于D，于G（已知）， ∴， ∴（_________）， ∴（_________），_________（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（_________）， ∴平分（_________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线的定义 【分析】主要考查了平行线的判定与性质．结合同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角相等作答． 【详解】解：∵于D，于G（已知） ∴ ∴，（同位角相等，两直线平行）． ∴，（两直线平行，内错角相等）．（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴，（等量代换）． ∴平分．（角平分线的定义）． 49．（25-26七年级下·北京·期中）如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，即可求证； （）利用平行线的性质得 ，利用角平分线的定义得 ，再根据角平分线的定义即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 50．（25-26七年级下·山东济南·期中）小宇同学在练习书法时发现汉字“九”笔画间的走势十分规整，便拿出直尺和铅笔，把“九”字抽象成了几何图形．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】因为已知，根据平行线的性质定理，可推出相关角的关系．因为已知，结合前面由得到的角的关系，可推导出能判定的角的等量关系． 【详解】证明：∵ ， ∴； ∵， ∴ ， ∴； ∵， ∴ ； ∴． 51．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，，，试说明：． 证明：（已知）， （________）． （________）（________）． （已知）， （________）（________）． ________（内错角相等，两直线平行）． （已知）， （________）． （已证）， （________）（两直线平行，同位角相等）． （垂直的定义）． 【答案】见详解 【分析】利用平行线的判定和性质结合证明过程填写即可． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． （）（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （）（等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （已知）， （垂直的定义）． （已证）， （）（两直线平行，同位角相等）． （垂直的定义）． 题型七、垂线的应用 52．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，为直线上一点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义得，再根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． 53．（2025年湖南株洲市初中学业水平调研考试数学试题卷）汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合已知条件求出，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， 且 ， ， 54．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．对顶角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】A 【分析】根据对顶角性质，垂线的性质，平行线的判定，点到直线距离的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等， ∴选项A说法正确； ∵只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项B未添加“同一平面内”的前提， ∴选项B说法错误； ∵只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项C未添加“同一平面内”的前提， ∴选项C说法错误； ∵从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴选项D说法错误． 55．（25-26七年级下·天津西青·期中）如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由垂线的定义可知，只有C选项中的画图正确，符合题意． 56．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知，垂足为，，是的角平分线，求证． 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直的定义得，根据角平分线的定义及已知推出，根据平行线的判定推出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）补全下列证明过程及括号内的推理依据： 如图，已知，于D，于F，，求证：平分． 证明：∵，（已知）． ∴ （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（ ） （ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（ ） 【答案】；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义 【详解】证明：∵，（已知）． ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（角平分线的定义） 58．（天津市河西区2025-2026学年下学期期中七年级数学（一））如图，三角形．根据下列语句画出图形： (1)过点画，垂足为；过点画，交的延长线于点；再过点画，与的延长线交于点； (2)若，则（1）中的点到直线的距离为哪条线段的长度？为什么？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据垂线、平行线的定义画图，即可求解； （2）根据平行线的性质，可得，再根据点到直线的距离的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：为点到直线的距离， 理由，， ， 为点到直线的距离． 59．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，直线与直线相交于点C，P点在直线外． (1)根据下列语句画图：过点P作，交于E；过点P作，垂足为点F，交于O点． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）过点作 ，由垂线的定义得到．根据 ， ，得到 ， ，由 即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：过点作 ， ， ． ∵ ， ， ， ， ． 60．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短． 【分析】（）根据网格作平行线即可； （）根据题意画出垂线段即可； （）根据题意画图即可； （）由垂线段最短直接判定即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， （4）解：线段，，，中，最短的线段为，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 题型八、平行线间的距离及其应用（难点） 61．（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且，是个钝角，若，则a、b两直线的距离可以是（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离． 【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于10， ∴a、b两直线的距离可以是8． 62．（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于、、三点，若，，则平行线、之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于点A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是． 63．（2025七年级下·全国·专题练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 64．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】根据和是等底等高的两个三角形，其面积相等，计算即可； 【详解】直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， 和是等底等高的两个三角形， ． 65．（25-26七年级下·福建福州·月考）已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论直线的位置，分别计算得到与之间的距离. 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线在，的外侧时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 当直线在，之间时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 综上，与之间的距离是或. 66．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，，若的面积等于8，则的面积等于_________． 【答案】8 【分析】根据平行线的性质得到和同底等高，进而得到． 【详解】解：， 和同底等高， ． 67．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 68．（24-25七年级下·贵州·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度． (1)在图中画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段的关系是_______． (3)若点是网格上一点（不与重合），且与面积相等，则满足条件的点共有______个． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)4个 【分析】（1）首先确定A，B，C三点平移后的位置，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等即可得解； （3） 平移至，过和B作，，则为所求； 【详解】（1）解：如图所示； （2）如图所示： 与平行且相等； （3）如图所示，满足条件的点共有4个． 69．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是___________； (3)点为格点（异于点），且，则图中满足要求的点共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)6 【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可； （2）根据平移的性质即可解答； （3）利用三角形的面积公式结合两平行线间的距离相等即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由平移的性质可知，且； （3）解：如图，满足要求的Q点共有6个， 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 2．（24-25七年级下·四川德阳·月考）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，与没有公共顶点，不是对顶角 对于B，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，不是对顶角 对于C，与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角 对于D，与的两边不互为反向延长线，不是对顶角 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列生活现象中属于平移的是（    ）． A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动 C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动 【答案】B 【分析】某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：A、C、D均不属于平移；只有B属于平移． 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）三角板是我们常用的作图工具，我们知道其中一个三角板的度数分别是、、，另一个三角板三个角的度数分别是、、，将一副三角板按如图所示摆放，点B在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，由平行线的性质可得，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 6．（2025·云南保山·一模）如图，直线c与直线a，b分别相交，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 根据两直线平行，内错角相等可得：． 7．（24-25七年级下·山西忻州·期中）如图，这是一把剪刀的示意图，当剪刀口增加时，则（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【答案】A 【详解】解：∵， 又∵增加， ∴增加． 8．（24-25七年级下·四川成都·月考）下列图形中，由能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：A、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）； B、D、由无法证得，故错误； C、∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又（对顶角相等）， 本选项正确. 9．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、， ∴，不符合题意． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列语句中，正确的是（    ） A．夹在两条平行线间的线段的长度是两条平行线间的距离 B．夹在两条平行线间的垂线的长度是两条平行线间的距离 C．夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离 D．过一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条直线间的距离 【答案】C 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离定义解题即可． 【详解】解：A、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，原说法错误； B、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，原说法错误； C、夹在两条平行线间的垂线段的长度是两条平行线间的距离，说法正确； D、过平行线中一条直线上的一点，向另一条直线作垂线段，垂线段的长度是这两条平行线间的距离，原说法错误； 故选：C． 11．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）如图，沿方向平移到的位置，若，则____________． 【答案】5 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长为8，宽为6的长方形先向右平移3，再向下平移2，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】20 【分析】利用平移的性质求出阴影部分长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解即可． 【详解】解：∵长方形的长为，向右平移， ∴阴影部分的长为． ∵长方形的宽为，向下平移， ∴阴影部分的宽为． ∴阴影部分的面积为． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若，的两边分别平行，那么这两个角的大小满足什么数量关系________．（用，表示） 【答案】或 【分析】如图1，根据平行线的性质可得，，等量代换可得；如图2，根据平行线的性质可得，，等量代换可得． 【详解】解： 如图1，∵，， ∴，， ∴； 如图2，∵，， ∴，， ∴． 综上所述，若的两边分别平行于的两边，则或． 14．（24-25七年级下·全国·周测）在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 【答案】2或10 【分析】分类讨论：当直线在之间或直线不在之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】解：当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 综上所述，与的距离为或. 故答案为：或． 三、解答题 15．（24-25七年级下·山东聊城·月考）用三角尺和直尺画平行线． (1)如图，过点画； (2)如图，过点画，与交于点；过点画，与的延长线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据平行线的定义以及题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求作． （2）解：如图2，，即为所求作． 16．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)22 【分析】（1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （2）根据平移的性质可得，，在平移的过程中线段扫过的面积是四边形的面积，利用网格图的特征，通过割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：． 17．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑宽度相同的横、纵走向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． ​ 【答案】平方米；20平方米 【分析】通过平移，绿化面积等于长为米，宽为米的长方形的面积． 【详解】解：根据题意得： （平方米）， 则绿化的面积是平方米； 当，时， 绿化面积是：（平方米）． 18． （24-25七年级下·湖南长沙·期中）阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字．如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点． （已知）， （________）． 又（已知）， （等量代换）． ________（________）． ________（________）．． 又________（已知）， （________）． （________）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【分析】延长交于点．先根据证得，再根据已知等量代换证得，利用同位角相等，两直线平行证得，再根据平行线的性质，等量代换得出． 【详解】证明：如图，延长交于点． （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）．   又（已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）．   （两直线平行，同位角相等）． 又（已知），   （两直线平行，内错角相等）．   （等量代换）． 19．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，结合，推出，即可推出， （2）先证明，再由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $